%I M0518 N0186#447 2024年5月5日19:56:44

%S 1,1,2,3,4,5,7,8,10,12,14,16,19,21,24,27,30,33,37,40,44,48,52,56,61，

%电话：65,70,75,80,85,91,96102108114120127133140147154161169176，

%电话：184192200208217225234243261271280290300310320331341

%N a（N）是N最多分为3部分的分区数；也是n+3的分区，其中最大部分是3；还有3个节点和n条边的未标记多重图的数量。

%C还有n个顶点上的三脚架数量（正好有3片叶子的树）_Eric W.Weisstein，2011年3月5日

%C同时将n+3的分区数精确分为3个部分；最大部分小于或等于3的n个分区的数量；b+2c+3d=n的非负解的个数。

%C另外，a（n）给出了将n+6划分为3个不同部分的分区数，以及将2n+9划分成3个不同和奇数部分的分区数目，例如，15=11+3+1=9+5+1=7+5+3_Jon Perry，2004年1月7日

%C还有带有n+3个珠子的手镯，其中3个是红色的（因此有2种可能带有5个珠子）。

%C更一般地，将n划分为最多k个部分的分区数也是将n+k划分为k个正部分的分区数、其中最大部分为k的n+k的分区数、其中最大部分小于或等于k的n的分区数、n+k（k+1）的分区数/2精确到k个不同的正部分，b+2c+3d+…+的非负解的个数kz=n和2c+3d+…+的非负解的个数kz<=n.-亨里·博托姆利，2001年4月17日

%C当m趋于无穷大时，（m选择3）_q展开式中的q ^n系数Y.Kelly Itakura（yitkr（AT）mta.ca），2002年8月21日

%C来自Winston C.Yang（Winston（AT）cs.wisc.edu），2002年4月30日：（开始）

%C写1,2,3,4，。。。在围绕0的六角螺旋中，n＞0的a（n）由折叠点（包括初始1）形成。螺旋开始于：

%C、。

%C 85-84--83--82--81--80

%客户/\

%C 86 56——55——54——53——52 79

%C//\\

%C 87 57 33--32--31--30 51 78

%C///\\\

%C 88 58 34 16--15--14 29 50 77号

%C/////\\\

%C 89 59 35 17 5----4 13 28 49 76

%C/////\\\

%C 90 60 36 18 6 0 3 12 27 48 75号

%C////////////

%C 91 61 37 19 7 1----2 11 26 47 74号

%\\\\////

%C 62 38 20 8----9-10 25 46 73

%C \\///

%C 63 39 21-22-23-24 45 72

%抄送\ \//

%C 64 40——41——42——43——44 71

%C \/

%C 65——66——67——68——69——70

%C、。

%C a（p）是一个周长最多为2p+6的多角形中的最大六边形数。（结束）

%C a（n-3）是n分为3个不同部分的分区数，其中0是允许的一部分。例如，在n=9时，我们可以写8+1+0、7+2+0、6+3+0、4+5+0、1+2+6、1+3+5和2+3+4，即a（6）=7_乔恩·佩里（Jon Perry），2003年7月8日

%C a（n）给出了n+6分为<=3部分的分区数，其中每个部分至少使用一次（从n中减去6=1+2+3）_Jon Perry_，2004年7月3日

%C这也是n+3划分为3个部分的数量（其中最大部分为3的n+3分区数量与n+3分为三个部分的分区数量之间存在1对1的对应关系）_Graeme McRae_，2005年2月7日

%C将Riordan数组（1/（1-x^3），x）应用于地板（（n+2）/2）。-_保罗·巴里（Paul Barry），2005年4月16日

%C另外，可以用奇数周长3、5、7、9、11…创建的三角形数，。。。所有方面都是整数。请注意，通过将每边增加1，可以从奇数三角形生成周长为偶数的三角形。例如，a（1）=1，因为周长3可以构成{1,1,1}1三角形。a（4）=3，因为周长9可以使{1,4,4}{2,3,4}}{3,3,3}成为3个可能的三角形Bruce Love（Bruce_Love（AT）ofs.edu.sg），2006年11月20日

