%I M1769 N0700#318 2024年5月16日15:45:36

%S 1,2,7,26,973621351504218817702262087978122365040113623482，

%电话：50843527189750626708158977264288528296338215136810643322，

%电话：1373791911375127061226191344529376771410750538422665085492160199462344632562371198523608647

%N a（0）=1，a（1）=2，a（N）=4*a（N-1）-a（N-2）。

%C Chebyshev的T（n，x）多项式在x=2时求值。

%Cx=2^n-1是素数当且仅当x除以a（2^（n-2））。

%序列中的任何k后面都是2*k+sqrt{3*（k^2-1）}_Lekraj Beedassy，2002年6月28日

%对于序列中的所有元素x，12*x^2-12是一个正方形。Lim_{n->infinity}a（n）/a（n-1）=2+sqrt（3）=（4+sqert（12））/2，它保留了与等式“12*x^2-12是一个正方形”的亲缘关系，其中初始的“12”以平方根结尾_Gregory V.Richardson，2002年10月10日

%C这个序列给出了丢番图方程x^2-3*y^2=1的解中x的值；y的相应值在A001353中。解比a（n）/A001353（n）作为sqrt（3）的连分式展开式的收敛：作为[2；-4]的连续收敛或作为[1；1,2]的奇收敛_Lekraj Beedassy，2003年9月19日[由Jon E.Schoenfield_编辑，2014年5月4日]

%C a（n）是三个连续整数列表中中心值的一半，即具有整数边和面积的三角形边的长度尤金·麦克唐奈（eemcd（AT）mac.com），2003年10月19日

%C a（3+6*k）-1和a（3+6*k）+1是连续的奇数强大数。参见A076445_T.D.Noe_，2006年5月4日

%C中间收敛到3^（1/2），从3/2、12/7、45/26、168/97开始，构成严格递增序列；基本上，分子=A005320，分母=A001075_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2008年8月27日

%C上主收敛到3^（1/2），从2/1、7/4、26/15、97/56开始，构成一个严格递减序列；分子=A001075，分母=A001353_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2008年8月27日

%C a（n+1）是A000108（n）+A000984（n）=（n+2）*加泰罗尼亚语（n）的汉克尔变换_保罗·巴里（Paul Barry），2009年8月11日

%C此外，楼层（a（n）^2/3）为正方形的数字：以3为基数模拟A031149、A204502、A204514、A2045126、A20451、A204520、A004275、A001541_M.F.Hasler，2012年1月15日

%C皮萨诺周期长度：1、2、2、4、3、2、8、4、6、6、10、4、12、8、8、18、6、5、12…-_R.J.Mathar，2012年8月10日

%C除第一项外，x（或y）的正值满足x^2-4*x*y+y^2+3=0_科林·巴克尔，2014年2月4日

%C除第一项外，x（或y）的正值满足x^2-14*x*y+y^2+48=0_科林·巴克，2014年2月10日

%C通过取生产矩阵M，可以构造一个具有生成序列的行和的三角形。取M的幂，提取顶行。

%C M公司=

%C1,1,0,0,0，0。。。

%C2,0,3,0,0,0。。。

%C2,0,0,3,0,0。。。

%C2,0,0,0，3,0。。。

%C2,0,0,0，0,3。。。

%C。。。

%C由M生成的三角形为：

%C 1，

%C1、1、，

%C 3、1、3、，

%C 11、3、3、9、，

%C 41、11、9、9、27、，

%C。。。

%C左边框为A001835，行总和为（1，2，7，26，97，…）_Gary W.Adamson，2016年7月25日

%C平均诱导项是奇数，而奇数诱导项是偶数。事实上，a（2*n）=2*（a（n））^2-1和a（2*n+1）=2*a（n）*a（n+1）-2.-_Timothy L.Tiffin_，2016年10月11日

%C对于每一个n，a（0）除以a（n），a（1）除a（2n+1），a。这一点的证明可以在第76届普特南数学竞赛的第一个问题A2的解答中找到。以下是考试及其解决方案的链接_Timothy L.Tiffin_，2016年10月12日

