%I M1878 N0742#320 2023年7月23日08:49:47

%编号：1,2,8,483843844046080645120103219201857945603715891200，

%电话：817496064001961990553600510117543936001428329123020800，

%电话：4284987369062400013711959580999968000466256257539891200016783438527143608320006377066403145711616000

%N偶数的二重阶乘：（2n）！！=2^n*n！。

%C a（n）也是n维超立方体的图（边图）的自同构群的大小，也是超立方元的几何自同构组的大小（这两个群是同构的）。该群是初等阿贝尔群（C_2）^n由S_n的推广。（C_2是具有两个元素的循环群，S_n是对称群。）-Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年2月21日

%然后a（n）出现在幂级数中：sqrt（1+sin（y））=Sum_{n>=0}（-1）^floor（n/2）*y^（n）/a（n）和sqrt_Benoit Cloitre_，2002年2月2日

%C似乎是A001907的二项式均值变换。参见A075271_John W.Layman，2002年9月28日

%C项为0，+-1的n×n单项式矩阵的个数。

%C a（n）=A001044（n）/A00142（n）*A000079（n）=产品_｛i=0..n-1}（2*i+2）=2^n*波切哈默（1，n）.-Daniel Dockery（peritus（AT）gmail.com），2003年6月13日

%C还有线性有符号订单的数量。

%C将“降级”定义为按降序排列排列p中的项目的排列。本说明关注的是那些等于其双重降级的排列。具有此性质的2n阶排列的数目与2n+1阶排列的数相等。a（n）=2n阶和2n+1阶的双降级置换数尤金·麦克唐纳（eemcd（AT）mac.com），2003年10月27日

%C a（n）=（Integral_{x=0..Pi/2}cos（x）^（2*n+1）dx），其中分母是b（n）＝（2*n）/（n！*2^n）。-Al Hakanson（hawkuu（AT）excite.com），2004年3月2日

%C 1+（1/2）x-（1/8）x ^2-（1/48）x ^3+（1/384）x ^4+…=sqrt（1+sin（x））。

%C a（n）*（-1）^n=arctan（x）的（n+1）次导数的前项系数，见Hildebrand链接_Reinhard Zumkeller_，2006年1月14日

%C a（n）是斜对称2n X 2n矩阵的Pfaffian，其（i，j）项为i的j

%C a（n）是具有n+1个边的递增平面树的数量。（在平面树中，根的每个子树都是有序树，但根的子树可以循环旋转。）增加意味着顶点标记为0,1,2，。。。，n+1，每个子代的标签都比父代大。参见A001147增加有序树、A000142增加无序树和A000111增加0-1-2树_David Callan，2006年12月22日

%C Hamed Hatami和Pooya Hatami证明了这是C_{2n+1}^n中任何最小支配集的基数的上界，C_{2 n+1}^n是2n+1大小循环的n个副本的笛卡尔积，其中2n+1是素数_Jonathan Vos Post，2007年1月3日

%C该序列和（1，-2,0,0,0，0，…）在A133314中描述的列表分区转换和相关操作下形成倒数对_汤姆·科普兰，2007年10月29日

%C a（n）=多集{1,1,2,2，…，n，n，n+1，n+1}的置换数，使得在i的两次出现之间，正好有一个条目>i，因为i=1,2，。。。，n.示例：a（2）=8计数121323、131232、213123、231213、232131、312132、321312、323121。证明：两个1s之间总是只有一个条目（当n>=1时）。给定a（n）中的一个置换p（以a（n）计），记录第一个1的位置i，然后删除这两个1s，并从每个条目中减去1，得到a（n-1）中的置换q。映射p->（i，q）是从a（n）到笛卡尔乘积[1，2n]X a（n-1）的双射_David Callan，2007年11月29日

%C行合计A028338.-_保罗·巴里（Paul Barry），2009年2月7日

%C a（n）是连续为n对已婚夫妇安排座位的方式数，以便每个人都与配偶相邻。比较A007060_杰弗里·克里泽尔（Geoffrey Critzer），2009年3月29日

