%I M2535 N1002#1796 2024年6月2日10:17:31

%S 0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91105120136153171190210，

%电话：2312532763003253513784064354654965285615930666703，

%电话：74178082086190394699010351081128117612251275132613781431

%N三角数：a（N）=二项式（N+1,2）=N*（N+1）/2=0+1+2+…+n.（名词）。

%C也称为T（n）或C（n+1,2）或二项式（n+1，2）（首选）。

%C也是广义六边形数：n*（2*n-1），n=0，+-1，+-2，+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错，k>=5。在这种情况下，k=6_Omar E.Pol，2011年9月13日和2012年8月4日

%C顺序为n+1，K_{n+1}的完备图的边数。

%C在一个由n个字母组成的字符串中插入一对括号的合法方法的数目。例如，三个字母有六种写法：（a）bc，（ab）c，（abc），a（b）c，a（bc），ab（c）。证明：有C（n+2.2）方法可以选择括号的位置，但其中n+1是非法的，因为括号是相邻的。参见A002415。

%C对于n>=1，a（n）也是n+2次非奇异曲线的亏格，如费马曲线x^（n+2）+y^（n+2）=1.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my_deja.com），2001年2月21日

%C根据哈纳克定理（1876），n阶非奇异曲线的分支数有界于a（n）_Benoit Cloitre_2，2002年8月29日

%C双n多米诺骨牌中的瓷砖数量_Scott A.Brown，2002年9月24日

%C一条由n个不相同链接组成的链可以被分解的方式的数量。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题：质谱仪中n个氨基酸残基的肽可以被分解的方式的数量。一般来说，每个氨基酸的质量不同，所以AB和BC的质量不同_詹姆斯·雷蒙德，2003年4月8日

%C三角数-奇数=移位三角数；1, 3, 6, 10, 15, 21, ... - 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque，2003年10月31日【由_Derek Orr_修订，2015年5月5日】

%C居中多边形数是[边数*A000217+1]的结果。例如，中心五边形数（1,6,16,31，…）=5*（0,1,3,6，…）+1。居中七元数（1,8,22,43，…）=7*（0,1,3,6，…）+1.-Xavier Acloque，2003年10月31日

%C由n+1平面相交形成的最大线数_Ron R.King，2004年3月29日

%C避开模式132且正好有1个下降的[n]排列数_Mike Zabrocki，2004年8月26日

%C不允许长度为n-1、包含子字（0,1）、（0,2）和（1,2）的三元字的数目。-_奥利维尔·杰拉德，2012年8月28日

%C从集合{0,1,2，…，n}中选择两个不同数字而不重复的方法的数目，或从集合{1,2，……，n{中选择不同数字而重复的方法数目。

%C推测，1，6，120是唯一同时是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski（cmt1288（AT）comcast.net），2005年3月30日

%C二项式变换是{0，1，5，18，56，160，432，…}，A001793，带一个前导零_菲利普·德雷厄姆，2005年8月2日

%C每对相邻项相加构成一个完美的正方形_Zak Seidov_，2006年3月21日

%C n+1个字母对称组中的转置数，即除两个元素外，其余元素保持不变的排列数_Geoffrey Critzer，2006年6月23日

%C与rho（n）：=exp（i*2*Pi/n）（1的n次方根），对于n>=1，rho（n）^a（n）=（-1）^（n+1）。只需使用平凡性a（2*k+1）==0（mod（2*k+1））和a（2*k）==k（mod（2*k））。

%C a（n）是（a_1+a_2+a_3）^（n-1）展开式中的项数_Sergio Falcon，2007年2月12日

%C a（n+1）是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数_理查德·巴恩斯，2017年9月6日

%C与n+1人在一个房间里明显握手的次数_Mohammad K.Azarian_，2007年4月12日[已更正，_Joerg Arndt_，2016年1月18日]

%C等于半群PT_n\S_n的秩（生成集的最小基数），其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群_詹姆斯·伊斯特，2007年5月3日

%C a（n）给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数，其中n=绘制的cevian数+1。例如，绘制1个cevian，n=1+1=2和a（n）=2*（2+1）/2=3，则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians，则n=1+2=3和a（n）=3*（3+1）/2=6，则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年4月30日

%C对于n>=1，a（n）是当表示项的顺序不同时，n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说，对于n>=1，a（n）是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数_Amarnath Murthy，2001年4月22日（编辑：Robert A.Beeler）

%C a（n）是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数（单位为h*f0，普朗克常数为h，振子频率为f0）。请参阅上文A.Murthy的评论：n=n1+n2+n3带有正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考_Wolfdieter Lang，2007年6月29日

%C摘自2007年8月6日的《费舍尔黄杨》：（开始）

%C数字m>=0，使圆（sqrt（2m+1））-圆（squart（2m））=1。

%C数字m>=0，这样天花板（2*sqrt（2m+1））-1=1+地板（2*m2））。

%C数字m>=0，即fract（sqrt（2m+1））>1/2，fract（m2）<1/2，其中fract（x）是x的小数部分（即x-floor（x），x>=0）。（完）

