%I M3619 N1469#323 2024年3月22日08:19:01

%S 1,1,4,27256312546656823543167772163874204891000000000，

%电话2853116706118916100448256302875106592253111112006825558016，

%电话：437893890380859375184467440737095516168272402618663764177396408075296537542978419655660313589123979

%N a（N）=N ^N；从n点到自身的标记映射数（内函数）。

%C还有n个节点上标记的尖根树（或脊椎动物）的数量。

%C对于n>=1，a（n）也是n X n（0,1）矩阵的数量，其中每行正好包含一个等于1的条目Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年4月21日

%C此外，（n+1）节点上标记的根树的数量，使得根低于其子节点。此外，（n+1）节点上交替标记的根有序树的数量，使得根低于其子节点塞德里克·乔夫（Chauve（AT）lacim.uqam.ca），2002年3月27日

%C其中p（n）=n的整数分区数，p（i）=n第i个分区的部分数，d（i）=n第i分区的不同部分数，pp（i，j）！））*（（n！/（n-p（i）））/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！）_托马斯·维德，2005年5月18日

%C方程x^y=y^x（x<y）的所有有理解均由x=A000169（n+1）/A000312（n），y=A000312（n+1，/A007778（n）给出，其中n=1，2，3，….-_尼克·霍布森（Nick Hobson），2006年11月30日

%C a（n）是以0为根的{0,1,2，…，n}上所有（n+1）^（n-1）树的叶子总数。例如，如果边指向远离根的方向，则{0,1,2}上的树是{0->1,0->2}、{0->1->2}、{0->2->1}，并且总共包含a（2）=4个叶子_David Callan，2007年2月1日

%C极限{n->infinity}A000169（n+1）/a（n）=exp（1）。收敛速度较慢，例如，需要n>74才能得到一个小数位的正确值，并且需要n>163才能得到其中的两个_阿隆索·德尔·阿特（Alonso del Arte），2011年6月20日

%C也是最小的k，使得二项式（k，n）可以被n^（n-1）整除，n>0_Michel Lagneau，2013年7月29日

%C对于n>=2，a（n）以n为基数表示为“1后跟n个零”_R.J.Cano_，2014年8月22日

%C n个字母的字母表中长度为n的单词的数量_Joerg Arndt_，2015年5月15日

%C长度为n+1.-的主要停车功能数量_Rui Duarte，2015年7月27日

%C概率密度函数p（x，m=q，n=q，mu=1）=A000312（q）*E（x，q，q）和p_Johannes W.Meijer，2016年6月17日

%C满足本福德定律[Miller，2015]。-_N.J.A.Sloane，2017年2月12日

%C除第一项（1，-4，-27，256，3125，-46656，…）外，该序列的有符号版本具有以下性质：对于每个素数p==1（mod 2n），（-1）^（n（n-1）/2）*n^n=A057077（n）*A（n）总是一个2n次幂剩余模p.-_Jianing Song，2018年9月5日

%C来自Juhani Heino，2019年5月7日：（开始）

%Cn^n都是和{i=0..n}二项式（n，i）*（n-1）^（n-i）

%C和和{i=0..n}二项式（n，i）*（n-1）^（n-i）*i。

%前者是n面骰子掷数的常见二项式分布，根据所需边出现的次数，从0到n。后者是相同的，但每个项都乘以其数量。这意味着，如果银行为每一个拥有所选方的骰子支付玩家1个令牌，那么如果玩家支付1个令牌进入，这总是一场公平的游戏——银行和玩家平均都不会赢。

%C示例：

%C双面骰子（2枚硬币）：4=1+2+1=1*0+2*1+1*2（从此省略0）；

%C三面骰子（3个长三角棱镜）：27=8+12+6+1=12*1+6*2+1*3；

%C四边骰子（4个长方形棱镜或4个四面体）：256=81+108+54+12+1=108*1+54*2+12*3+1*4；

%C五边形骰子（5个长五边形棱镜）：3125=1024+1280+640+160+20+1=1280*1+640*2+160*3+20*4+1*5；

%C六面骰子（6个方块）：46656=15625+18750+9375+2500+375+30+1=18750*1+9375*2+2500*3+375*4+30*5+1*6。

%C（结束）

%C对于每一个n>=1，在一个（n）顶点上有一个图，其最大独立集的大小为n，其独立集序列是常数（具体来说，对于每个k=1,2，…，n，该图有n^n个大小为k的独立集）。该属性没有小阶图（Ball等人2019）_David Galvin _，2019年6月13日

%C对于n>=2和1<=k<=n，a（n）*（n+1）/4+a（n。。。长度为n的w（n）在以下数量的字母{1，2，…，n}上：和{i=1..w（k）}w（i）。灵感来自AMM中的问题12432（参见链接）_Sela Fried_，2023年12月10日

%D F.Bergeron、G.Labelle和P.Leroux，组合物种和树状结构，剑桥，1998年，第62、63、87页。

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%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

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%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/HadamardsMaximumDeterminantProblem.html“>Hadamard的最大行列式问题。

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%H Dimitri Zvonkine，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0403092“>幂级数代数…</a>，arXiv:math/0403092[math.AG]，2004。

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Ro#rooted”>与根树相关的序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Be#Benford”>与Benford定律相关的序列索引条目</a>

%F a（n-1）=-和{i=1..n}（-1）^i*i*n^（n-1-i）*二项式（n，i）.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月28日