%C Diophantine方程x+2*y+3*z=n的非负解数，参见Pólya/Szegő参考。

%C摘自_Vladimir Shevelev，2011年4月23日：（开始）

%C另外，a（n-3），n>=3，是由3个珠子组成的非等效项链的数量，每个珠子由n种颜色中的一种涂成。

%序列{a（n-3），n>=3}解决了k=3情况下关于凸k-gons的所谓Reis问题（参见我们对A032279的评论）。

%C a（n-3）（n>=3）是n阶（0,1）-循环中每行有三个1的恒量的不同值个数的基本上不可改进的上限估计。（结束）

%C A001399（n）是具有{0，…，n}中所有项且w=2*x+3*y.-Clark Kimberling_2012年6月4日的3元组（w，x，y）的数目

%C此外，对于n>=3，a（n-3）是n-gon中不同三角形的数量，请参见Ngaokrajang链接_Kival Ngaokrajang，2013年3月16日

%C此外，a（n）是5曲线硬币图案的总数（5C4S类型：5曲线覆盖全部4个硬币和对称），填充到硬币库中（n+3）。请参阅链接中的插图_Kival Ngaokrajang，2013年10月16日

%C另外，a（n）=长度为3[Ponomarenko]的Z_n的最小零序列数的一半_N.J.A.Sloane，2014年2月25日

%C此外，a（n）等于八面体旋转能面幂级数展开中2n阶线性无关项的数目（参见Harter&Patterson）_Bradley Klee_，2015年7月31日

%有限Coxeter群D_3和A_3.-不变量的Molien级数_N.J.A.斯隆，2016年1月10日

%C三个盒子中n+6个相同球的不同分布数，如x，y，z，其中0＜x＜y＜z。-Ece Uslu_和Esin Becenen，2016年1月11日

%C a（n）也是2*n的分区数，其中<=n个部分，无部分>=4。无部分>=4的n的分区的双射是：1<->2，2<->1+3，3<->3+3（遵循这些规则的顺序）。<-方向使用以下事实来划分2*n，<=n个部分，没有部分>=4：每个部分1有一个部分3，其余部分3有一个偶数（包括0）_Wolfdieter Lang，2019年5月21日

%C按非递减顺序列出A000567（n>=1）、A049450（n>+1）、A033428（n>=1）、A04.9451（n>=1）、AO45944（n>/1）和A003215（n）中的术语。n>=1且m>=0的数字A056105（n）-1、A056106（n）-1,A056107（n）-1-、A056108（n）-1、A056109（n）-01和A003215（m）的列表，以非递减顺序排列。n>=1的形式3n*（n-1）+1，n*（3n-2），n*。整数m，使从1开始的六角形螺旋上从1到m的晶格点形成凸多边形_陆亚平，2024年1月24日

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%H Gus Wiseman，不同正整数的有序三元组数与n之和。

%H Gus Wiseman，不同正整数的非单峰三元组数与n之和。

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%H<a href=“/index/Rec#order_06”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（1,1,0，-1，-1,1）。

%H<a href=“/index/Mo#Molien”>Molien系列的索引条目。

%财务报表：1/（1-x）*（1-x^2）*（1-x^3））。

%F a（n）=圆形（（n+3）^2/12）。请注意，这不能是（2*i+1）/2的形式，因此绝对不会出现联系。

%F a（n）=A008284（n+3，3），n>=0。

%Z.-Michael Somos中所有n的F a（n）=1+a（n-2）+a（n-3）-a（n-5），2006年9月4日

%2006年9月4日Z.-Michael Somos中所有n的F a（n）=a（-6-n）

%F a（6*n）=A003215（n），a（6*n+1）=A000567（n+1），a。

%F a（n）=a（n-1）+A008615（n+2）=a_Henry Bottomley，2001年4月17日

%F P（n，3）=（1/72）*（6*n^2-7-9*pcr{1，-1}（2，n）+8*pcr}2，-1,1}（3，n））（见Comtet）。[此处“pcr”代表“主要循环器”，其定义见Comtet第109页，而公式见第110页。]_Petros Hadjicostas_，2019年10月3日]

%F设m>0和-3<=p<=2由n=6*m+p-3定义；那么对于n>-3，a（n）=3*m^2+p*m，对于n=-3，a_Floor van Lamoen_，2001年7月23日