%C如果Y和Z是一个n集X的3个块，那么对于n>=6，a（n-1）是X的（n-2）-子集的数目，它们相交于Y和Z。-Milan Janjic_，2007年11月9日

%C等于三角形A143320的行和，n>0。-_Gary W.Adamson_，2008年8月7日

%如果n是梅森素数A000668，假设不存在奇数完美数，那么C a（n）也是一个完美数A000396_Omar E.Pol，2008年9月5日

%C等于三角形A152204的行和_Gary W.Adamson_，2008年11月29日

%C循环赛中的比赛次数：n*（n-1）/2给出n名球员所需的比赛次数。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德（Georg Wrede），2008年12月18日

%C-a（n+1）=E（2）*二项式（n+2,2）（n>=0），其中E（n）是枚举A122045中的欧拉数。这样看，a（n）是三角形A153641对角线序列中k=2的特例_Peter Luschny_，2009年1月6日

%C相当于连续四面体数的第一个差。参见A000292Jeremy Cahill（jcahill（AT）inbox.com），2009年4月15日

%C交替幂和的一般公式是瑞士刀多项式P（n，x）A153641 2^（-n-1）（P（n）-（-1）^k P（n、2k+1））。因此，a（k）=|2^（-3）（P（2,1）-（-1）^k P（2,2k+1））|.-_Peter Luschny_，2009年7月12日

%C a（n）是>a（n-1）的最小数，因此gcd（n，a（n。如果n是奇数，则gcd是n；如果n是偶数，则为n/2_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2009年8月6日

%C A001477的部分金额_Juri-Stepan Gerasimov，2010年1月25日。【A编号由_Omar E.Pol_修订，2012年6月5日】

%弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15_保罗·穆尔贾迪（Paul Muljadi），2010年1月25日

%C From _Charlie Marion，2010年12月3日：（开始）

%C更一般地说，a（2k+1）==j*（2j-1）（mod 2k+2j+1）和

%C a（2k）==[-k+2j*（j-1）]（模2k+2j）。

%C列总和：

%C 1 3 5 7 9。。。

%C 1 3 5。。。

%C1。。。

%C。。。。。。。。。。。。。。。

%C类---------------

%C 1 3 6 10 15。。。

%C和{n>=1}1/a（n）^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^（1/3）的球体的体积。

%C（结束）

%C A004201（a（n））=A000290（n）；A004202（a（n））=A002378（n）.-_Reinhard Zumkeller，2011年2月12日

%C 1/a（n+1），n>=0，具有例如f.-2*（1+x-exp（x））/x^2和o.g.f.2*（x+（1-x）*log（1-x-1/（2*a（n+1））是伯努利多项式A196838/A196839系数的谢弗三角形的z序列_Wolfdieter Lang，2011年10月26日

%C From _Charlie Marion，2012年2月23日：（开始）

%Ca（n）+a（A002315（k）*n+A001108（k+1））=（A001653（k+1。对于k=0，我们得到了a（n）+a（n+1）=（n+1）^2（由n.J.a.Sloane于2004年2月19日添加的恒等式）。

%C a（n）+a（A002315（k）*n-A055997（k+1））=（A001653（k+1，n-A001109（k））^2。

%C（结束）

%C将三个点（0,0）、（a（n）、a（n+1））、（a（n+1）、a（n+2））绘制成三角形。面积为a（n+1）/2.-_J.M.Bergot，2012年5月4日

%从a（n）=n*（n+1）/2开始，减去2的四个连续三角形数之和是2*（n+2）^2。a（n）*a（n+2）/2=a（a（n+1）-1）_J.M.Bergot，2012年5月17日

%C（a（n）*a（n+3）-a（n+1）*a_J.M.Bergot_，2012年5月18日

%Ca（n）*a（n+1）+a（n+2）*a[n+3）+3=a（n^2+4*n+6）.-_J.M.Bergot，2012年5月22日

%C一般来说，a（n）*a（n+1）+a（n+k）*a_Charlie Marion，2012年9月11日

%Ca（n）*a（n+3）+a（n+1）*a_J.M.Bergot，2012年5月22日

%C一般来说，a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a_Charlie Marion，2012年9月11日

%Ca（n）*a（n+2）+a（n+1）*a_J.M.Bergot，2012年5月22日

%C三个点（a（n），a（n+1）），（a（n+1），a_J.M.Bergot，2012年5月23日

%C a（n）+a（n+k）=（n+k）^2-（k^2+（2n-1）*k-2n）/2。对于k=1，我们得到a（n）+a（n+1）=（n+1）^2（见下文）_Charlie Marion，2012年10月2日

%在n空间中，我们可以定义一个（n-1）非平凡的正交投影。例如，在3空间中有一个（2）=3（即点对线、点对平面、线对平面）_道格拉斯·拉蒂默，2012年12月17日

%C发件人：James East，2013年1月8日：（开始）

%C对于n>=1，a（n）等于半群P_n\S_n的秩（生成集的最小基数）和幂等秩（幂等生成集的极小基数），其中P_n和S_n表示[n]上的分块幺半群和对称群。

%C对于n>=3，a（n-1）等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩，其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。

%C（结束）

%C对于n>=3，a（n）等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩，其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群_James East，2013年1月15日

