%I M2885 N1157#343 2024年8月31日14:56:27

%S 1,3,11,25137,49363761712973818371186021114599311733，

%电话：11957572436559421423142743012752957995583518858053，

%电话：19093197444316699134782295534052246734395742267312536220033154045889039227046511387

%N a（N）=调和数H（N）的分子=和{i=1..N}1/i。

%C H（n）/2是一堆n张牌在不倾倒的情况下可以伸出桌子边缘的最大距离。

%C根据Wolstenholme定理，对于所有的素数p>3，p^2除a（p-1）。

%C来自_Alexander Adamchuk，2006年12月11日：（开始）

%对于所有p>3的素数，Cp除以a（p^2-1）。

%Cp为A001220中的素数p除以a（（p-1）/2）。

%对于A125854中的素数p，C p除以a（（p+1）/2）或a（（p-3）/2）。

%C a（n）是A056903中n的素数。A067657给出了相应的素数。（结束）

%C a（n+1）是多项式a[1，n]（1）的分子，其中多项式a[属1，等级n]（m）定义为和{d=1..n-1}m^（n-d）/d_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2008年10月16日

%C M.Paterson和U.Zwick找到了更好的卡片堆叠问题解决方案（见链接）_Hugo Pfoertner，2012年1月1日

%C a（n）=A213999（n，n-1）_Reinhard Zumkeller，2012年7月3日

%当且仅当n不来自序列A256102时，C a（n）与A175441（n）一致。A256102中n的商a（n）/A175441（n）作为A256103的相应条目给出_Wolfdieter Lang，2015年4月23日

%C关于Harmonic级数发散的简短证明，请参阅Goldmakher链接_N.J.A.Sloane，2015年11月9日

%C对于n>1，所有项都是奇数，而对应的分母（A002805）都是偶数（Pólya和Szegő的证明）_伯纳德·肖特，2021年12月24日

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%F H（n）~对数n+伽马+O（1/n）。[见哈迪和赖特，第422页。]

%F log n+gamma-1/n<H（n）<log n+gamma+1/n[很容易效仿Hardy and Wright，Th.422]_David Applegate_和N.J.A.Sloane_，2008年10月14日

%H（n）的F G.F:log（1-x）/（x-1）.-_Benoit Cloitre_，2003年6月15日

%F H（n）=sqrt（求和{i=1..n}求和{j=1..n{1/（i*j））.-_Alexander Adamchuk，2004年10月24日

%F a（n）是Gamma/n+Psi（1+n）/n=Gamma+Psi（n）的分子，其中Psi是digamma函数_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2008年11月2日

%F H（n）=3/2+2*Sum_{k=0..n-3}二项式（k+2,2）/（（n-2-k）*（n-1）*n），n>1_Gary Detlefs，2011年8月2日

%F H（n）=（-1）^（n-1）*（n+1）*n*和{k=0..n-1}k*箍筋2（n-1，k）*箍筋1（n+k+1，n+1）/（n+k+1）！.-_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2013年2月5日

%F H（n）=n*和{k=0..n-1}（-1）^k*二项式（n-1，k）/（k+1）^2。（文昌楚）-加里·德特勒，2013年4月13日

%F H（n）=（1/2）*和{k=1..n}（-1）^（k-1）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）/k。（H.W.Gould）-_Gary Detlefs_，2013年4月13日

%F例如，对于H（n）=a（n）/A002805（n）：（gamma+log（x）-Ei（-x））*exp（x），其中gamma是Euler-Marcheroni常数，Ei（x）是指数积分_Vladimir Reshetnikov，2013年4月24日

%F H（n）=残差（（psi（-s）+gamma）^2/2，{s，n}），其中psi是digamma函数，gamma是Euler-Marcheroni常数_Jean-François Alcover，2014年2月19日

%F H（n）=和{m>=1}n/（m^2+n*m）=伽马+数字（1+n），分子和分母。（参见Digamma上的数学世界链接）。-_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2015年1月18日

%F H（n）=（1/2）和{j>=1}和{k=1..n}（（1-2*k+2*n）/（-1+k+j*n）*（k+j*n））+log（n）+1/（2*n）.-_迪米特里·帕帕佐普洛斯（Dimitri Papadopoulos），2016年1月13日

%F H（n）=（n！）^2*和{k=1..n}1/（k*（n-k）*（n+k）！）.-_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2016年3月31日

%F a（n）=搅拌1（n+1，2）/gcd（搅拌1（n+1，2），n！）=A000254（n）/gcd（A000254，n！）.-_Max Alekseyev_，2018年3月1日

%F From _Peter Bala，2019年1月31日：（开始）

%F H（n）=1+（1+1/2）*（n-1）/（n+1）+（1/2+1/3）*（n-1）*（n-2）/（（n+1。

%F H（n）/n=1+（1/2^2-1）*（n-1）/（n+1）+（1/3^2-1/2^2）*（n-1）*（n-2）/（（n+1）*（n+2））+（1/4^2-1/3^2）*（n-1）*（n-2）*（n-3）/（（n+1）*（n+2）*（n+3））+。

