%I M0056 N0019#191 2024年1月3日05:05:52

%S 0,1,1,1,1,2,1,1,1,1,2,1,2,1,1,2,2,1,1,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,1,2,1,2,2，

%温度2,2,1,2,2,2,1,3,1,2,2,1,1,2,2,1,2,1,2,2,2,1,2,2,1,2,2,3,1,2，

%U 2,3,1,2,1,2,2,2,3,12,1,2,3,2,2,2,2,2,1,3,2,2,2,2,2,2,2,2,12,2,2,1,3,12,3,2

%N除以N的不同素数（也称为ω（N））。

%C摘自Peter C.Heinig（algorithms（AT）gmx.de），2008年3月8日：（Start）

%这也是环（Z/nZ，+，*）的最大理想数。由于每个有限积分域必须是一个域，因此Z/nZ的每个素理想都是一个极大理想，并且由于通常每个极大理想都是素，所以Z/nZ中的素理想和最大理想的数量一样多，因此序列也给出了Z/nZ素理想的数量。

%C序列给出这个数的原因是，Z/nZ的理想正好是（Z/nZ，+）的子群。因此，为了使理想达到最大，它形成了（Z/nZ，+）的一个极大子群，这等价于在（Z/nZ）中有素数指标，这相当于由n的一个素数因子生成。

%最后，所有以这种方式产生的群都有不同的阶，因此是不同的，所以最大理想的数目等于不同素数除以n的数目

%C等于A143519的双逆Mobius变换，其中A051731=逆Mobius变换_Gary W.Adamson_，2008年8月22日

%C a（n）是n（不包括1）的酉素数幂因子的个数_雅罗斯拉夫·克里泽克（Jaroslav Krizek），2009年5月4日【由伊莉亚·古特科夫斯基（_Ilya Gutkovskiy）更正，2019年10月9日】

%C总和{d|n}2^（-A001221（d）-A001222（n/d））=总和{d| n}2^_Michel Marcus，2012年12月18日

%C高达2*3*5*7*11*13*17*19*23*29-1=6469693230-1，也是常数0.01111211…=和{k>=0}1/（10^A000040（k）-1）的十进制展开式（参见A073668）_Eric Desbiaux，2014年1月20日

%C a（n）的平均次序：Sum_{k=1..n}a（k）~Sum__{k=1..n}log log k.-Daniel Forgues_，2015年8月13-16日

%C From _Peter Luschny_，2023年7月13日：（开始）

%我们可以使用A001221和A001222对正整数进行如下分类。

%C A001222（n）=A001221（n）=0单选{1}。

%C限制为n>1：

%C A001222（n）^ A001221（n）=1:A000040，质数。

%C A001221（n）^ A001222（n）=1:A246655，素数幂。

%C A0001222（n）^A0001221（n）>1:A002808，复合数字。

%C A0001221（n）^A0001222（n）>1:A024619，A246655的补码。

%Cn^（A001222（n）-A001221（n））=1:A144338，不同素数的乘积。（结束）

%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第844页。

%D J.Peters，A.Lodge和E.J.Ternouth，E.Gifford，因子表（n<100000）（英国数学协会第五卷），伯灵顿出版社/剑桥大学出版社伦敦，1935年。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H N.J.A.Sloane和Daniel Forgues，<A href=“/A0012121/b001221.txt”>N表，A（N）表示N=1..100000</A>（第一个10000来自NJAS）

%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》，国家标准局，应用数学系列55，第十版，1972年[替代扫描件]。

%H Henry Bottomley，<a href=“http://www.se16.info/js/factor.htm“>基本因子计算器</a>

%H J.Brennen，<a href=“http://www.brennen.net/primes/FactorApplet.html“>主要保理小程序</a>

%H J.Britton，<a href=“http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbprimefactor.htm“>基本因子分解机</a>

%H A.丹丹，<A href=“http://www.analyzemath.com/Calculators_3/prime_factors.html“>基本因子计算器</a>

%H Robert E.Dressler和Jan van de Lune，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-1973-0340191-8“>关于数论函数ω和ω的一些评论，Proc.Amer.Math.Soc.41（1973），403-406

%H J.火焰，<a href=“http://jocelyn.soofy.net/np/decomposition.php“>Decomposition d'un-nombre en facteurs首映式</a>

%H G.H.Hardy和S.Ramanujan，<a href=“网址：http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivPapers/Cpaper35/page1.htm“>一个数的素数因子的正常数，Quart.J.Math.48（1917），76-92。还收集了Srinivasa Ramanujan的论文，AMS Chelsea Publ。，普罗维登斯，RI（2000）：262-275。

%H A.Hodges，<A href=“http://www.cryptographic.co.uk/factorise.html“>用于分解的Java Applet</a>

%H M.Kac，<a href=“网址：http://www.gibbs.if.usp.br/~marchett/estocastica/MarkKac-Statistical-Independence.pdf“>概率、分析和数论中的统计独立性，Carus Monograph 12，数学协会Amer.，1959年，见第64页。

%H S.O.S.数学，<a href=“http://www.sosmath.com/tables/factor/factor.html“>前1000个整数的素因式分解</a>

%H K.Matthews，<a href=“http://www.numbertheory.org/php/factor.html“>因子分解和计算phi（n）、omega（n）、d（n）、sigma（n）和mu（n）</a>