%C猜想：对于n>0，在A000217（n）和A000217之间总是有一个素数。序列A065383具有这些质数中的前1000个_Ivan N.Ianakiev，2013年3月11日

%C公式a（n）*a（n+4k+2）/2+a（k）=a（a（n+2k+1）-（k^2+（k+1）^2））是Bergot 2012年5月17日评论中公式a（n*a（n+2）/2=a（a+1）-1的推广_Charlie Marion，2013年3月28日

%C由乔恩·佩里于2003年7月13日在下面的公式中给出的级数Sum_{k>=1}1/a（k）=2的部分和为2*n/（n+1）（伸缩和）=A022998（n）/A026741（n+1）_Wolfdieter Lang，2013年4月9日

%C对于奇数m=2k+1，我们有递推式a（m*n+k）=m^2*a（n）+a（k）。推论：如果数字T在序列中，那么9*T+1也是如此_Lekraj Beedassy，2013年5月29日

%C Euler在歌剧《Postuma》第87节中指出，只要T是三角形数，那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说，如果T是三角形数，那么（2*k+1）^2*T+k*（k+1）/2也是三角形数_Peter Bala，2015年1月5日

%C使用1/b和1/（b+2）将得到边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1，得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。当n>1时，周长的四分之一=a（n）。-_J.M.Bergot，2013年7月24日

%C a（n）=A028896（n）/6，其中A028899（n）=s（n）-s（n-1）是s（n，n）=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差值。s（n）可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X（n-1）X（n-2）矩形棱镜的体积之和_J.M.Bergot，2013年8月13日

%C正交群O的维数（n+1）.-_埃里克·施密特（Eric M.Schmidt），2013年9月8日

%C A_n型根系中的正根数（对于n>0）_Tom Edgar，2013年11月5日

%对于k=1到n，k的第r次连续求和的公式是二项式（n+r，r+1）[H.W.Gould]_Gary Detlefs，2014年1月2日

%C也是交替行和A095831。此外，对于n>=1，A055461的交替行和_Omar E.Pol，2014年1月26日

%C对于n>=3，a（n-2）是1,2，。。。，n的上（1）-下（0）个元素的分布为0…011（n-3个零），或者相同，a（n-2）是上下系数{n，3}（见A060351中的注释）_Vladimir Shevelev，2014年2月14日

%C a（n）是对称n×n矩阵向量空间的维数_德里克·奥尔，2014年3月29日

%C除初始零点外，A132440^2/2的非零次对角线。无符号A238363的第一个子对角线。参见A130534，了解与彩色森林的关系、旗杆上旗帜的布置以及完整图顶点的着色_汤姆·科普兰，2014年4月5日

%大小为2的{1，…，n+1}的Sidon子集的数目_Carl Najafi，2014年4月27日

%C Vandermonde行列式V（x_1，x_2，…，x_n）定义中的因子数=Product_{1<=i<k<=n}x_i-x_k.-Tom Copeland_，2014年4月27日

%C将n的弱成分数分成三部分_Robert A.Beeler，2014年5月20日

%假设一个袋子包含一个（n）红色大理石和一个（n+1）蓝色大理石，其中a（n），a（n+1）是连续的三角形数字。然后，对于n>0，随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。一般来说，对于k>2，设b（0）=0，b（1）=1，对于n>1，b（n）=（k-1）*b（n-1）-b（n-2）+1。假设，对于n>0，一个袋子包含b（n）个红色大理石和b（n+1）个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠，得到两个红色或两个蓝色的概率为（k-1）/（k+1）。另请参见A027941、A061278、A089817、A053142、A092521_Charlie Marion，2014年11月3日

%设O（n）为长方形数n（n+1）=A002378，S（n）为正方形数n^2=A000290（n）。然后a（4n）=O（3n）-O（n），a（4n+1）=S（3n+1）-S（n_Charlie Marion，2015年2月21日

%考虑将自然数从集合S=（1,2,3，…，n）分为若干部分。生成序列的签名的长度（顺序）由三角数给出。例如，当n=10时，签名长度为55_David Neil McGrath_，2015年5月5日

%C a（n）将（n-1）个未标记对象的分区计算为三（3）个部分（标记为a、b、C），例如，a（5）=15表示（n-1”=4。它们是（aaaa）、（bbbb）、（cccc）、（aaab）、（aaac）、（aabb）、（aacc）、（aabc）、（abbc）、（abbc）、（abbb）、（accc）、（bbcc）、（bccc）、（bbbc）_David Neil McGrath_，2015年5月21日

%C猜想：序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。所以推测的公式是（n-1）（n-2）/2_沃尔夫冈·廷特曼，2015年8月2日

%C猜想：设m为任意正整数。然后，对于每个n=1,2,3，。。。集合{Sum_{k=s.t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a（n）=n*（n+1）/2；换句话说，所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。（我已经通过计算机检查了这个猜想，没有发现反例。）-孙志伟，2015年9月9日