%F 72*a（n）=17+6*（n+1）*（n+5）+9*（-1）^n-8*A061347（n）。-_Benoit Cloitre_，2003年2月9日

%F发件人：Jon Perry，2003年6月17日：（开始）

%F a（n）=6*t（楼层（n/6））+（n%6）*（楼层（n/6）+1）+（n mod 6==0？1:0），其中t（n）=n*（n+1）/2。

%F a（n）=天花板（1/12*n^2+1/2*n）+（n mod 6==0？1:0）。

%F[此处“n%6”表示“n mod 6”，而“（n mod 6==0？1:0）”表示“如果n mod 4==0，则为1，否则为0”（如C中所示）。]

%F（结束）

%F a（n）=总和{i=0..楼层（n/3）}1+楼层（（n-3*i）/2）.-_乔恩·佩里（Jon Perry），2003年6月27日

%F a（n）=和{k=0..n}层（（k+2）/2）*（cos（2*Pi*（n-k）/3+Pi/3）/3+sqrt（3）*sin（2*Pi*（n-k）/3+Pi/3）/3+1/3）_保罗·巴里（Paul Barry），2005年4月16日

%F（m选择3）_q=（q^m-1）*（q^（m-1）-1）*。

%F a（n）=Sum_{k=0..楼层（n/2）}楼层（（3+n-2*k）/3）。-_保罗·巴里，2003年11月11日

%F A117220（n）=a（A003586（n））。-_Reinhard Zumkeller，2006年3月4日

%F a（n）=3*总和{i=2..n+1}楼层（i/2）-楼层（i/3）.-_托马斯·维德，2007年2月11日

%F与{I，J}整数网格内或边界上以三条直线I=0，I-J=0和I+2J=n.-_Jonathan Vos Post_为界的点数相同，2007年7月3日

%对于n>2.，F a（n）=A026820（n，3）_Reinhard Zumkeller_，2010年1月21日

%长度3序列的F Euler变换[1，1，1]_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年2月25日

%F a（n）=A005044（2*n+3）=A00.5044（2*n+6）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年2月25日

%F a（n）=A000212（n+3）-A002620（n+3）。-_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2013年12月8日

%F a（n）=a（n-1）+a（n-2）-a（n-4）-a_David Neil McGrath_，2015年2月14日

%F a（n）=楼层（n^2+3）/12）+楼层（n+2）/2）_贾科莫·古列里（Giacomo Guglieri），2019年4月2日

%F From _Devansh Singh_，2020年5月28日：（开始）

%F设p（n，3）是每个部分都大于0的三部分整数分区数。

%F那么对于n>=3，p（n，3）等于：

%当n是奇数且3不除n时，F（n^2-1）/12。

%F（n^2+3）/12，当n是奇数，3除以n。

%F（n^2-4）/12，当n是偶数且3不除以n时。

%F（n^2）/12，当n是偶数，3除以n。

%对于n>=3，p（n，3）=a（n-3）。（结束）

%F a（n）=楼层（（（n+3）^2+4）/12）。-_Vladimír Modrák，Zuzana Soltysova，2020年12月8日

%F和{n>=0}1/a（n）=15/4-Pi/（2*sqrt（3））+Pi^2/18+tanh_阿米拉姆·埃尔达尔，2022年9月29日

%例如：exp（-x）*（9+exp（2*x）*）（47+42*x+6*x^2）+16*exp（x/2）*cos（sqrt（3）*x/2））/72.-_Stefano Spezia，2023年3月5日

%F a（6n）=1+6*A000217（n）；求和{i=1..n}a（6*i）=A000578（n+1）.-_大卫·加西亚·埃雷罗，2024年5月5日

%e G.f.=1+x+2*x^2+3*x^3+4*x^4+5*x^5+7*x^6+8*x^7+10*x^8+12*x^9+。。。

%e回想一下，项链中相邻的珠子有不同的颜色。假设我们有n种颜色，标签为1，。。。，n.如果相邻颜色标签之间的距离模n的循环序列具有相同的周期，则珠子的两种颜色是等效的。如果n=4，则所有颜色都是等效的。例如，对于着色{1,2,3}和{1,2,4}，我们有模为4的距离的相同周期{1,1,2}。因此，a（n-3）=a（1）=1。如果n=5，那么我们有两个这样的周期{1,1,3}和{1,2,2}模5。因此a（2）=2.-_Vladimir Shevelev，2011年4月23日

%e a（0）=1，即{1,2,3}6个相同球在x、y和z三个盒子中的不同分布数，其中0<x<y<z.-Ece Uslu_，Esin Becenen，2016年1月11日

