%I M5004 N2154#247 2023年11月13日07:57:12

%S 0,1,16,8125662512962400665611000014641207362856138416，

%电话50625655368352110497613032116000194481234256279841331776，

%电话：3906254569765314161465670728181000092352110485761185921

%N四次幂：a（N）=N^4。

%C基于四维规则凸多面体的数字，称为四维测度多面体、四超立方体或带Schlaefli符号{4,3,3}的tesseractMichael J.Welch（mjw1（AT）ntlworld.com），2004年4月1日

%C素数p的a（p）=p^4的全乘序列-Jaroslav Krizek_，2009年11月1日

%C二项式变换产生A058649。二项式逆变换产生（有限的）0、1、14、36、24，A019538和A131689中的第四行_R.J.Mathar，2013年1月16日

%用参数a和b生成勾股三角形，得到长度x=b^2-a^2、y=2*a*b和z=a^2+b^2的边。特别是，对于带边的三角形（x1，y1，z1），使用a=n-1和b=n；对于另一个带边的三角（x2，y2，z2），使用a=n和b=n+1。那么x1*x2+y1*y2+z1*z2=8*a（n）_J.M.Bergot，2013年7月22日

%C对于n>0，a（n）是最大的整数k，使得k^4+n是k+n的倍数。此外，对于n>0_德里克·奥尔，2014年9月4日

%C不满足本福德定律[Ross，2012]_N.J.A.Sloane，2017年2月8日

%C a（n+2）/2是一个梯形的面积，其顶点位于（T（n），T（n+1）），（T（n+1），T_J.M.Bergot_，2018年2月16日

%D R.L.Graham、D E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，1990年，第255页；第二。编辑，第269页。Worpitzky的身份（6.37）。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n表，n=0..1000时的a（n）</a>

%H Henry Bottomley，初始术语说明</a>

%H Henry Bottomley，<a href=“http://fs.gallup.unm.edu/Bottomley-Sm-Mult-Functions.htm“>一些Smarandache型乘法序列</a>

%H Ralph Greenberg，<a href=“网址：http://www.math.washington.edu/~greenber/MathPoet.html“>诗人数学</a>。

%H米兰Janjic，<a href=“http://www.pmfbl.org/janjic/“>有限集上某些函数的枚举公式。

%H Sameen Ahmed Khan，<a href=“https://doi.org/10.12732/ijam.v33i2.6“>多边形数倒数幂之和</a>，《国际应用数学杂志》（2020）第33卷，第2期，265-282。

%H Hyun Kwang Kim，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-02-06710-2“>关于正则多面体数，Proc.Amer.Math.Soc.，第131卷，第1期（2002年），第65-75页。

%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://arxiv.org/abs/0911.4975“>Approximations de séries génératrices et quelques consuggestures”，魁北克大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

%H Simon Plouffe，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992年

%H Kenneth A.Ross，<A href=“http://www.jstor.org/stable/10.4169/math.mag.85.1.036“>正方形和立方的第一位数字</a>，《数学杂志》85（2012）36-42。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/BiquadricNumber.html“>双二次数</a>。

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_05”>具有常系数的线性递归索引条目，签名（5，-10,10，-5,1）。

%H<a href=“/index/Be#Benford”>与Benford定律相关的序列索引条目</a>

%F a（n）=A123865（n）+1=A002523（n）-1。

%F与a（p^e）相乘=p^（4e）_David W.Wilson，2001年8月1日

%传真：x*（1+11*x+11*x^2+x^3）/（1-x）^5。更一般地说，n^m的g.f.是Euler（m，x）/（1-x）^（m+1），其中Euler（m，x）是m次的Euler多项式（参见A008292）。

%F Dirichlet生成函数：zeta（s-4）.-_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2005年9月11日

%F例如F.：（x+7*x^2+6*x^3+x^4）*E^x。更一般地说，n^m的示例F.的一般形式是phi_m（x）*E*x，其中phi_m是n阶指数多项式。-Franklin T.Adams-Waters_，2005年9月11日

%F和{k>0}1/a（k）=Pi^4/90=A013662.-_Jaume Oliver Lafont_，2009年9月20日

%F a（n）=C（n+3,4）+11*C（n+2.4）+11*C（n+1,4）+C（n，4）。[Worpitzky的4次幂身份。例如，参见Graham等人的等式（6.37）_Wolfdieter Lang，2019年7月17日]

%F a（n）=n*A177342（n）-和{i=1..n-1}A177342-（i）-（n-1），n>1_Bruno Berselli_，2010年5月7日

%F a（n）+a（n+1）+1=2*A002061（n+1）^2。-_Charlie Marion，2013年6月13日

%F a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）+24_蚂蚁王，2013年9月23日

%F From _Amiram Eldar_，2021年1月20日：（开始）

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=7*Pi^4/720（A267315）。

%F乘积{n>=2}（1-1/a（n））=sinh（Pi）/（4*Pi）。（结束）

%p A000583:=n->n^4:seq（A000583（n），n=0..50）；

%p A000583：=-（z+1）*（z**2+10*z+1）/（z-1）**5；#_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）1992年论文；给出没有初始零的序列

%p与（组合）：seq（fibonacci（3，n^2）-1，n=0..33）；#_零入侵拉霍斯，2008年5月25日

%t范围[0100]^4（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky，2011年3月14日*）

%o（PARI）A000583（n）=n^4\\迈克尔·波特，2009年11月9日

%o（哈斯克尔）

%o a000583=（^4）

%o a000583_list=扫描（+）0 a005917_list

%o--_Reinhard Zumkeller_，2014年11月13日，2012年11月11日

%o（Maxima）标记列表（n^4，n，0,30）；/*_Martin Ettl，2012年11月12日*/

%o（岩浆）[0..50]]中的n^4:n；//_韦斯利·伊万·赫特，2014年9月5日

%o（Python）

%o定义a（n）：返回n**4

%o打印（[a（n）代表范围（34）内的n）]#_Michael S.Branicky_，2022年11月10日

%Y参考A000538、A005917（第一个差异）、A0000332、A014820、A092181、A092182、A092183。

%Y参考A004831、A002646。

%Y参考A002593、A260810.-_Bruno Berselli，2015年7月31日

%Y参见A002415、A000290、A006008、A132366、A039623、A139584、A071270、A047928、A187756。

%Y参见A062392、A231303、A267315。

%K non，core，easy，nice，mult

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_