%I M4046 N1679#546 2024年9月15日21:59:51

%S 1,6,1,8,0,3,3,9,8,8,7,4,9,8，9,4,8,2,0,4,5,8,6,8,3,4,3,6,3,8，

%T 1,1,7,7,2,0,3,0,9,1,7,9,8,0,5,7,6,2,8,6,1,3,5,4,8,6,2,2,7,0,2,2，

%U 6,0,4,6,2,8,1,8,9,0,2,4,4,9,7,0,7,2,0,4,1,8,1,9,3,9,4,8,4,7,5

%N黄金比率φ（或τ）的十进制展开式=（1+sqrt（5））/2。

%C也是（x+1）^n-x^（2n）正根的十进制展开式。对于所有n>0，（x+1）^n-x^（2n）=0只有两个实根x1=-（sqrt（5）-1）/2和x2=（sqert（5）+1）/2_Cino Hilliard，2004年5月27日

%黄金比率φ是无理数中最无理的；它的连续分式收敛F（n+1）/F（n）是接近其实际值的最慢的（I.Stewart，《自然数》，Basic Books，1997）_Lekraj Beedassy，2005年1月21日

%C设t=黄金比率。较小的sqrt（5）-收缩矩形具有t-1形状，较大的sqrt（5）–收缩矩形具有t形状。有关形状和收缩矩形的定义，请参见A188739_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2011年4月16日

%C黄金比率（通常用φ或tau表示）是黄金矩形的形状（即长度/宽度），它具有一个特殊的性质，即从一端去掉一个正方形会留下一个与原始矩形形状相同的矩形。类似地，某些等腰三角形的删除是侧金色和角金色三角形的特征。这些配置中的重复删除导致金色矩形和三角形无限次地划分为正方形或等腰三角形，以匹配τ的连分数[1,1,1,1,1，…]。关于矩形的特殊形状，该矩形划分为金色矩形，以匹配连分数[tau，tau，τ，…]，请参见A188635。对于其他取决于τ的矩形，请参见A189970、A190177、A190179、A180182。关于取决于τ的三角形，参见A152149和A188594；有关四面体，请参见A178988_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2011年5月6日

%C给定一个五边形ABCDE，1/（phi）^2<=（a*C^2+C*E^2+E*B^2+B*D^2+D*a^2）/（a*B^2+B*C^2+C*D^2+D*E^2+E*a^ 2）_2011年8月18日，Kirikami Seiichi

%C如果三角形的边的长度以1:r:r^2的比率形成几何级数，则三角形不等式条件要求r在1/phi<r<phi.-范围内_Frank M Jackson，2011年10月12日

%图x-y=1和x*y=1在（tau，1/tau）处相遇_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2011年10月19日

%C也是x^sqrt（x+1）=sqrt（x+1）^x的第一个根的十进制扩展。-Michel Lagneau_，2011年12月2日

%C也是（1/x）^（1/sqrt（x+1））的根的十进制展开_Michel Lagneau_，2012年4月17日

%C这是（伽马（1/n）/伽马（3/n））*（伽马，（n-1）/n）/伽玛（（n-3）/n_Bruno Berselli，2012年12月14日

%C也是唯一数字x>1的十进制扩展，使（x^x）^（x^x）=（x^（x^x））^x=x^（（x^x）^x）。-_雅罗斯拉夫·克里泽克，2014年2月1日

%C对于n>=1，舍入（phi^prime（n））==1_Vladimir Shevelev，2014年3月21日

%连续根sqrt（1+sqrt_乔瓦尼·泽达（Giovanni Zedda），2019年6月22日

%C等于平方（2+sqrt（2+m2（2+mqrt（2-…）））_Diego Rattaggi，2021年4月17日

%C给定任意复p，使得实（p）>-1，φ是方程z^p+z^（p+1）=z^_Stanislav Sykora，2021年10月14日

%C唯一能使其小数部分、整数部分和数字本身（x-[x]、[x]和x）形成几何级数的正数是phi，分别为（phi-1、1、phi）和比率=phi。这是1975年加拿大第七届数学奥林匹克运动会第四题的答案（见IMO链接和Doob参考）_伯纳德·肖特，2021年12月8日

%黄金比率是唯一的数字x，即f（n*x）*C（n/x）-f（n/x）*C_克拉克·金伯利，2022年1月4日

%C马丁·加德纳（Martin Gardner）在《第二本科学美国人的数学困惑与转移书》（The Second Scientific American Book Of Mathematical Puzzles and Diversions）中写道，到1910年，马克·巴尔（1871-1950）将φ作为黄金比例的象征_伯纳德·肖特，2022年5月1日

%C Phi是等腰三角形等边的长度，边C=φ^2，内角（A，B）=36度，C=108度_Gary W.Adamson，2022年6月20日

%C x^2-x-1=0的正解_Michal Paulovic，2023年1月16日

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%H<a href=“/index/O#奥运会”>与奥运会相关的序列索引。