%C摘自Timothy L.Tiffin_，2016年10月21日：（开始）

%如果任何项a（n）是质数，那么它的指数n将是2的幂。这是前两条评论中给出的结果的结果。有关这些基本术语，请参见A277434。

%C a（2n）==1（6模）和a（2*n+1）==2（6模型）。因此，a（n）的每个奇素因子将与模6的1同余，因此，在A002476中可以找到。

%如果n==0（mod 6），则C a（n）==1（mod 10），如果n=={1，-1}（mod6），a（n。因此，a（n）最右边的数字形成了一个长度为6:1、2、7、6、7、2的重复循环。（结束）

%Ca（A298211（n））=A002350（3*n^2）_A.H.M.Smeets_，2018年1月25日

%C（2+平方（3））^n=a（n）+A001353（n）*sqrt（3），n>=0；二次数字段Q中的整数（sqrt（3））_Wolfdieter Lang_，2018年2月16日

%C Yong Hao Ng已经证明，对于任何n，a（n）与A001834的任何成员以及A001835的任何成员都是互质的_RenéGy_，2018年2月26日

%C正数k，使得3*（k-1）*（k+1）是一个正方形_戴维德·罗通多，2020年10月25日

%C a（n）*a（n+1）-1=a（2*n+1）/2=A001570。换句话说，对于k=a（2*n+1）/2，（k+1）^6的除数与模k-1同余（参见A350916）_马克斯·阿列克塞耶夫，2022年1月23日

%D Serge Lang，Diophantine近似介绍，Addison-Wesley，纽约，1966年。

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%与切比雪夫多项式相关的序列的索引项</a>

%双向无限序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>带常数的线性重复出现的索引条目，签名（4，-1）。

%传真：（1-2*x）/（1-4*x+x^2）。-_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）1992年论文

%例如：exp（2*x）*cosh（sqrt（3）*x）。

%F a（n）=4*a（n-1）-a（n-2）=a（-n）。

%F a（n）=（S（n，4）-S（n-2，4））/2=T（n，2），其中S（n、x）:=U（n，x/2），S（-1，x）:=0，S（-2，x）：=-1。U、 相应的。T、 分别是切比雪夫第二多项式。首先，善良。S（n-1，4）=A001353（n），n>=0。参见A049310和A053120。

%F a（n）=A001353（n+2）-2*A001352（n+1）。

%F a（n）=sqrt（1+3*A001353（n））（参见Richardson评论，2002年10月10日）。

%F a（n）=2^（-n）*和{k>=0}二项式（2*n，2*k）*3^k=2^

%F a（n）=（（2+sqrt（3））^n+（2-sqrt）^n）/2；a（n）=天花板（1/2）*（2+平方（3））^（n））。

%F a（n）=cosh（n*log（2+sqrt（3）））。

%Fa（n）=Sum_{k=0..楼层（n/2）}二项式（n，2*k）*2^（n-2*k）*3^k-包巴尔，2003年5月8日

%F a（n+2）=2*a（n+1）+3*Sum_{k>=0}a（n-k）*2^k.-Philippe Deléham_，2004年3月3日

%F a（n）=2*a（n-1）+3*A001353（n-1_Lekraj Beedassy，2006年7月21日

%F a（n）=M^n*[1,0]的左项，其中M=2X2矩阵[2,3；1,2]。右侧项=A0001353（n）。示例：a（4）=97，因为M^4*[1,0]=[A001075（4），A001353（4）]=[97，56].-_Gary W.Adamson_，2006年12月27日

%A026150的F二项式变换：（1，1，4，10，28，76，…）_加里·亚当森，2007年11月23日

%F A001571的第一个差异。-_N.J.A.Sloane，2009年11月3日

%F序列满足-3=F（a（n），a（n+1）），其中F（u，v）=u^2+v^2-4*u*v.-Michael Somos_，2008年9月19日

%F a（n）=总和{k=0..n}A201730（n，k）*2^k.-Philippe Deléham，2011年12月6日

%F G.F.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（3*k-4）/（x*（3+k-1）-2/G（k+1））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月28日

%F a（n）=和{k=0..n}A238731（n，k）.-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2014年3月5日

%F a（n）=（-1）^n*（A125905（n）+2*A125906（n-1）），n>0.-_2018年11月11日，Franck Maminirina Ramaharo_