%C读取序列模m的Pisano周期长度似乎为A022998（m）_R.J.Mathar，2015年11月29日

%C对于n>=1，a（n）是n+4到n个部分的组成数，避免了部分2。-_米兰Janjic_，2016年1月7日

%在这个序列中只有3是素数_Fabian Kopp，2016年1月9日

%C假设您正在玩保加利亚纸牌游戏（参见A242424和张伯兰和加德纳的书），对于n>0，您从一堆a（n）张牌开始。那么，达到固定状态{n，n-1，…，1}所需的操作数是a（n-1）。例如，{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. - _Charlie Marion，2016年1月14日

%C数字k，使8k+1是一个正方形_Juri-Stepan Gerasimov，2016年4月9日

%每个完美立方体是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. - _Miquel Cerda，2016年6月26日

%C对于n>1，a（n）=τ_n（k*），其中τ_ n（k）是k的有序n因式分解数，k*是素数的平方。例如，由于4、9、25和49的除数的除数是6，而a（3）=6_梅尔文·佩拉塔（Melvin Peralta），2016年8月29日

%C在（n+1）维超立方体中，与顶点同余的二维面数（另请参见A001788）_Stanislav Sykora，2016年10月23日

%C常见公式a（n）+a（n+1）=（n+1，^2）（2004年2月19日）和a（n，^2+a（n+1）^2=a（（n+1，^ 2）（2006年11月22日）的推广如下：a（n 2+6a（k-1））_Charlie Marion，2016年11月27日

%C a（n）也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数_弗拉基米尔·莱茨科，2016年12月19日

%C对于n>0，2^5*（二项式（n+1,2））^2表示2*（2*n+1）^2个连续整数之和中的第一个整数，等于（2*n+1）^6。-_Patrick J.McNab_，2016年12月25日

%C不符合本福德定律（参见罗斯，2012）_N.J.A.Sloane，2017年2月12日

%C不大于n的正整数的有序三元组（a，b，C）的数量，使得a+b+C=2n+1。-_Aviel Livay_，2017年2月13日

%C最多使用n种颜色的不等四面体面着色数，因此没有颜色只出现一次_David Nacin，2017年2月22日

%C也是完全图K_{n+1}.-的维纳指数_Eric W.Weisstein_，2017年9月7日

%C次数n的伯恩斯坦多项式之间的交点数量-Eric Desbiaux，2018年4月1日

%C a（n）是顶点位于（1,1）、（n+1，n+2）和（n+1）^2，（n+2，^2）的三角形的面积_Art Baker_，2018年12月6日

%C对于n>0，a（n）是最小的k>0，因此n除以（1/a（1）+1/a（2）+…+的分子1/a（n-1）+1/k）。应该注意的是，1/1+1/3+1/6+…+2/（n（n+1））=2n/（n+1_托马斯·奥多夫斯基，2019年8月4日

%C n-齐次超可解线排列中线数的上界（参见Dimca中的定理1.1）_Stefano Spezia，2019年10月4日

%C对于n>0，a（n+1）是边长为n的三角形网格上的格点数量。-Wesley Ivan Hurt_，2020年8月12日

%C来自_Michael Chu，2022年5月4日：（开始）

%C长度为n的字符串的非空子串的最大数目。

%C和集A+A的最大基数，其中A是一组n个数字。（完）

%C a（n）是大小为n的停车功能的数量，避免了模式123、132和312_Lara Pudwell_，2023年4月10日

%假设平行画出两行，每行由n个等距的点组成。假设我们在两行的点之间画出直线。对于n>=1，a（n-1）是线之间可能的最大交点数。等价地，[n].-置换中的最大反转数_Sela Fried_，2023年4月18日

%C以下等式补充了Bala评论（2015年1月5日）中的概括。（2k+1）^2*a（n）+a（k）=a（（2k+1*n+k）_Charlie Marion，2023年8月28日

%Ca（n）+a（n+k）+a。对于k=1，我们有a（n）+a（n+1）=（n+1）^2_Charlie Marion，2023年11月17日

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%F（n）+a（n-1）*a（n+1）=a（n）^2_Terrel Trotter，Jr.，2002年4月8日

%F a（n）=（-1）^n*和{k=1..n}（-1）*k*k^2.-_Benoit Cloitre_2，2002年8月29日

%Fa（n+1）=（（n+2）/n）*a（n），Sum_｛n>=1｝1/a（n）=2。-_乔恩·佩里（Jon Perry），2003年7月13日

%F对于n>0，a（n）=A001109（n）-和{k=0..n-1}（2*k+1）*A001652（n-1-k）；例如，10=204-（1*119+3*20+5*3+7*0）_Charlie Marion，2003年7月18日

%对于插值零，这是n*（n+2）*（1+（-1）^n）/16_Benoit Cloitre_，2003年8月19日

%F a（n+1）是n X n对称Pascal矩阵M_（i，j）=二项式（i+j+1，i）的行列式_Benoit Cloitre_，2003年8月19日

%F a（n）=（（n+1）^3-n^3-1）/6.-Xavier Acloque，2003年10月24日

%F a（n）=a（n-1）+（1+sqrt（1+8*a（n-1）））/2。当取平方根的负分支时，此递归关系被反转，即a（n）被转换为a（n-1）而不是a（n+1）_卡尔·R·怀特，2003年11月4日

