%I#88 2023年5月9日08:55:29

%S 1,1,4,461024369761965664144361456139971850241731678144256，

%电话2661820761610244976314331919001611118629668610842624，

%电话：2925890822304510631936895894609469050317925539843155582797821445051737497612678070777739389745128013824

%N中值欧拉数（阿诺德梭形三角形的中间数）。

%C也是A008280中三角形的中心项_Reinhard Zumkeller_，2013年11月1日

%C猜想：将序列取整数k的模，得到一个周期除以phi（k）的最终纯周期序列。例如，取模9的序列从[1，1，4，1，7，4，1,7，…]开始，从a（2）开始，具有长度为3=phi（9）/2的表观周期[4，1和7]_彼得·巴拉（Peter Bala），2023年5月8日

%D V.I.Arnold，Springer数和变形空间。J.代数几何。1（1992），第2期，197-214。

%D L.Seidel，Über einfache Entstehungsweise der Bernoulli'schen Zahlen and einiger verwandden Reihen，Sitzungsberichte der mathematicsch physikalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München，第7卷（1877年），157-187年。

%H Vincenzo Librandi，n的表格，n=0..200的a（n）</a>

%H V.I.Arnold，<a href=“http://mi.mananet.ru/eng/umn4470“>蛇的微积分和Coxeter群的Bernoulli、Euler和Springer数的组合。

%H Ange Bigeni和Evgeny Feigin，<a href=“https://arxiv.org/abs/1808.04275“>对称Dellac配置，arXiv:1808.04275[math.CO]，2018。

%H D.Dumont，<a href=“http://dx.doi.org/10.1006/aama.1995.1014“>Seidel-Arnold型的其他三角形和与Euler和Springer数相关的连分数</a>，《高级应用数学》，16（1995），275-296。

%H A.Randrianarivony和J.Zeng，<A href=“http://dx.doi.org/10.1006/aama.1996.001“>Une famille de polynomes qui interpole plusieurs suites……《高等应用数学》17（1996），1-26。

%F按行读取的三角形行和，[0，1，4，9，16，25，36，49，…]DELTA[1，2，6，5，11，8，16，11，21，14，…]其中DELTA是A084938中定义的Deléham运算符。

%F G.F.：总和{n>=0}a（n）*x^n=1/（1-1*1x/（1-1*3x/（1-2*5x/（1-2*7x/（1-3*9x/…）））_拉尔夫·斯蒂芬，2004年9月9日

%F G.F.：1/G（0），其中G（k）=1-x*（8*k^2+4*k+1）-x^2*（k+1）^2*；（递归定义的连分数）_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年2月5日

%F G.F.:G（0）/（1-x），其中G（k）=1-x^2*（k+1）^2*；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2014年2月1日

%F a（n）=（-1）^（n）*和{k=0..n}C（n，k）*欧拉（n+k）.-_Vladimir Kruchinin，2015年4月6日

%F a（n）~2^（4*n+5/2）*n^（2*n+1/2）/（经验（2*n）*Pi^（2*n+1/2））_Vaclav Kotesovec_，2015年4月6日

%F推测，例如F作为连续分数：1/（1-（1-exp（-2*t））/（2-（1-exp（-4*t））/（1-（1-exp（-6*t））/（2-（1-exp（-8*t））/（1-…）））=1+t+4*t^2！+46*t^3/3！+。。。。参见A005799.-_Peter Bala，2019年12月26日

%p位数：=40:rr：=数组（1..40,1..40）：rr[1,1]：=1:对于i从1到39 do rr[i+1,1]：=subs（x=0，diff（1+tan（x），x$i））：od：对于i从2到40 do对于j从2到i do rr[i，j]：=rr[i，j-1]-（-1）^i*rr[i-1，j-1]：od:od:[seq（rr[2*i-1，i]，i=1.20）]；

%p#或者在A00011中的_Alois p.Heinz_之后：

%pb:=proc（u，o）选项记忆；

%p`if`（u+o=0，1，加（b（o-1+j，u-j），j=1..u））结束：

%pa:=n->b（n，n）：序列（a（n），n=0..15）；#_Peter Luschny_，2017年10月27日

%t最大值=20；rr[1,1]=1；对于[i=1，i<=2*max-1，i++，rr[i+1，1]=D[1+Tan[x]，{x，i}]/。x->0]；对于[i=2，i<=2*max，i++，对于[j=2，j<=i，j++，rr[i，j]=rr[i、j-1]-（-1）^i*rr[i-1，j-1]]；表[rr[2*i-1，i]，{i，1，max}]（*_Jean-François Alcover_，2012年7月10日，在Maple之后*）

%o（Sage）#L.Seidel的算法（1877）

%o定义A000657_list（n）：

%o R=[]；A={-1:0，0:1}

%o k=0；e=1

%o表示（0..n）中的i：

%o Am=0；A[k+e]=0；e=-e

%o对于（0..i）中的j：

%o Am+=A[k]；A[k]=Am；k+=e

%o如果e<0：

%o R.append（A[0]）

%o返回R

%o A000657_list（30）#Peter Luschny，2012年4月2日

%o（哈斯克尔）

%o a000657 n=a008280（2*n）n---Reinhard Zumkeller_，2013年11月1日

%o（最大值）

%o a（n）：=（-1）^（n）*和（二项式（n，k）*欧拉（n+k），k，0，n）；/*_Vladimir Kruchinin，2015年4月6日*/

%Y参考A084938、A002832。有关签名版本，请参见A099023。

%A098277中的Y相关多项式。

%Y A323834的对角线。

%Y参考A005799。

%K nonn，不错，简单

%O 0.3

%A _N.J.A.Sloane，D on Knuth_

%E来自Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu）的更多术语，2001年2月12日

%E由Sean A.Irvine_修订，2010年12月22日