%F a（n）=（tan（Pi/12）^n+tan（5*Pi/12，^n）/2.-_格雷格·德累斯顿，2020年10月1日

%F来自_Peter Bala_，2022年8月17日：（开始）

%F a（n）=（1/2）^n*[x^n]（4*x+sqrt（1+12*x^2））^n。

%F g.F.A（x）满足A（2*x）=1+x*B'（x）/B（x），其中B（x）=1/sqrt（1-8*x+4*x^2）是A069835的g.F。

%F高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）适用于所有素数p>=3以及正整数n和k。

%F和{n>=1}1/（a（n）-（3/2）/a（n））=1。

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/（a（n）+（1/2）/a（n））=1/3。

%F和{n>=1}1/（a（n）^2-3/2）=1-1/sqrt（3）。（结束）

%F a（n）=二项式（2*n，n）+2*Sum_{k>0}二项式（2*n，n+2*k）*cos（k*Pi/3）_格雷格·德累斯顿，2022年10月11日

%F2*a（n）+2^n=3*Sum_{k=-n.n}（-1）^k*二项式（2*n，n+6*k）.-_格雷格·德累斯顿，2023年2月7日

%e2^6-1=63不除以a（2^4）=708158977，因此63是复合的。2^5-1=31除以a（2^3）=18817，因此31是素数。

%总资产=1+2*x+7*x^2+26*x^3+97*x^4+362*x^5+1351*x^6+5042*x^7+。。。

%p A001075:=程序（n）

%p矫形[T]（n，2）；

%p端程序：

%p序列（A001075（n），n=0..30）；#_R.J.Mathar，2018年4月14日

%t桌子[天花板[（1/2）*（2+Sqrt[3]）^n]，{n，0，24}]

%t系数列表[系列[（1-2*x）/（1-4*x+x^2），{x，0，24}]，x]（*_Jean-François Alcover_，2011年12月21日，在_Simon Plouffe_*之后）

%t线性递归[{4，-1}，{1,2}，30]（*哈维·P·戴尔，2015年8月22日*）

%吨圆形@桌子[LucasL[2n，Sqrt[2]]/2，{n，0，20}]（*_Vladimir Reshetnikov_，2016年9月15日*）

%t ChebyshevT[范围[0，20]，2]（*_Eric W.Weisstein_，2017年5月26日*）

%t a[n_]：=卢卡斯L[2*n，x]/2/。x->平方码[2]；（*迈克尔·索莫斯，2022年9月5日*）

%o（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（abs（n）），x，2）}；

%o（PARI）{a（n）=实（（2+四元数（12））^abs（n））}；

%o（PARI）{a（n）=polsym（1-4*x+x^2，abs（n））[1+abs（n）]/2}；

%o（PARI）a（n）=polchebyshev（n，1,2）\\查尔斯·格里特豪斯四世，2016年11月7日

%o（PARI）我的（x='x+o（'x^30））；Vec（（1-2*x）/（1-4*x+x^2））\\_G.C.Greubel_，2017年12月19日

%o（SageMath）[lucas_number2（n，4,1）/2代表范围（0，25）内的n]#_Zerinvary Lajos_，2009年5月14日

%o（哈斯克尔）

%o a001075 n=a001075_列表！！n个

%o 001075_列表=

%o 1:2:zipWith（-）（map（4*）$tail a001075_list）a001075列表

%o——_ Inhard Zumkeller_，2011年8月11日

%o（SageMath）

%o定义a（n）：

%o Q=二次域（3，'t'）

%o u=Q.单位（）[0]

%o return（u^n）.lift（）.coeffs（）[0]#_Ralf Stephan_，2014年6月19日

%o（岩浆）I:=[1,2]；[n le 2选择I[n]else 4*Self（n-1）-Self，n-2）：n in[1..30]]；//_G.C.Greubel，2017年12月19日

%Y等分是A011943和A094347。

%Y参见A001353、A065918、A071954、A001571、A001834、A003500、A016064、A082840、A026150、A277434。

%K nonn，简单，不错

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自James A.Sellers_的更多条款，2000年7月10日

%E Chebyshev对Wolfdieter Lang的评论，2002年10月31日