%F a（n）=总和{k=1..n}φ（k）*楼层（n/k）=总和_{k=1..n}A000010（k）*A010766（n，k）（R.Dedekind）.-_Vladeta Jovovic_，2004年2月5日

%F a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2.-_N.J.A.Sloane，2004年2月19日

%F a（n）=a（n-2）+2*n-1_Paul Barry，2004年7月17日

%F a（n）=平方（和{i=1..n}和{j=1..n{（i*j））=平方_Alexander Adamchuk，2004年10月24日

%F a（n）=平方（sqrt（和{i=1..n}和{j=1..n{（i*j）^3））=_Alexander Adamchuk，2004年10月26日

%如果n是奇数，则F a（n）==1（mod n+2）；如果n是偶数，则a（n_Jon Perry，2004年12月16日

%F a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+1_Miklos Kristof，2005年3月9日

%F a（n）=a（n-1）+n.-Zak Seidov，2005年3月6日

%F a（n）=A108299（n+3,4）=-A108299（n+4,5）_Reinhard Zumkeller_，2005年6月1日

%对于n>1.-，F a（n）=A111808（n，2）_Reinhard Zumkeller，2005年8月17日

%F a（n）*a（n+1）=A006011（n+1）=（n+1）^2*（n^2+2）/4=3*A002415（n+1）=1/2*a（n^2+2*n）。a（n-1）*a（n）=（1/2）*a_亚历山大·阿达姆丘克（Alexander Adamchuk），2006年4月13日[由查莉·马里恩（_Charlie Marion）更正和编辑，2010年11月26日]

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%对于正n，我们有a（8*a（n））/a（n）=4*（2*n+1）^2=（4*n+2）^2，即a（A033996（n）/a（n”）=4*A016754（n）=（A016825（n）^2=A016826（n）_Lekraj Beedassy，2006年7月29日

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%F 8*a（n）^3+a（n”^2=Y（n）*2，其中Y（n”）=n*（n+1）*（2*n+1）/2=3*A000330（n）.-_穆罕默德·博哈米达（Mohamed Bouhamida），2007年11月6日【德雷克·奥尔编辑，2015年5月5日】

%F多边形数的一个通式是P（k，n）=（k-2）*（n-1）n/2+n=n+（k-2_Omar E.Pol_，2008年4月28日和2013年3月31日

%F a（3*n）=A081266（n），a（4*n）=A033585_Reinhard Zumkeller_，2008年9月17日

%F a（n）=A022264（n）-A049450（n）.-_Reinhard Zumkeller_，2008年10月9日

%如果我们定义F（n，i，a）=Sum_{j=0..k-1}（二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0.0..k-1}（-a-j）），那么对于n>=1，a（n）=-F（n，n-1,1）_米兰Janjic_，2008年12月20日

%F 4*a（x）+4*a（y）+1=（x+y+1）^2+（x-y）^2.-_Vladimir Shevelev，2009年1月21日

%F a（n）=A000124（n-1）+n-1，对于n>=2。a（n）=A000124（n）-1.-_Jaroslav Krizek，2009年6月16日

%F该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}（（Pochhammer（1，m）*Pochhamder（1，m））*x^m/（Pochhamer（3，m）*阶乘（m））=（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2给出，其n阶导数具有闭合形式，必须通过将极限设为x->0来计算。A000217（n+1）=（lim_{x->0}d^n/dx^n（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2））^n+n*（对数（1-x）+log（-1/（-1+x）））*（-x+1+n））/x^2））^-1.-_Stephen Crowley，2009年6月28日

%F a（n）=A034856（n+1）-A005408（n）=A005843（n）+A000124（n）-A00540（n）.-_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年9月5日

%对于n>=1，F a（A006894（n））=a（A072638（n-1）+1）=A072638（n）=A006894（n+1）-1。对于n=4，a（11）=66.-_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年9月12日

%F偏移量为1时，a（n）=楼层（n^3/（n+1））/2.-_Gary Detlefs，2010年2月14日

%F a（n）=4*a（楼层（n/2））+（-1）^（n+1）*楼层（n+1_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2010年5月23日

%Fa（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）；a（0）=0，a（1）=1.-_Mark Dols_，2010年8月20日

%F From _Charlie Marion，2010年10月15日：（开始）

%F a（n）+2*a（n-1）+a（n-2）=n^2+（n-1）^2；和

%F a（n）+3*a（n-1）+3*a（n-2）+a（n-3）=n^2+2*（n-1。

%F一般来说，对于n>=m>2，求和{k=0..m}二项式（m，m-k）*a（n-k）=求和{k=0..m-1}二项式（m-1，m-1-k）*（n-k）^2。

%F（n）-2*a（n-1）+a（n-2）=1，a（n）-3*a（n-1）+3*a（n-2）-a。

%通常，对于n>=m>2，求和{k=0..m}（-1）^k*二项式（m，m-k）*a（n-k）=0。

%F（结束）

%F a（n）=平方（A000537（n））_Zak Seidov，2010年12月7日

%对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..Pi/2}4*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x）_弗朗西斯科·达迪（Francesco Daddi），2011年8月2日