%e a（3）=3，即{1,2,6}，{1,3,5}，}2,3,4}9个相同球在x，y和z三个盒子中的不同分布数，其中0<x<y<z.-Ece Uslu_，Esin Becenen，2016年1月11日

%e来自Gus Wiseman_，2019年4月15日：（开始）

%e以下是n的a（0）=1到a（8）=10整数分区，最多有三个部分。这些分区的Heinz数由A037144给出。

%e（）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）

%e（11）（21）（22）（32）（33）（43）（44）

%e（111）（31）（41）（42）（52）（53）

%e（211）（221）（51）（61）（62）

%e（311）（222）（322）（71）

%e（321）（331）（322）

%e（411）（421）（428）

%e（511）（431）

%e（521）

%e（611）

%e n+3的a（0）=1到a（7）=8整数分区，其最大部分为3，如下所示。这些分区的Heinz数由A080193给出。

%e（3）（31）（32）（33）（322）（332）（1333）（3322）

%e（311）（321）（331）（3221）（3222）（3331）

%e（3111）（3211）（3311）（3321）（32221）

%e（31111）（32111）（31211）（33211）

%e（311111）（33111）（322111）

%e（321111）（331111）

%e（3111111）（3211111）

%e（31111111）

%e具有3个顶点和n条边的a（0）=1到a（5）=5个未标记多重图的非同构表示如下。

%e{}{12}{12,12}{12,12}{12，12,12，12}{12,12,12，12}

%e{13,23}{12,13,23}}{12,13,23,23}[12,13,13,223}

%电子{13,23,23}{13,13,23,23}{12,13,23，23}

%电子{13,23,23,23}{13,13,23，23}

%e｛13,23,23,23,23｝

%e n-6的a（0）=1到a（8）=10严格整数分区，由三部分组成，如下所示（a=10，B=11）。这些分区的Heinz编号由A007304给出。

%e（321）（421）（431）（43）（532）（542）（54）（643）（653）

%e（521）（531）（541）（632）（642）（652）（743）

%e（621）（631）（641）（651）（742）（752）

%e（721）（731）（772）（751）（761）

%e（821）（741）（832）（842）

%e（831）（841）（851）

%e（921）（931）（922）

%e（A21）（941）

%e（A31）

%e（B21）

%e n+3的a（0）=1到a（8）=10整数分区，由三部分组成，如下所示。这些分区的Heinz数由A014612给出。

%e（111）（211）（221）（222）（322）（332）（1333）（433）（443）

%e（311）（321）（331）（422）（432）（442）（533）

%e（411）（421）（431）（441）（532）（542）

%e（511）（521）（52）（541）（551）

%e（611）（531）（622）（632）

%e（621）（631）（641）

%e（711）（721）（72）

%e（811）（731）

%e（821）

%e（911）

%e n的a（0）=1到a（8）=10整数分区，其最大部分<=3如下。这些分区的海因茨数由A051037给出。

%e（）（1）（2）（3）（22）（32）（33）（322）（332）

%e（11）（21）（31）（221）（222）（331）（2252）

%e（111）（211）（311）（321）（2221）（3221）

%e（1111）（2111）（2211）（3211）（3311）

%e（11111）（3111）（22111）（22211）

%e（21111）（31111）（32111）

%e（111111）（211111）（221111）

%e（1111111）（311111）

%e（2111111）

%e（11111111）

%e a（0）=1到a（6）=7个2n+9的严格整数分区，包含3个部分，所有部分都是奇数，如下所示。A307534给出了这些分区的海因茨数。

%e（5,3,1）（7,3,1）（7,1,5,1）

%e（9,3,1）（9,5,1）

%e（11,3,1）（11,5,1）

%e（13,3,1）（13,5,1）

%e（15,3,1）（13,7,1）

%e（15,5,1）

%e（17,3,1）

%e a（0）=1到a（8）=10个n+3的严格整数分区，其中允许0作为一部分（a=10）：

%e（210）（310）（320）（420）（430）（530）（540）（640）（650）

%e（410）（510）（520）（620）（630）（730）（740）

%e（321）（610）（710）（720）（820）（830）

%e（421）（431）（810）（910）（920）

%e（521）（432）（532）（A10）

%e（531）（541）（5402）

%e（621）（631）（622）

%e（721）（641）

%e（731）

%e（821）