%F等于和{n>=2}1/A064170（n）=1/1+1/2+1/（2*5）+1/（5*13）+1/_Gary W.Adamson_，2007年12月15日

%F等于超几何C2F1（[1/5，4/5]，[1/2]，3/4）=2*cos（（（3/5）*arcsin（sqrt（3/4）））。-_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2008年10月26日

%F摘自_Hieronymus Fischer_，2009年1月2日：（开始）

%如果n是奇数，φ^n的小数部分等于φ^（-n）。对于偶数n，phi^n的小数部分等于1-phi^（-n）。

%F通式：假设x>1满足x-x^（-1）=楼层（x），其中x=该序列的φ，则：

%奇数n:x^n-x^（-n）=地板（x^n），因此分形（x^n）=x^（-n），

%F表示偶数n:x^n+x^（-n）=上限（x^n），因此fract（x^n）=1-x^，

%F表示所有n>0:x^n+（-x）^（-n）=圆形（x^n）。

%Fx=phi是x-x^（-1）=floor（x）的最小解（在这种情况下，floor（x）=1）。

%F满足x-x ^（-1）=floor（x）关系的常数x的其他示例包括A014176（银比率：其中floor（x）=2）和A098316（“青铜”比率：其中loor（x”=3）。（结束）

%F等于2*cos（Pi/5）=e^（i*Pi/5_Eric Desbiaux，2010年3月19日

%F x-x^（-1）=楼层（x）的解由x=（1/2）*（m+sqrt（m^2+4））决定，m>=1；x=φ，m=1。根据连续分数，溶液可以用x=[m；m，m，…]来描述，其中m=1表示x=phi，m=2表示银比A014176，m=3表示青铜比A098316_Hieronymus Fischer，2010年10月20日

%F和{n>=1}x^n/n^2=Pi^2/10-（log（2）*sin（Pi/10））^2，其中x=2*sin。[乔利，等式360d]

%Fφ=1+和{k>=1}（-1）^（k-1）/（F（k）*F（k+1）），其中F（n）是第n个斐波那契数（A000045）。证明。根据加泰罗尼亚语的恒等式，F^2（n）-F（n-1）*F（n+1）=（-1）^（n-1）。因此，（-1）^（n-1）/（F（n）*F（n+1））=F（n）/F（n+1）-F（n-1）/F（n）。因此，和{k=1..n}（-1）^（k-1）/（F（k）*F（k+1））=F（n）/F（n+1）。如果n趋于无穷大，则趋向于1/φ=φ-1_Vladimir Shevelev，2013年2月22日

%Fφ^n=（A000032（n）+A000045（n）*平方（5））/2.-_Thomas Ordowski，2013年6月9日

%F设P（q）=Product_{k>=1}（1+q^（2*k-1））（A000700的g.F.），则A001622=exp（Pi/6）*P（exp（-5*Pi））/P（exp_Stephen Beathard，2013年10月6日

%Fφ=i^（2/5）+i^_雅罗斯拉夫·克里泽克，2014年2月3日

%Fφ=平方（2/（3-平方（5）））=平方（2）/A094883。这是因为（（1+sqrt（5））^2）*（3-sqrt_杰弗里·卡文尼，2014年4月19日

%F exp（arcsinh（cos（Pi/2-log（phi）*i））=exp_杰弗里·卡文尼，2014年4月23日

%F exp（电弧（cos（Pi/3）））=φ_杰弗里·卡文尼，2014年4月23日

%F cos（Pi/3）+sqrt（1+cos（Pi/3）^2）_杰弗里·卡文尼，2014年4月23日

%F2*phi=z^0+z^1-z^2-z^3+z^4，其中z=exp（2*Pi*i/5）。请参阅维基百科Kronecker-Weber定理链接_Jonathan Sondow，2014年4月24日

%Fφ=1/2+平方（1+（1/2）^2）.-_杰弗里·卡维尼，2014年4月25日

%F Phi是x->sqrt（1+x）在初始值a>=-1上迭代的极限值_Chayim Lowen_，2015年8月30日

%F From _Isaac Saffold_，2018年2月28日：（开始）

%F 1=所有非负整数n的和{k=0..n}二项式（n，k）/phi^（n+k）。

%F1=Sum_｛n>=1｝1/phi^（2n-1）。

%F 1=和{n>=2}1/φ^n。

%Fφ=和{n>=1}1/φ^n（结束）

%F From _Christian Katzmann，2018年3月19日：（开始）

%Fφ=和{n>=0}（15*（2*n）！+8*n^2） /（2*n！^2*3^（2*n+2））。

%Fφ=1/2+和{n>=0}5*（2*n）/（2*n！^2*3^（2*n+1））。（结束）

%Fφ=产品{k>=1}（1+2/（-1+2^k*（sqrt（4+（1-2/2^k）^2）+sqrt_Gleb Koloskov，2021年7月14日

%F等于乘积{k>=1}（斐波那契（3*k）^2+（-1）^（k+1））/（斐波纳契（3*k）^2+（-1））（Melham和Shannon，1995）_Amiram Eldar，2022年1月15日