%F例如：1/（1+W（-x）），W（x）=兰伯特函数的主分支。

%F a（n）=和{k>=0}二项式（n，k）*Stirling2（n，k）*k！=求和{k>=0}A008279（n，k）*A048993（n，k）=求和{k>=0{A019538（n，x）*A007318（n，y）.-_菲利普·德雷厄姆，2003年12月14日

%F例如：1/（1-T），其中T=T（x）是欧拉树函数（参见A000169）。

%F a（n）=A000169（n+1）*A128433（n+1,1）/A128434（n+1.1）_Reinhard Zumkeller_，2007年3月3日

%关于分母为a（n）的幂级数的注记_Philippe Flajolet，2008年9月11日

%F例如：1-exp（W（-x）），偏移量为1，其中W（x）=Lambert函数的主分支_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2010年9月15日

%F a（n）=（n-1）*a（n-1_Vladimir Shevelev，2010年9月30日

%偏移量为1时，例如F.是组成逆（（x-1）*log（1-x））^（-1）=x+x^2/2！+4*x^3/3！+27*x^4/4！+……-_Peter Bala，2011年12月9日

%F a（n）=n>0的分母（（1+1/n）^n）_Jean-François Alcover，2013年1月14日

%对于n>0.-，F a（n）=A089072（n，n）_Reinhard Zumkeller，2013年3月18日

%F a（n）=（n-1）^（n-1_Vladimir Kruchinin，2014年11月28日

%F log（a（n））=lim_{k->infinidy}k*（n^（1+1/k）-n）_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2015年2月4日

%F From _Ilya Gutkovskiy_，2016年6月18日：（开始）

%F总和{n>=1}1/a（n）=1.291285997…=A073009。

%F和{n>=1}1/a（n）^2=1.063887103…=A086648。

%F和{n>=1}n/a（n）=1.879853862…=A094082。（完）

%F A000169（n+1）/a（n）->e，如n->oo.-_Daniel Suteu，2016年7月23日

%F a（n）=n*产品{k=1..n}二项式（n，k）/Product_{k=1.n-1}二项式（n-1，k）=n*A001142（n）/A001142（n-1）.-_托尼·福斯特三世，2018年9月5日

%F a（n-1）=abs（p_n（2-n）），对于n>2，A055137的第n行多项式的单局部极值，采用Bagula符号约定_汤姆·科普兰，2019年11月15日

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=A083648_Amiram Eldar_，2021年6月25日

%F极限{n->oo}（a（n+1）/a（n）-a（n）/a（n-1））=e（参见Brothers/Knox链接）_Harlan J.Brothers，2021年10月24日

%F猜想：对于n>=0，a（n）=Sum_{i=0..n}A048994（n，i）*A048993（n+i，n）；由Mike Earnest证明，参见A354797链接_沃纳·舒尔特（Werner Schulte），2022年6月3日和19日

%总资产=1+x+4*x^2+27*x^3+256*x^4+3125*x^5+46656*x^6+823543*x^7+。。。

%p A000312:=n->n^n:seq（A000312（n），n=0..17）；

%t阵列[#^#&，16]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2008年5月1日*）

%t表[Sum[StirlingS2[n，i]i！二项式[n，i]，{i，0，n}]，{n，0，20}]（*_Geoffrey Critzer_，2009年3月17日*）

%t a[n_]：=如果[n<1，布尔[n==0]，n^n]；（*迈克尔·索莫斯，2014年5月24日*）

%t a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[1/（1+LambertW[-x]），{x，0，n}]]；（*迈克尔·索莫斯，2014年5月24日*）

%t a[n]：=如果[n<0，0，n！序列系数[Nest[1/（1-x/（1-积分[#，x]））&，1+O[x]，n]，{x，0，n}]]；（*迈克尔·索莫斯，2014年5月24日*）

%t a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=n+1}，m！SeriesCoefficient[Inverse Series[Series[（x-1）Log[1-x]，{x，0，m}]]，m]]；（*迈克尔·索莫斯，2014年5月24日*）

%o（PARI）{a（n）=n^n}；

%o（PARI）是（n）=我的（b，k=功率（n，，&b））；如果（k，对于（e=1，估值（k，b），如果（k/b^e==e，返回（1）））；2013年1月14日，n==1

%o（PARI）{a（n）=my（a=1+o（x））；如果（n<0，0，对于（k=1，n，a=1/（1-x/（1-intformal（a）））；n！*polcoeff（a，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年5月24日*/

%o（哈斯克尔）

%o a000312 n=n ^n

%o a000312_list=zipWith（^）[0..][0..]--_Reinhard Zumkeller_，2012年7月7日

%o（最大值）A000312[n]：=如果n=0，则1其他n^n$

%o制造清单（A000312[n]，n，0,30）；/*_Martin Ettl，2012年10月29日*/

%o（Python）

%o定义A000312（n）：返回n**n#_Chai Wah Wu_，2022年11月7日

%Y参见A000107、A000169、A000272、A001372、A007778、A007830、A008785-A008791、A019538、A048993、A008279、A085741、A062206、A212333。

%Y三角形A055858的第一列。A066324的行总和。

%Y参考A002109（部分产品）。

%Y参考A001923（部分总和）。

%Y参见A056665、A081721、A130293、A168658、A275549-A275558（各种类型的内函数）。

%Y参考A174824，A204688。

%Y参考A055137、A083648。

%K nonn，简单，核心，好

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_