%e n+6的a（0）=1到a（7）=7整数分区，其不同部分为1、2和3，如下所示。这些分区的Heinz数由A143207给出。

%e（321）（3211）（3221）（3321）（32221）（33221）

%e（32111）（32211）（33211）

%e（321111）（322111）（332111）

%e（3211111）（3221111）（222111）

%e（32111111）（3321111）

%e（32211111）

%e（321111111）

%e（结束）

%e 2*n的分区，其中<=n个部分，无部分>=4：a（3）=3分别从（2^3）、（1,2,3）和（3^2）映射到（1^3），（1,2），（3），3的分区中无部分>=4_Wolfdieter Lang，2019年5月21日

%p[seq（1+楼层（（n^2+6*n）/12），n=0..60）]；

%p A001399:=-1/（z+1）/（z**2+z+1）-（z-1）**3；#_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）1992年论文

%p表示n从1到20的do结果：=0：表示i从2到n+1的do效果：=结果+（楼层（i/2）-楼层（i/3））；od；结果；od；编号_托马斯·维德，2007年2月11日

%p with（combstruct）：ZL4:=[S，{S=集合（循环（Z，卡<4））}，未标记]：seq（计数（ZL4，大小=n），n=0..61）；#_泽因瓦利·拉霍斯，2007年9月24日

%p B:=[S，{S=集合（序列（Z，1<=卡），卡<=3）}，未标记]：seq（组合结构[计数]（B，大小=n），n=0..61）；#_Zerinvary Lajos，2009年3月21日

%t系数列表[级数[1/（（1-x）*（1-x^2）*（1-x^3）），{x，0，65}]，x]

%t表[Length[Integer Partitions[n，3]]，{n，0，61}]（*由_Jean-François Alcover_更正，2012年8月8日*）

%t k=3；表[（应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，除数[GCD[n，k]]]/n+二项式[Cf[OddQ[n]，n-1，n-If[OdQ[k]，2，0]]/2，If[OddQ[k]，k-1，k]/2]）/2，{n，k，50}]（*_Robert A.Russell_，2004年9月27日*）

%t线性递归[{1,1,0，-1，-1,1}，{1,1,2,3,4,5}，70]（*哈维·P·戴尔，2012年6月21日*）

%t a[n_]：=带[{m=Abs[n+3]-3}，长度[IntegerPartitions[m，3]]]；（*迈克尔·索莫斯，2014年12月25日*）

%t k=3（*手镯问题中的红色珠子数量*）；系数列表[系列[（1/k Plus@@（EulerPhi[#]（1-x^#）^（-（k/#））和/@除数[k]）+（1+x）/（1-x*2）^楼层[（k+2）/2]），{x，0,50}]，x]（*_Herbert Kociemba_，2016年11月4日*）

%t表[Length[Select[Integer Partitions[n，{3}]，UnsameQ@#&]]，{n，0,30}]（*_Gus Wiseman_，2019年4月15日*）

%o（PARI）{a（n）=圆形（（n+3）^2/12）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年9月4日*/

%o（哈斯克尔）

%o a001399=p[1,2,3]，其中

%o p _ 0=1

%o p[]_=0

%o p ks’@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m

%o——Reinhard Zumkeller，2013年2月28日

%o（岩浆）I:=[1,1,2,3,4,5]；[n le 6选择I[n]else Self（n-1）+Self_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年2月14日

%o（岩浆）[#受限分区（n，{1,2,3}）：[0.62]中的n；//_Marius A.Burtea，2019年1月6日

%o（岩浆）[圆形（（n+3）^2/12）：n in[0..70]]；//_Marius A.Burtea，2019年1月6日

%o（Python）[print（round（（n+3）**2/12），end='，'）for n in range（0,62）]#_Ya-Ping Lu_，2024年1月24日

%Y参考A008724、A003082、A117485、A026810、A026811、A026812、A026813、A026814、A026815、A026816、A0000228、A036496、A008619、A001400、A001401、A069905、A008615，A192517第3行。

%有限Coxeter群D_3到D_12的Y-Molien级数为A001399、A051263、A266744-A266751。

%Y参考A007304、A014612、A037144、A051037、A080193、A143207、A307534。

%不，简单，好

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E Name由Gus Wiseman_编辑，2019年4月15日