%I M2222 N0881#372 2024年2月13日10:21:37

%S 1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,13,7,15,17,9,19,5,21,12,23,3,25,13,27,7，

%电话：29,15,31,1,33,17,35,9,37,19,39,5,41,21,43,11,45,23,47,3,49,25,51,13，

%U 53,27,55,7,57,29,59,15,61,31,63,1,65,33,67,17,69,35,71,9,73,37,75,19,77单位

%N从N中删除2的所有因子；或n的最大奇除数；或n的奇数部分。

%C当n>0写成k*2^j，其中k为奇数，则k=A000265（n），j=A007814（n）；因此：当n写成kx2^j-1，其中k是奇数，那么k=A00265（n+1），j=A007814n+1）；当n>1写成k*2^j+1，其中k也是奇数，然后k=A0000265（n-1），j=0.007814（n-1。

%C也是2^n/n的分母（分子是A075101（n））_Reinhard Zumkeller，2002年9月1日

%C连接线的斜率（o，a（o）），其中o=（2^k）（n-1）+1为2^k，（按设计）从（1，1）开始Josh Locker（joshlocker（AT）macfora.com），2004年4月17日

%C n/2^（n-1）的分子。-_Alexander Adamchuk，2005年2月11日

%C From _Marco Matosic_，2005年6月29日：（开始）

%C“序列可以排列在表格中：

%C 1类

%C 1 3 1

%丙1 5 3 7 1

%C 1 9 5 11 3 13 7 15 1

%C 1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31 1

%每一新行都是前一行，中间有奇数的延续。

%C除了那些；每列中的项（t）为t+t+/-s=t+1。从三个一列的中间开始，向左移动，s的值由A000265给出，向右移动由A000265.”（结束）

%这是一个分形序列。奇数元素表示奇数自然数。如果删除这些元素，则恢复原始序列_Kerry Mitchell，2005年12月7日

%C 2k+1是分隔a（n）中两个连续相等项的k项子序列中的第k个也是最大的一个_Lekraj Beedassy，2005年12月30日

%不难证明前2^n项的和是（4^n+2）/3_尼克·霍布森，2005年1月14日

%C在表中，对于每一行，（3和1之间的项之和）-（1和3之间的项之和）=A020988。-_Eric Desbiaux，2009年5月27日

%C该序列出现在A160469和A156769的分析中，类似于tan（x）的泰勒级数的分子和分母_Johannes W.Meijer，2009年5月24日

%C指数n，其中a（n）除以2^n-1列在A068563中。-_Max Alekseyev_，2013年8月25日

%C来自_Alexander R.Povolotsky，2014年12月17日：（开始）

%C关于马可·马托西奇评论中描述的表格形式：在他的绘图中，从第三行开始，行中的第一项等于1（或者，行中最后一项也等于1），不符合实际顺序，并作为虚构术语添加到图纸中（为了对称）；实际A000265（n）可以被视为a（j，k）（其中j>=1是行号，k>=1为列下标），这样a（j、1）=1：

%C 1类

%丙13

%丙1 5 3 7

%丙1 9 5 11 3 13 7 15

%C 1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31

%C等等。

%C每行的k和j之间的关系是1<=k<=2^（j-1）。在这个经过修正的表格表示法中，Marco的概念“每一新行都是前一行，中间穿插着奇数的延续”仍然成立。（结束）

%C将自然数划分为与A064989相同的等价类。也就是说，对于所有i，j:a（i）=a（j）<=>A064989（i）=A064988（j）。还有几十个其他这样的序列（如A003602）也适用：一般来说，所有a（2n）=a（n）和奇数平分的序列都是内射的_Antti Karttunen，2017年4月15日