%H J.Moyer，<a href=“网址：http://www.rsok.com/~jrm/factor.html“>“Prime Factors of Integers”服务器，用于最大10^36的数字</a>

%H Primefan，<a href=“http://primefan.tripod.com/500factored.html“>前2500个整数，因子化</a>

%H Primefan，<a href=“http://primefan.tripod.com/Factor.html“>保理商</a>

%H F.Richman，<a href=“http://math.fau.edu/Richman/mla/factor-f.htm“>分解为素数</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/DistinctPrimeFactors.html“>独特的主要因素</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/MoebiusTransform.html“>Moebius变换</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/PrimeFactor.html“>主要因素</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/PrimeZetaFunction.html“>素数zeta函数primezeta（s）</a>。

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_factor“>主要因素</a>

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_prime_factors网站“>基本因子表</a>

%H G.Xiao，WIMS服务器，<a href=“http://wims.unice.fr/~wims/en_tool~algebration~factor.en.html“>因子</a>

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Eu#epf”>根据n的因子分解中的指数计算的序列的索引项</a>

%F G.F.：和{k>=1}x^素数（k）/（1-x^素（k））_Benoit Cloitre_，2003年4月21日；修订人：Franklin T.Adams-Waters，2009年9月1日

%F Dirichlet生成函数：zeta（s）*素数_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2005年9月11日

%F a（p^e）=1的加法。

%F a（1）=0，a（p）=1，a（pq）=2，a（pq…z）=k，a（p^k）=1，其中p，q。。。，z是k个不同的素数和k个自然数_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年5月4日

%F a（n）=log_2（和{d|n}μ（d）^2）_恩里克·佩雷斯·埃雷罗，2012年7月9日

%F a（A002110（n））=n，即a（prime（n）#）=n.-_Jean-Marc Rebert_，2015年7月23日

%F a（n）=A091221（A091202（n））=A069010（A156552（n）_Antti Karttunen，大约2004年和2017年3月6日

%F L.g.F.：-log（Product_{k>=1}（1-x^prime（k））^（1/prime（k）））=Sum_{n>=1}a（n）*x^n/n.-Ilya Gutkovskiy_，2018年7月30日

%F a（n）=log_2（总和{k=1..n}mu（gcd（n，k））^2/φ_理查德·奥尔勒顿（Richard L.Ollerton），2021年5月13日

%F总和{k=1..n}2^（-a（gcd（n，k））-A001222（n/gcd（n，k）））/phi_理查德·奥尔勒顿（Richard L.Ollerton），2021年5月13日

%F a（n）=A005089（n）+A005091（n）+A059841（n_R.J.Mathar，2021年7月22日

%p A001221:=程序（n）本地t1，i；如果n=1，则返回0，否则返回t1:=0；对于i到n do，如果n mod ithprime（i）=0，则t1:=t1+1 end，如果end do end if；t1末端程序；

%p A001221:=进程（n）nops（numtheory[factorset]（n））结束进程：#_Emeric Deutsch_

%t数组[Length[FactorInteger[#]]&，100]

%t PrimeNu[范围[120]]（*哈维·P·戴尔，2011年4月26日*）

%o（MuPAD）函数（nops（numlib:：素数因子（n）），n）：

%o（MuPAD）numlib:：omega（n）$n=1.110//_Zerinvary Lajos_，2008年5月13日

%o（PARI）a（n）=ω（n）

%o（鼠尾草）

%o def A001221（n）：返回和（如果is_prime（p），则除数（n）中的p为1）

%o[A001221（n）代表（1..80）中的n]#_Peter Luschny_，2012年2月1日

%o（Sage）[sloane.A001221（n）代表n in（1..111）]#_Giuseppe Coppoletta_，2015年1月19日

%o（哈斯克尔）

%o导入数学。数论。底漆。分解（factorise）

%o a001221=长度。瑞士。解压缩。因子分解酶

%o--_Reinhard Zumkeller_，2015年11月28日

%o（Python）

%o来自症状综合输入原因子

%o打印（[len（primefactors（n））for n in range（11001）]）#_Indranil Ghosh，2017年3月19日

%o（岩浆）[#PrimeDivisors（n）：[1..120]]中的n；//_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2021年10月15日

%o（朱莉娅）

%o使用Nemo

%o函数NumberOfPrimeFactors（n；distinct=true）

%o不同和返回长度（系数（ZZ（n）））

%o因子（ZZ（n））中（p，e）的总和（e）；初始化=0）

%o端

%o println（[NumberOfPrimeFactors（n）for n in 1:60]）#_Peter Luschny_，2024年1月2日

%Y参见A001222（素数以多重数计算），A046660，A285577，A346617。部分金额为A013939。

%Y另请参阅A125666、A069010、A087624、A091202、A091221、A143519、A144494、A158210、A156542、A156552、A000010、A008683。

%Y素数k次幂之和除以n得到k=0..10：这个序列（k=0），A008472（k=1），A005063（k=2），A00.5064（k=3），A0105065（k=4），A351193。

%形式为n^k*Sum_{p|n，pprime}1/p^k的Y序列，k=0..10：此序列（k=0），A069359（k=1），A322078（k=2），A351242（k=3），A51244（k=4），A351245（k=5），A351246（k=6），A35247（k=7），A321248（k=8），A34249（k=9），A3151262（k=10）。

%K nonn，简单，好，核心

%O 1,6型

%A _N.J.A.斯隆_