%C发件人_Gary W.Adamson_，2009年4月21日：（开始）

%C等于（-1）^n*（1，1，2，8，48，…）点（1，-3，5，-7，9，…）。

%C例如：a（4）=384=（1，1，2，8，48）点（1，-3，5，-7，9）=（1、-3、10、-56，432）。（完）

%C exp（x/2）=总和（n>=0，x^n/a（n））。-_Jaume Oliver Lafont_，2009年9月7日

%假设n从0开始，a（n）似乎是n位上的格雷码数。它当然是n位上的格雷码的数目，与正则码同构。证明：每个代码有2^n个不同的起始位置。此外，每个代码都有一个被翻转的位位置的特定模式（例如，1 2 1 3 1 2 1表示n=3），这些位位置模式可以用n！方式。-D.J.Schreffler（ds1404（AT）txstate.edu），2010年7月18日

%C例如，0、1、2、8，。。。是x/（1-2x/（2-2x/（3-8x/（4-8x/_保罗·巴里（Paul Barry），2011年1月17日

%C增加2色树的数量，每个边有两种颜色可供选择。一般来说，如果我们用k替换2，我们会得到增加的k色树的数量。例如，对于k=3，我们得到了三阶阶乘数_Wenjin Woan_，2011年5月31日

%C a（n）=三角形A193229.-的行和_Gary W.Adamson，2011年7月18日

%C也是2n（或2n+1）的置换数，这些置换数等于它们的反向补足数。（参见Egge参考。）请注意，上述评论（McDonnell）中描述的双重降级等同于反向补足_Justin M.Troyka，2011年8月11日

%C例如f.可用于生成A000108的生成器[1/（1-2x）]d/dx，因此a（n）可应用于A145271以生成加泰罗尼亚数字。-_汤姆·科普兰，2011年10月1日

%C 1/a（n）的示例f.是BesselI（0，sqrt（2*x））。见Abramowitz-Stegun（A008277下的参考和链接），第375页，9.6.10_Wolfdieter Lang，2012年1月9日

%C a（n）=具有n个不纯正系统的最大不纯正群的阶数2n（参见[米勒]，第203页）_L.Edson Jeffery，2012年2月5日

%C三角形A208057的行和。-_Gary W.Adamson，2012年2月22日

%C a（n）是在每个n置换中指定元素子集的方法数。a（n）=A000142（n）+A001563（n）+A001804（n）+A001805（n）+A001806（n）+A001807（n）+A0305038（n）*n！-_Geoffrey Critzer，2012年11月8日

%C对于n>1，a（n）是B_n和C_n.-Tom Edgar_类型的Coxeter群（也称为Weyl群）的顺序，2013年11月5日

%C对于m>0，k*a（m-1）是k个自由度的双平方概率分布的第m个累积量_Stanislav Sykora，2014年6月27日

%前缀为0的C a（n）是A120765的二项式变换_弗拉基米尔·雷舍特尼科夫，2015年10月28日

%C A001147.-的指数自进化_Vladimir Reshetnikov，2016年10月8日

%也是n-梯形图的自同构群的阶。-_Eric W.Weisstein_，2017年7月22日

%Ca（n）是M_n（Z）中群O_n（Z）={a的阶：a*a^T=I_n}，整数上的nXn正交矩阵群_2021年3月29日，宋嘉宁

%C a（n）是使用左石和两种骨头瓦片a（3n，3n）-苯或a（3n+1,3n+2）-苯的方法数；见Defant等人，下文_James Propp_，2023年7月22日

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n表，n=0..100时的a（n）</a>

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Barry4/barry271.html“>使用指数Riordan数组将一般欧拉多项式作为矩</a>，《整数序列杂志》，16（2013），#13.9.6。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/1803.10297“>广义欧拉三角和一些特殊生成矩阵，arXiv:1803.10297[math.CO]，2018。

