%I M4493 N1901#329 2024年3月18日07:42:39

%S 0,1,8,21,40,65,9613317622528034140848481560645736833936，

%电话：104511601281140815411680182519762133229624652642821，

%电话：3008320134003605381640334256484854720496152085461

%N八角数：N*（3*N-2）。也称为星号。

%C From _Floor van Lamoen，2001年7月21日：（开始）

%C写1,2,3,4，。。。在0附近呈六角螺旋形；则a（n）是通过从0开始沿方向0,1读取直线得到的序列，。。。。

%C螺旋开始：

%C、。

%C 85-84--83--82--81--80

%客户/\

%C 86 56——55——54——53——52 79

%C//\\

%C 87 57 33--32--31--30 51 78

%C///\\\

%C 88 58 34 16--15--14 29 50 77号

%C/////\\\

%C 89 59 35 17 5---4 13 28 49 76

%C/////\\\

%C 90 60 36 18 6 0 3 12 27 48 75号

%C////////////

%C 91 61 37 19 7 1--2 11 26 47 74

%C\\\\.////

%C 92 62 38 20 8----9-10 25 46 73

%C\\\\.///

%C 93 63 39 21-22-23-24 45 72

%抄送//

%C 94 64 40——41——42——43——44 71

%C\\/

%C 95 65——66——67——68——69——70

%C \。

%C 96号

%C、。

%C From _Lekraj Beedassy，2003年10月2日：（开始）

%C也是可以从排列在边（n+1）的步进三角形阵列中的A000217（n+1）个正方形单元中移除的不同的三个单元块的数量。例如，一个5层三角形方格阵列的顶点轮廓如下：

%C x x

%C x x x

%C x x x x

%C x x x x

%C x x x x

%C x x x x x x x（结束）

%C A045991第n点的一阶导数。-_Ross La Haye_，2004年10月23日

%从n=1开始，序列对应于K_{n，n}的维纳指数（其中每个独立集有n个顶点的完全二部图）Kailasam Viswanathan Iyer，2009年3月11日

%C n>0时24^（n-1）的除数（cf A009968）_J.Lowell，2008年8月30日

%C a（n）=A001399（6n-5），6*n-5分为4部分的分区数。例如，a（2）=8，将6*2-5=7划分为<4的部分是：[1,1,1,1,1]，[1,1,1,1,1,2]，[1,1,1,1,3]，[11,1,2,2]，[1,1,2,3]，[1,2,2,2]，[1,2,2]、[1,3]，[2,2,3]_Adi Dani_，2011年6月7日

%C此外，通过从0开始沿0、8、……、。。。，和从1开始的平行线在方向1，21。。。，在顶点为广义八角数A001082的方形螺旋中_Omar E.Pol，2011年9月10日

%C部分金额为A002414_Omar E.Pol_，2013年1月12日

%C使用欧几里德公式（n，n-1）生成毕达哥拉斯三元组，得到a，B，C。a（n）=B+（a+C）/2.-_J.M.Bergot，2013年7月13日

%C基于5细胞von Neumann邻域，由“规则773”定义的二维细胞自动机生长第n阶段的活跃（ON，黑色）细胞数_Robert Price_，2016年5月23日

%C对于n>=1，sqrt（27*a（n））的连分式展开式是[9n-4；{1，2n-2，3，2n-2，1，18n-8}]。对于n=1，它折叠为[5；{5，10}]_Magus K.Chu_，2022年10月10日

%Ca（n）*a（n+1）+1=（3n^2+n-1）^2。一般来说，a（n）*a（n+k）+k^2=（3n^2+（3k-2）n-k）^2_Charlie Marion，2023年5月23日

%D Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第189页。

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%H John Elias，图解：基于广义八角数的六角螺旋网格</a>

%H John Elias，插图：嵌套立方体框架</a>

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%H Omar E.Pol，<a href=“http://www.polprimos.com/imagenespub/polnum01.jpg“>A000217、A000290、A000326、A000384、A000566、A000567的初始术语说明。

%H Leo Tavares，插图：方形光线</a>

%H Leo Tavares，插图：双矩形射线</a>

%H Leo Tavares，插图：星光大道</a>

%H Leo Tavares，插图：分裂之星</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/CompleteBipartiteGraph.html“>完成二部图。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/OctagonalNumber.html“>八角数</a>。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/WienerIndex.html“>Wiener指数。

%H<a href=“/index/Pol#polygonal_numbers”>索引与多边形数相关的序列</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（3，-3,1）。

%F a（n）=n*（3*n-2）。

%F a（n）=（3n-2）*（3n-1）*。a（1）=1*2*3/（1+2+3），a（2）=4*5*6/（4+5+6）等-阿玛纳斯·穆尔西，2002年8月29日