%C自2019年2月19日Paul Curtz起：（开始）

%C此序列是截断三角形：

%C 1，1；

%C 3、1、5；

%C 3、7、1、9；

%C5、11、3、13、7；

%C 15、1、17、9、19、5；

%C 21、11、23、3、25、13、27；

%丙7、29、15、31、1、33、17、35；

%C。。。

%C第一列为A069834。第二列为A213671。主对角线为A236999。第一条上对角线是A125650，没有0。

%C C（n）=（（n*（n+1）/2））/A069834=1，1，2，2，1，1。。。对于n>0。n*（n+1）/2是A069834的等级。（结束）

%C除了是乘法序列外，a（n）也是一个强可除序列，也就是说，对于n，m>=1，gcd（a（n，a（m））=a（gcd（n，m））。特别是，a（n）是一个可除序列：如果n除m，则a（n”）除a（m）_Peter Bala，2019年2月27日

%C a（n）也是地图n->A026741（n）应用了至少A007814（n）次_Federico Provvedi，2021年12月14日

%D N.J.A.斯隆，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.斯隆和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Daniel Forgues，n表，n=1..100000的a（n）

%H Peter Bala，有理函数分子序列的注释</a>

%H V.Daiev和J.L.Brown，<a href=“http://www.fq.math.ca/Scanned/6-1/advanced6-1.pdf“>问题H-81，Fib.Quart.，6（1968），52。

%H Ralf Stephan，一些分治序列</a>

%H Ralf Stephan，生成函数表</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/OddPart.html“>奇数部分</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html“>三角角</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/SphereLinePicking.html“>球体测线拾取</a>

%F a（n）=如果n是奇数，则为n，否则为a（n/2）_Reinhard Zumkeller_，2002年9月1日

%F a（n）=n/A006519（n）=2*A025480（n-1）+1。

%如果p=2，F与a（p^e）=1相乘，如果p>2，则p^e_David W.Wilson，2001年8月1日

%F a（n）=和{d除以n，d是奇数}φ（d）_Vladeta Jovovic_，2002年12月4日

%计算公式：-x/（1-x）+和{k>=0}（2*x^（2^k）/_Ralf Stephan，2003年9月5日

%F（a（k），a（2k），α（3k），…）=a（k）*（a（1）、a（2）、a一般来说，a（n*m）=a（n）*a（m）.-Josh Locker（jlocker（AT）mail.rochester.edu），2005年10月4日

%F a（n）=和{k=0..n}A127793（n，k）*楼层（（k+2）/2）（猜想）.-_Paul Barry，2007年1月29日

%F Dirichlet g.F.：zeta（s-1）*（2^s-2）/（2^s-1）_拉尔夫·斯蒂芬（Ralf Stephan），2007年6月18日

%F a（A132739（n））=A132738（a（n），=A132740（n）_Reinhard Zumkeller_，2007年8月27日

%F a（n）=2*A003602（n）-1-_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2009年7月2日

%F a（n）=n/gcd（2^n，n）。（这也表明真实偏移为0，a（0）=0。）-Peter Luschny_，2009年11月14日

%2011年9月19日，Z.-Michael Somos中所有n的F a（-n）=-a（n）

%F From _Reinhard Zumkeller_，2012年5月1日：（开始）

%F A182469（n，k）=A027750（a（n），k），k=1..A001227（n）。

%F a（n）=A182469（n，A001227（n））。（结束）

%F a（（2*n-1）*2^p）=2*n-1，p>=0，n>=1_Johannes W.Meijer，2013年2月5日

%F G.F:G（0）/（1-2*x^2+x^4）-1/（1-x），其中G（k）=1+1/（1-x^（2^k）*（1-2*x ^（2 ^（k+1））+x^）/G（k+1））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年8月6日

%F a（n）=A003961（A064989（n））_Antti Karttunen，2017年4月15日

%对于素数p>2，F与a（2）=1和a（p）=p的完全乘法，即序列b（n）=a（n）*A008683（n）对于n>0是a的Dirichlet逆_沃纳·舒尔特（Werner Schulte），2018年7月8日