%F a（n）=A110654（n）*A008619（n）.-_Reinhard Zumkeller_，2011年8月24日

%Fα（2*k-1）=A000384（k），a（2*k）=A014105（k）_Omar E.Pol，2011年9月13日

%F a（n）=A026741（n）*A02674l（n+1）_Charles R Greathouse IV，2012年4月1日

%F a（n）+a（a（n_J.M.Bergot，2012年4月27日

%F a（n）=-s（n+1，n），其中s（n，k）是第一类斯特林数A048994_Mircea Merca，2012年5月3日

%F a（n）*a（n+1）=a（和{m=1..n}A005408（m））/2，对于n>=1。例如，如果n=8，则a（8）*a（9）=a（80）/2=1620_Ivan N.Ianakiev，2012年5月27日

%F a（n）=A002378（n）/2=（A001318（n”）+A085787（n））/2.-_Omar E.Pol_，2013年1月11日

%F G.F.:x*（1+3x+6x^2+…）=x*产品{j>=0}（1+x^（2^j））^3=x*A（x）*A（x^2）*A。。。，其中A（x）=（1+3x+3x^2+x^3）_Gary W.Adamson_，2012年6月26日

%F G.F.:G（0），其中G（k）=1+（2*k+3）*x/（2*k+1-x*（k+2）*（2*k+1）/（x*（k+2）+（k+1）/G（k+1）））；（连续分数，第3类，3步）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年11月23日

%F a（n）=A002088（n）+A063985（n）.-_Reinhard Zumkeller，2013年1月21日

%F G.F.:x+3*x^2/（Q（0）-3*x）其中Q（k）=1+k*（x+1）+3*x-x*（k+1）*（k+4）/Q（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年3月14日

%F a（n）+a（n+1）+a_Ivan N.Ianakiev_，2013年3月16日

%F a（n）+a（n+1）+…+a（n+8）+6*n=a（3*n+15）_Charlie Marion，2013年3月18日

%F a（n）+a（n+1）+…+a（n+20）+2*n^2+57*n=a（5*n+55）_Charlie Marion，2013年3月18日

%F3*a（n）+a（n-1）=a（2*n），对于n>0.-_Ivan N.Ianakiev，2013年4月5日

%F一般来说，a（k*n）=（2*k-1）*a（n）+a（（k-1）*n-1）_Charlie Marion，2015年4月20日

%F此外，a（k*n）=a（k）*a（n）+a（k-1）*a_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2015年4月20日

%F a（n+1）=det（二项式（i+2，j+1），1<=i，j<=n）_米尔恰·梅尔卡，2013年4月6日

%F a（n）=地板（n/2）+天花板（n^2/2）=n-地板（n/2+）+地板（n^1/2）_韦斯利·伊万·赫特，2013年6月15日

%F a（n）=楼层（（n+1）/（exp（2/（n+1_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2013年6月22日

%F和{n>=1}a（n）/n！=3*exp（1）/2 by the e.g.f.另请参见A067764，关于一般二项式系数以这种方式计算的比率_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2013年7月15日

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*log（2）-2=0.7725887….-_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2014年8月11日

%F 2/（和{n>=m}1/a（n））=m，对于m>0.-_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2014年8月12日

%F A228474（a（n））=n；A248952（a（n））=0；A248953（a（n））=（n）；A248961（a（n））=A000330（n）.-_Reinhard Zumkeller，2014年10月20日

%F a（a（n）-1）+a（a（n+2）-1）+1=A000124（n+1）^2。-_Charlie Marion，2014年11月4日

%F a（n）=2*A000292（n）-A000330（n）.-_卢西亚诺·安科拉（Luciano Ancora），2015年3月14日

%F a（n）=A007494（n-1）+A099392（n），对于n>0.-_Bui Quang Tuan_，2015年3月27日

%F和{k=0..n}k*a（k+1）=a（A000096（n+1））_Charlie Marion_，2015年7月15日

%设O（n）是长方形数n（n+1）=A002378（n），S（n）为平方数n^2=A000290（n）。那么a（n）+a（n+2k）=O（n+k）+S（k）和a（n_Charlie Marion，2015年7月16日

%F以下是2006年11月22日公式A（n）^2+A（n+1）^2=A（n+1^2）的推广。设T（k，n）=a（n）+k。然后对于所有k，T（k、n）^2+T（k和n+1）^2=T（k（n+1））^2+2*k）-2*k.-Charlie Marion_，2015年12月10日

%F a（n）^2+a（n+1）^2=a（a（n”）+a（n+1））。可从N.J.A.Sloane_的A（N）+A（N+1）=（N+1”^2和R.B.Nelson的A（N）^2+A（N+1）^2=A（（N+1）^2）中进行推导_本·保罗·瑟斯顿，2015年12月28日