%H Isabel Caçao、Helmuth R.Malonek、Maria Irene Falcáo和Graça Tomaz，<a href=“https://www.emis.de/journals/JIS/VOL21/Falcao/falcao2.html“>与多维多项式序列相关的组合恒等式</a>，J.Int.Seq.，第21卷（2018年），第18.7.4条。

%H P.J.Cameron，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/groups.html“>寡形置换群实现的序列，J.Integ.Seqs.Vol.3（2000），#00.1.5。

%H CombOS-组合对象服务器，<a href=“http://combos.org/cperm“>生成彩色排列</a>

%H R.Coquereaux和J.-B.Zuber，<a href=“https://arxiv.org/abs/1507.03163“>地图、沉浸和排列</a>，arXiv预打印arXiv:1507.03163[math.CO]，2015。

%H Colin Defant、Rupert Li、James Propp和Benjamin Young，<a href=“https://arxiv.org/abs/2209.05717“>通过算盘双投影的苯平铺</a>，arXiv预打印，arXiv:2209.05717[math.CO]，2022。

%H Eric S.Egge，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/s00026-007-0327-9“>受限对称置换，《Ann.Combin.》，11（2007），405-434。

%H Peter C.Fishburn，<a href=“http://dx.doi.org/10.1006/jmps.1999.1288“>签名命令、选择概率和线性多面体，《数学心理学杂志》，第45卷，第1期，（2001年），第53-80页。

%H Joöl Gay和Vincent Pilaud，<a href=“https://arxiv.org/abs/1804.06572“>Weyl偏序集上的弱序</a>，arXiv:1804.06572[math.CO]，2018。

%H G.Gordon，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2589493“>答案是2^n*n！问题是什么？</a>，《美国数学月刊》，106（1999），636-645。

%韩国牛，<a href=“网址：http://www-irma.u-strasbg.fr/~guoniu/papers/p77puzzle.pdf“>标准拼图的枚举</a>

%H Guo-Niu Han，标准拼图的枚举

%H Hamed Hatami和Pooya Hatami，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0701018“>素循环笛卡尔积中的完美支配集</a>，arXiv:math/0701018[math.CO]，2006-2009。

%H Jason D.Hildebrand，<a href=“http://www.opensky.ca网站/~jdhildeb/arctan/arctan_diff.html“>区分arctan（x）</a>

%H INRIA算法项目，<a href=“http://ecs.inria.fr/services/structure？nbr=136“>组合结构百科全书136</a>

%H L.C.Larson，<a href=“/A000900/A000900_1.pdf”>本质上不同的非攻击车安排的数量，J.Recreat。数学。，7（1974年第3期），约180-181页。【仅对第180页和第181页进行注释性扫描】

%H E.Lucas，<a href=“/A00899/a00899.pdf”>Théorie des nombres</a>（对一些选定页面的注释扫描）

%H尤金·麦克唐纳，<a href=“http://www.jsoftware.com/papers/eem/magicsq.htm“>Magic Squares and Permutations，APL Quote Quad 7.3（1976年秋季）。

%H B.E.Meserve，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2306136“>双因子，美国数学月刊，55（1948），425-426。

%H G.A.Miller，<A href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1918-03043-7“>由特殊矩阵构成的群</a>，美国数学协会24（1918），203-206。

%H R.Ondrejka，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-70-99856-X“>双阶乘表，《数学比较》，24（1970），231。

%H Alexsandar Petojevic，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL5/Petojevic/petojevic5.html“>The Function vM_m（s；a；z）and Some Well-Known Sequences</a>，Journal of Integer Sequences，Vol.5（2002），Article 02.1.7。

%H Luis Manuel Rivera，<a href=“https://arxiv.org/abs/1406.3081“>整数序列和k-交换置换</a>，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。

%H R.W.Robinson，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/BFb0097382“>主教的计数安排，《组合数学IV》（阿德莱德，1975年）第198-214页，《Lect.Notes Math.》，第560页（1976年）。