%例如：exp（x）*（x+3*x^2）_保罗·巴里，2003年7月23日

%F G.F.:x*（1+5*x）/（1-x）^3_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）1992年论文

%F a（n）=和{k=1..n}（5*n-4*k）.-_保罗·巴里，2005年9月6日

%F a（n）=n+6*A000217（n-1）.-_2005年10月14日，楼面van Lamoen

%F a（n）=C（n+1，2）+5*C（n，2）。

%F起始（1，8，21，40，65，…）=[1，7，6，0，0，…]的二项式变换_Gary W.Adamson_，2008年4月30日

%F a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=8_Jaume Oliver Lafont_，2008年12月2日

%F a（n）=A000578（n）-A007531（n）.-_Reinhard Zumkeller，2009年9月18日

%F a（n）=a（n-1）+6*n-5（a（0）=0）_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2010年11月20日

%F a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+6.-_蚂蚁王，2011年9月1日

%F a（n）=A000217（n）+5*A000217_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2010年11月20日

%F a（n）=（A185212（n）-1）/4.-_Reinhard Zumkeller，2012年12月20日

%F a（n）=A174709（6n）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2013年3月26日

%F a（n）=（2*n-1）^2-（n-1）_Ivan N.Ianakiev，2013年4月10日

%F a（6*a（n）+16*n+1）=a_Vladimir Shevelev，2014年1月24日

%F a（0）=0，a（n）=和{k=0..n-1}A005408（A051162（n-1，k）），n>=1.-_L.Edson Jeffery，2014年7月28日

%F和{n>=1}1/a（n）=（sqrt（3）*Pi+9*log（3））/12=1.2774090575596367311949534921….-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2016年4月27日

%F From _Ilya Gutkovskiy_，2016年7月29日：（开始）

%F A084857的二项式逆变换。

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/（2*sqrt（3））=A093766。（完）

%F a（n）=n*A016777（n-1）=A053755（n）-A000290（n+1）_Bruce J.Nicholson，2017年8月10日

%F产品{n>=2}（1-1/a（n））=3/4.-_Amiram Eldar，2021年1月21日

%F P（4k+4，n）=（（k+1）*n-k）^2-（k*n-k_Charlie Marion，2021年10月7日

%F From _Leo Tavares_，2021年10月31日：（开始）

%F a（n）=A000290（n）+4*A000217（n-1）。请参见方形射线图。

%F a（n）=A000290（n）+A046092（n-1）

%F a（n）=A000384（n）+2*A000217（n-1）。请参见双矩形光线图。

%F a（n）=A000384（n）+A002378（n-1）

%F a（n）=A003154（n）-A045944（n-1）。请参见星行图。（完）

%p A000567:=程序（n）

%pn*（3*n-2）；

%p端程序：

%p序列（A000567（n），n=1..50）；

%t表[n（3 n-2），{n，0，50}]（*哈维·P·戴尔，2012年5月6日*）

%t表[PolygonalNumber[RegularPolygon[8]，n]，{n，0，43}]（*_Arkadiusz Wesolowski_，2016年8月27日*）

%t多边形编号[8，范围[0，20]]（*_Eric W.Weisstein_，2017年9月7日*）

%t线性递归[{3，-3，1}，{1，8，21}，}，[0，20}]（*_Eric W.Weisstein_，2017年9月7日*）

%o（PARI）a（n）=n*（3*n-2）\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月10日

%o（PARI）矢量（50，n，n-；n*（3*n-2））\\_G.C.Greubel_，2018年11月15日

%o（GAP）列表（[0..50]，n->n*（3*n-2））；#_G.C.Greubel，2018年11月15日

%o（哈斯克尔）

%o a000567 n=n*（3*n-2）--_Reinhard Zumkeller_，2012年12月20日

%o（Sage）[n*（3*n-2）表示n在范围（50）内]#_G.C.Greubel_，2018年11月15日

%o（Python）#用于计算序列的初始段，而不是孤立项。

%o定义aList（）：

%o x，y=1，1

%o产量0

%o为True时：

%o产量x

%o x，y=x+y+6，y+6

%o A000567=列表（）

%o打印（[next（A000567）for i in range（49）]）#_Peter Luschny_，2019年8月4日

%o（Python）[n*（3*n-2）for n in range（50）]#_Gennady Eremin_，2022年3月10日

%o（岩浆）[n*（3*n-2）：n in[0..50]]；//_韦斯利·伊万·赫特，2021年10月10日

%Y参见A014641、A014642、A014793、A014794、A001835、A016777、A045944、A093563（（6，1）帕斯卡，列m=2）。A016921（差异）。

%Y参考A005408（奇数）。

%Y参见A000290、A000217、A046092、A000384、A002378、A003154。

%K nonn，简单，不错

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E错误示例由_Joerg Arndt_删除，2010年3月11日