%F Dirichlet g.F.：（zeta（s-2）+zeta（s-1））/2.-_伊利亚·古特科夫斯基，2016年6月26日

%F a（n）^2-a（n-1）^2=n^3_Miquel Cerda，2016年6月29日

%F a（n）=A080851（0，n-1）_R.J.Mathar_，2016年7月28日

%F a（n）=A000290（n-1）-A034856（n-4）_Peter M.Chema，2016年9月25日

%F a（n）^2+a（n+3）^2+19=a（n^2+4*n+10）_Charlie Marion，2016年11月23日

%F 2*a（n）^2+a（n”）=a（n^2+n）_Charlie Marion，2016年11月29日

%F.G.F.:x/（1-x）^3=（x*r（x）*r（x^3）*r，其中r（x）=（1+x+x^2）^3=（1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6）_Gary W.Adamson_，2016年12月3日

%F a（n）=矩阵Q（n）的逆的元素之和，其中Q（n）有元素Q_i，j=1/（1-4*（i-j）^2）。因此，如果e=由1组成的适当大小的向量，那么a（n）=e’。Q（n）^-1.e.-Michael Yukish_，2017年3月20日

%F a（n）=和{k=1..n}（（2*k-1）*（2*n-2*k-1）！！）/（2*k-2）*（2*n-2*k）！！）.-_迈克尔·尤基什，2017年3月20日

%F和{i=0..k-1}a（n+i）=（3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k）/6.-_克里斯托弗·霍尔，2019年2月23日

%F a（n）=A060544（n+1）-A016754（n）-_拉尔夫·斯坦纳（Ralf Steiner），2019年11月9日

%F a（n）==0（mod n），当n为奇数时（参见De Koninck参考）_Bernard Schott，2020年1月10日

%F 8*a（k）*a（n）+（（a（k。当k=1时，这个公式简化为众所周知的公式8*a（n）+1=（2*n+1）^2_Charlie Marion，2020年7月23日

%Fa（k）*a（n）=Sum_{i=0..k-1}（-1）^i*a（（k-i）*（n-i））.-_Charlie Marion，2020年12月4日

%F From _Amiram Eldar_，2021年1月20日：（开始）

%F乘积{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）/（2*Pi）。

%F产品{n>=2}（1-1/a（n））=1/3。（完）

%F a（n）=和{k=1..2*n-1}（-1）^（k+1）*a（k）*a。例如，对于n=4，1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10_Charlie Marion，2022年3月23日

%F 2*a（n）=A000384（n）-n^2+2*n。通常，如果P（k，n）=第n个k次方数，则（j+1）*a（n）=P（5+j，n）-n ^2+（j+1

%F a（n）=A109613（n）*A004526（n+1）_托拉赫·拉什，2023年11月10日

%电子表格：x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。

%e当n＝3时，a（3）＝4*3/2＝6。

%e示例（a（4）=10）：ABCD，其中a、B、C和D是链中的不同链接或肽中的不同氨基酸可能片段：a、B，C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。

%e a（2）：德川门上的蜀葵叶子，a（4）：毕达哥拉斯四重奏中的分数，a（5）：八球台球中的物体球。-_Bradley Klee_，2015年8月24日

%e来自Gus Wiseman_，2020年10月28日：（开始）

%e a（1）=1到a（5）=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2[Beeler，McGrath]如下。这些成分按A014311排序。

%e（111）（112）（113）（114）（115）

%e（121）（122）（123）（124）

%e（211）（131）（132）（133）

%e（212）（141）（142）

%e（221）（213）（151）

%e（311）（222）（214）

%e（231）（223）

%e（312）（232）

%e（321）（241）

%e（411）（313）

%e（322）

%e（331）

%e（412）

%e（421）

%e（511）

%e无序版本为A001399（n-3）=A069905（n），亨氏编号为A014612。

%e严格情况为A001399（n-6）*6，按A337453排名。

%e无序严格情况为A001399（n-6），亨氏编号为A007304。

%e（结束）

%p A000217：=程序（n）n*（n+1）/2；结束；

%p istriangular：=proc（n）局部t1；t1:=楼层（平方米（2*n））；如果n=t1*（t1+1）/2，则返回true，否则返回false；结束条件：；结束进程；#_N.J.A.Sloane，2008年5月25日

%p ZL:=[S，{S=Prod（B，B，B），B=Set（Z，1<=卡）}，未标记]：

%p seq（combstruct[计数]（ZL，大小=n），n=2..55）；#_Zerinvary Lajos，2007年3月24日

%p is A000217：=进程（n）

%发行量（1+8*n）；

%p end proc:#R.J.Mathar_，2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱_Peter Luschny_，2022年9月2日]

%t阵列[#*（#-1）/2&，54]（*Zerinvary Lajos_，2009年7月10日*）

%t文件夹列表[#1+#2&，0，范围@50]（*_Robert G.Wilson v_，2011年2月2日*）

%t累计[范围[0,70]]（*哈维·P·戴尔，2012年9月9日*）

%t系数表[系列[x/（1-x）^3，{x，0，50}]，x]（*_Wincenzo Librandi_，2014年7月30日*）

%t（*对于Mathematica 10.4+*）表[多边形数[n]，｛n，0，53｝]（*_Arkadiusz Wesolowski_，2016年8月27日*）