%F对于奇数n>=3，（1/2）*H（（n-1）/2）=（n-1。参见A195505。参见A036970中的Bala链接。（结束）

%F H（n）=（（n-1）/2）*超深层（[1,1,2-n]，[2,3]，1）+1.-_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2021年1月8日

%F猜想：对于非零m，H（n）=（1/m）*Sum_{k=1..n}（（-1）^（k+1）/k）*二项式（m*k，k）*二项式（n+（m-1）*k，n-k）。情况m=1是众所周知的；Detlefs（2013年4月13日）给出了上述情况m=2_Peter Bala，2022年3月4日

%F a（n）=连分数1/（1-1^2/（3-2^2/_彼得·巴拉（Peter Bala），2024年2月18日

%F H（n）=和{k=1..n}（-1）^（k-1）*二项式（n，k）/k（H.W.Gould）.-_Gary Detlefs，2024年5月28日

%e H（n）=[1，3/2，11/6，25/12，137/60，49/20，363/140，761/280，7129/2520，…]。

%e与A175441重合：前19个条目重合，因为20是A256102的第一个条目。事实上，a（20）/A175441（20）=55835135/11167027=5=A256103（1）_Wolfdieter Lang，2015年4月23日

%p A001008：=程序（n）

%p加（1/k，k=1..n）；

%p数字（%）；

%p端程序：

%p序列（A001008（n），n=1..40）；#_Zerinvary Lajos_，2007年3月28日_R.J.Mathar，2016年12月2日

%t表[Numerator[Harmonic Number[n]]，{n，30}]

%t（*生成A[1，n]（m）的过程（见注释部分）*）m=1；aa={}；做[k=0；做[k=k+m^（r-d）/d，{d，1，r-1}]；附加到[aa，k]，{r，1，20}]；aa（*阿图尔·贾辛斯基，2008年10月16日*）

%t分子[累加[1/范围[25]]]（*_Alonso del Arte_，2018年11月21日*）

%t分子[表[（n-1）/2）*HypergeometricPFQ[{1，1，2-n}，{2，3}，1]+1，{n，1，29}]]（*_Artur Jasinski_，2021年1月8日*）

%o（PARI）A001008（n）=分子（总和（i=1，n，1/i））\\迈克尔·波特，2009年12月8日

%o（PARI）H1008=列表（1）；A001008（n）={对于（k=#H1008，n-1，listput（H1008、H1008[k]+1/（k+1）））；分子（H1008[n]）}\\对于n=1.1500.-大约快100倍_M.F.Hasler，2019年7月3日

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。比率（%），分子）

%o a001008=分子。总和。地图（1%）。enumFromTo 1

%o a001008_list=映射分子$scanl1（+）$map（1%）[1..]

%o——Reinhard Zumkeller，2012年7月3日

%o（鼠尾草）

%o def谐波（a，b）：#参见F.Johansson链接。

%o如果b-a==1：

%o返回1，a

%o m=（a+b）//2

%o p，q=谐波（a，m）

%o r，s=谐波（m，b）

%o返回p*s+q*r，q*s

%o定义A001008（n）：H=谐波（1，n+1）；返回分子（H[0]/H[1]）

%o[A001008（n）代表（1..29）中的n]#_Peter Luschny_，2012年9月1日

%o（岩浆）[分子（谐波数（n））：[1..30]]中的n；//_Bruno Berselli，2016年2月17日

%o（Python）

%o从sympy导入Integer

%o[sum（1/Integer（i）for i in range（1，n+1））.numerator（）for n in range，（1，31）]#_Indranil Ghosh_，2017年3月23日

%o（GAP）列表（[1..30]，n->NumeratorRat（总和（[1..n]，i->1/i））；#_Muniru A Asiru_，2018年12月20日

%Y参考A002805（分母）、A007406、A00740.8、A007410、A075135、A001220、A125854、A121999、A014566、A056903、A067657、A177427、A1177690。

%Y参考A145609-A145640.-_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2008年10月16日

%Y参考A003506.-_Paul Curtz，2013年11月30日

%Y以下分数都相互关联：总和1/n:A001008/A002805，总和1/prime（n）:A024451/A002110和A106830/A034386，总和1/non-prime（m）:A282511/A282512，总和1/composite（n）：A250133/A296358。

%Y参考A195505。

%K non，frac，很好，很容易

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.斯隆_

%E由_Max Alekseyev_编辑，2011年10月21日

%E更改了标题，删除了错误的名称“Wolstenholme numbers”，该名称与Weisstein的《数学世界》和维基百科中对后者的定义以及OEIS A007406相冲突_Stanislav Sykora，2016年3月25日