%F From _Michal Paulovic_，2023年1月16日：（开始）

%F等于2*e^（i*Pi/5）的实部。

%F等于2*sin（3*Pi/10）=2*A019863。

%F等于-2*sin（37*Pi/10）。

%F等于1+1/（1+1/。

%F等于（2+3*（2+3*（2+3*…）^（1/4））^。

%F等于（1+2*（1+2*（1+2*…）^（1/3））^。

%F等于（1+φ+（1+phi+（1+phi+…）^（1/3））^。

%F等于13/8+和{k=0..oo}（-1）^（k+1）*（2*k+1）/（（k+2）*k*4^（2*k+3））。

%F（结束）

%Fφ^n=φ*A000045（n）+A000045_加里·亚当森，2023年9月9日

%F前面的公式适用于整数n，其中F（-n）=（-1）^（n+1）*F。φ^n是二次数域Q（sqrt（5））中的整数_Wolfdieter Lang，2023年9月16日

%F等于乘积{k>=0}（（5*k+2）*（5*k+3））/（（5*k+1）*（5*k+4））_安东尼奥·格拉西亚·洛伦特（Antonio GraciáLlorente），2024年2月24日

%F From _Antonio GraciáLlorente，2024年4月21日：（开始）

%F等于乘积{k>=1}φ^（-2^k）+1，φ=A001622。

%F等于乘积{k>=0}（（5^（k+1）+1）*。

%F等于乘积{k>=1}1-（4*（-1）^k）/（10*k-5+（-1）*k）=Product_{k>=1}A047221（k）/A047209（k）。

%F等于乘积{k>=0}（（5*k+7）*。

%F等于乘积{k>=0}（（10*k+3）*（10*k+5）*。

%F等于乘积_｛k>=5｝1+1/（斐波那契（k）-（-1）^k）。

%F等于乘积{k>=2}1+1/Fibonachi（2*k）。

%F等于乘积_｛k>=2｝（Lucas（k）^2+（-1）^k）/（Lucas（k）^2-4*（-1）^k）。（结束）

%F等于乘积{k>=1}（1-2/（斐波那契（3*k）^2+1））^（-1）^_安东尼奥·格拉西亚·洛伦特（Antonio GraciáLlorente），2024年9月15日

%e 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621。。。

%p位数：=1000；evalf（（1+sqrt（5））/2）；#_韦斯利·伊万·赫特，2013年11月1日

%t RealDigits[（1+Sqrt[5]）/2，10，130]（*_Stefan Steinerberger_2006年4月2日*）

%t RealDigits[Exp[ArcSinh[1/2]]，10111][1]（*_Robert G.Wilson v_，2008年3月1日*）

%t RealDigits[GoldenRatio，10120][1]（*哈维·P·戴尔，2015年10月28日*）

%o（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=（1+平方（5））/2；对于（n=120000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b001622.txt”，n，“”，d）；\\_Harry J.Smith，2009年4月19日

%o（PARI）

%o/*数字-数字方法：写为0.5+sqrt（1.25），从百分位开始*/

%o r=11；x=400；打印（1）；打印（6）；

%o表示（dig=1110，{d=0；while（20*r+d）*d<=x，d++）；

%o d--；/*当循环超出正确的数字时*/

%o打印（d）；x=100*（x-（20*r+d）*d）；r=10*r+d}）

%2009年10月24日，迈克尔·波特

%o（PARI）

%o a（n）=楼层（10^（n-1）*（quadgen（5））%10）；

%o alist（len）=数字（楼层（quadgen（5）*10^（len-1））；\\_2022年6月22日，Chittaranjan Pardeshi

%o（Python）

%o从sympy导入S

%o def alst（n）：#截断多余的最后一位以避免舍入

%o返回列表（map（int，str（S.GoldenRation.n（n+1））.replace（“.”，“”））[：-1]

%o打印（alst（105））#_Michael S.Branicky_，2021年1月6日

%Y参考A000012（连续分数系数）、A000032、A000045、A006497、A080039、A104457、A188635、A192222、A192233、A145996、A139339、A197762、A002163、A094874、A134973。

%Y参见A102208、A102769、A131595。

%Y参见A302973、A303069、A304022。

%K nonn，cons，nice，easy，changed

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.斯隆_

%E由_Lekraj Beedassy提供的其他链接，2003年12月23日

%E更多术语，来自Gabriel Cunningham（gcasey（AT）mit.edu），2004年10月24日

%E更多条款，来自斯特凡·斯坦纳伯格，2006年4月2日

%2009年1月3日，古腾堡项目的E断开URL被_Georg Fischer替换

%E编辑：M.F.Hasler，2014年2月24日