%t线性递归[{3，-3，1}，{0，1，3}，54]（*_Robert G.Wilson v_，2016年12月4日*）

%t（*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供，用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列，只需更改一行即可。这强烈表明三角数不是Benford，因为输出的第二列和第三列不一致。-N.J.a.Sloane，2017年2月12日*）

%t fd[x_]：=楼层[10^Mod[Log[10，x]，1]]

%t benfordtest[num_]：=模块[{}，

%t对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=0]；

%t对于[n=1，n<=num，n++，

%t吨{

%t d=fd[n（n+1）/2]；

%t如果[d！=0，数字[d]=数字[d]+1]；

%t}]；

%t对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=1.0位[d]/num]；

%t对于[d=1，d<=9，d++，

%t打印[d，“”，100.0位[d]，“”、100.0日志[10，（d+1）/d]]]；

%t]；

%t本福德试验[20000]

%t表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n，{3}]]，{n，0,15}]（*_Gus Wiseman_，2020年10月28日*）

%o（PARI）A000217（n）=n*（n+1）/2；

%o（PARI）is_A000217（n）=n*2==（1+n=sqrtint（2*n））*\\_M.F.Hasler_，2012年5月24日

%o（PARI）is（n）=ispolygonal（n，3）\\_Charles R Greathouse IV_，2014年2月28日

%o（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），n，t）；而（t=n*n++/2）<=lim，listput（v，t））；Vec（v）\\_Charles R Greathouse IV_，2021年6月18日

%o（哈斯克尔）

%o a000217 n=a000217_列表！！n个

%o a000217_list=scanl1（+）[0..]-_Reinhard Zumkeller_，2011年9月23日

%o（岩浆）[0..60]]中的[n*（n+1）/2:n；//_Bruno Berselli，2014年7月11日

%o（岩浆）[0..1500中的n：n | IsSquare（8*n+1）]；//_Juri-Stepan Gerasimov，2016年4月9日

%o（SageMath）[n*（n+1）/2代表n in（0..60）]#_Bruno Berselli，2014年7月11日

%o（Scala）（1至53）。scanLeft（0）（_+_）//霍斯特曼（2012），第171页

%o（方案）（定义（A000217 n）（/（*n（+n 1））2））_Antti Karttunen，2017年7月8日

%o（J）a000217=：*-：@>：注意_Stephen Makdisi_，2018年5月2日

%o（Python）for n in range（0,60）：打印（n*（n+1）/2，end='，'）#_Stefano Spezia_，2018年12月6日

%o（Python）#用于计算序列的初始段，而不是

%o#孤立项。如果在迭代中，线“x，y=x+y+1，y+1”

%o#被替换为“x，y=x+y+k，y+k”，然后获得数字，

%o#表示k=0（天然A001477），k=1（三角形），k=2（正方形），k=3（五边形），k=4（六边形）、k=5（七边形）和k=6（八角形）等。

%o定义aList（）：

%o x，y=1，1

%o产量0

%o当为True时：

%o产量x

%o x，y=x+y+1，y+1

%o A000217=列表（）

%o打印（[next（A000217）for i in range（54）]）#_Peter Luschny_，2019年8月3日

%Y在第二个Python程序中使用参数k表示数字：A001477（k=0），这个序列（k=1），A000290（k=2），P000326（k=3），AO00384（k=4），A000566（k=5），A00067（k=6），A001106（k=7），A00107（k=0.8）。

%Y参见A000096、A000124、A000292、A000330、A000396、A000668、A001082、A001788、A002024、A002378、A002415、A003056（反函数）、A004526、A006011、A007318、A008953、A00895%、A010054（特征函数）、P028347、A036666、A046092、A051942、A055098、A055999、A056000、A056115、A056119、A056121、A056 126、A062717、A087475、A10185 9，A109613，A143320、A210569、A245031、A245300、A060544、A016754。

%Y a（n）=A110449（n，0）。

%Y a（n）=A110555（n+2,2）。

%Y A008291的对角线。

%A195152的Y列2。

%形式为n*t（n+k，h）-（n+k）*t（n，h）的Y数，其中t（i，h）=i*（i+2*h+1）/2表示任意h（对于A000217为k=1）：A005563、A067728、A140091、A140681、A212331。

%Y Boutrophedon变换：A000718、A000746。

%Y迭代次数：A007501（开始=2）、A013589（开始=4）、A050542（开始=5）、A050548（开始=7）、A050536（开始=8）、A050909（开始=9）。

%Y参考A002817（双三角数），A075528（a（n）=a（m）/2的解）。

%Y参见A104712（第一列，以a（1）开头）。

%Y一些广义k角数是A001318（k=5）、这个序列（k=6）、A085787（k=7）等。

%Y A001399（n-3）=A069905（n）=A211540（n+2）统计3部分分区。

%Y A001399（n-6）=A069905（n-3）=A211540（n-1）统计3部分严格分区。

%Y A011782统计任何长度的成分。

%Y A337461计数成对互质三元组，无序版本为A307719。

%Y参见A000212、A001840、A007304、A156040、A220377、A337483、A337604。

%Y参见A099174、A130534、A132440、A238363。

%K nonn，核心，简单，好

%0、3

%A·N·J·A·斯隆_

%E编辑：_Derek Orr_，2015年5月5日