%F From _Peter Bala，2019年2月27日：（开始）

%F.O.g.F.:F（x）-F（x^2）-F。。。，其中F（x）=x/（1-x）^2是正整数的生成函数。

%倒数函数：和{n>=1}x^n/a（n）=L（x）+（1/2）*L（x^2）+（1/2）*L。。。，其中L（x）=对数（1/（1-x））。

%F和{n>=1}x^n/a（n）=1/2*log（G（x）），其中G（x）=1+2*x+4*x^2+6*x^3+10*x^4+。。。是A000123的o.g.f。（结束）

%F O.g.F.：求和{n>=1}φ（2*n-1）*x^（2*n-1）/（1-x^_Peter Bala，2019年3月22日

%F a（n）=n-（1/2）*Sum_{d|2n}（-1）^d*phi（d）.-_Ridouane Oudra，2019年5月1日

%F a（n）=A049606（n）/A049606（n-1）_Flávio V.Fernandes，2020年12月8日

%F a（n）=n/2^（楼层（n/2））的分子_Federico Provvedi，2021年12月14日

%F a（n）=和{d除以n}（-1）^（d+1）*phi（2*n/d）_彼得·巴拉（Peter Bala），2024年1月14日

%e G.f.=x+x ^2+3*x ^3+x ^4+5*x ^5+3*x^6+7*x ^7+x ^8+9*x ^9+5*x^10+11*x ^11+。。。

%p A000265:=程序（n）局部t1，d；t1:=1；对于从1乘2到n的d，如果n mod d=0，则t1:=d；fi；od；t1；结束：序列号（A000265（n），n=1..77）；

%p A000265:=n->n/2^padic[ordp]（n，2）：序列号（A000265（n），n=1..77）；#_Peter Luschny_，2010年11月26日

%t a[n_Integer/；n>0]：=n/2^整数指数[n，2]；阵列[a，77]（*Josh Locker*）

%t a[n_]：=如果[n==0，0，n/2^整数指数[n，2]；（*迈克尔·索莫斯，2014年12月17日*）

%o（PARI）{a（n）=n>>估值（n，2）}；/*_Michael Somos，2006年8月9日，由M.F.Hasler编辑，2014年12月18日*/

%o（哈斯克尔）

%o a000265=直到奇数（`div`2）

%o--_Reinhard Zumkeller_，2013年1月8日，2011年4月8日和2010年10月14日

%o（方案）（定义（A000265 n）（让回路（n n））（如果（奇数？n）n（回路（/n 2））））_Antti Karttunen，2017年4月15日

%o（Python）

%o来自__future_import部门

%o定义A000265（n）：

%o而不是n%2：

%o n//=2

%o 2018年3月25日返回n#Chai Wah Wu

%o（Java）

%o内部A000265（n）{

%o，而（n%2==0）n>>=1；

%o返回n；

%o｝

%o/*_艾丹·西蒙斯，2019年2月24日*/

%o（朱莉娅）

%o使用IntegerSequences

%o[OddPart（n）for n in 1:77]|>println#_Peter Luschny_，2021年9月25日

%Y参见A000004、A000225、A003602、A003961、A006516、A0065129、A064989、A069834、A111929、A111930、A111918、A111919、A111920、A111921、A111922、A111923、A038502、A065330、A125650、A209308、A213671、A220466、A236999、A242603。

%Y参见A049606（部分积）、A135013（部分和）、A099545（mod 4）、A326937（Dirichlet逆）。

%Y参考A000217、A000123。

%Y参见A014577、A035263。

%Y参考A026741（地图）、A001511（收敛步长）、A038550（质数指数）。

%Y参考A195056（s=3时的Dgf）。

%K mult，nonn，轻松，好

%氧1,3

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自Henry Bottomley的其他评论，2000年3月2日

%E Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2000年3月14日

%E名称由_David A.Corneth澄清，2017年4月15日