%H M.Z.Spivey和L.L.Steil，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Spivey/spivey7.html“>《k二项式变换和汉克尔变换》，J.Integ.Seqs.第9卷（2006年），#06.1.1。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/DoubleFactorial.html“>双阶乘</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/GraphAutomorphism.html“>图形自同构</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/LadderRungGraph.html“>阶梯梯级图</a>

%H<a href=“/index/Di#divseq”>可除序列索引</a>

%H<a href=“/index/Fa#factorial”>与阶乘数相关的序列的索引项</a>

%F例如：1/（1-2*x）。

%F D-有限，递归a（n）=2*n*a（n-1），n>0，a（0）=1_Paul Barry，2004年8月26日

%F这是A001907的二项式平均变换。参见Spivey和Steil（2006）迈克尔·Z·斯皮维（mspivey（AT）ups.edu），2006年2月26日

%F a（n）=积分{x>=0}x^n*exp（-x/2）/2 dx.-_Paul Barry，2008年1月28日

%F G.F.：1/（1-2x/（1-2x/（1-4x/（1~6x/（1-….（连分数））.-_保罗·巴里（Paul Barry），2009年2月7日

%F a（n）=A006882（2*n）_R.J.Mathar_，2009年10月20日

%F From _Gary W.Adamson_，2011年7月18日：（开始）

%F a（n）=M^n中的左上项，M=生产矩阵（两倍帕斯卡三角形删除第一个“2”，其余为零；参见A028326）：

%F 2，2，0，0，0，0。。。

%F2,4,2,0,0,0。。。

%F 2、6、6、2、0、0。。。

%F 2、8、12、8、2、0。。。

%F 2、10、20、20、10、2。。。

%F。。。（完）

%F From _Sergei N.Gladkovskii，2013年4月11日，2013年5月1日，2013日5月24日，2013月9月30日和2013年10月27日：（开始）

%F连分数：

%F G.F.：1+x*（Q（0）-1）/（x+1），其中Q（k）=1+（2*k+2）/（1-x/（x+1/Q（k+1））。

%F G.F.：1/Q（0），其中Q（k）=1+2*k*x-2*x*（k+1）/Q（k+1）。

%F G.F.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/（x*（2*k+2）+1/G（k+1）））。

%F G.F.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x*（4*k+2）-4*x^2*（k+1）^2/Q（k+1。

%F G.F.:R（0），其中R（k）=1-x*（2*k+2）/。（完）

%F a（n）=（2n-2）*a（n-2）+（2n-1）*a_Ivan N.Ianakiev，2013年8月6日

%F From _Peter Bala，2015年2月18日：（开始）

%F递推方程：a（n）=（3*n-1）*a（n-1）-2*（n-1。

%序列b（n）=A068102（n）也满足二阶递推。这导致广义连分式展开极限{n->infinity}b（n）/a（n）=log（2）=1/（2-2/（5-8/（8-18/（11-…-2*（n-1）^2/（（3*n-1）-…））））。（完）

%F From _Amiram Eldar_，2020年6月25日：（开始）

%F和{n>=0}1/a（n）=sqrt（e）（A019774）。

%F和{n>=0}（-1）^n/a（n）=1/sqrt（e）（A092605）。（完）

%F极限{n->无穷}a（n）^4/（n*A134372（n））=Pi.-_Daniel Suteu，2022年4月9日

%e以下排列及其反转均为5阶排列，具有双降级性质：

%e 0 1 2 3 4

%e 0 3 2 1 4

%e 1 0 2 4 3

%e 1 4 2 0 3

%总资产=1+2*x+8*x^2+48*x^3+384*x^4+3840*x^5+46080*x^6+645120*x^7+。。。

%p A000165:=proc（n）选项记住；如果n<=1，则1其他n*A000165（n-2）；fi；结束；

%p ZL:=[S，{a=原子，b=原子，S=生产（X，序列（生产（X、b））），X=序列（b，卡片>=0）}，标记]：序列（组合结构[计数]（ZL，大小=n），n=0..17）；#_Zerinvary Lajos，2008年3月26日

%p G（x）：=（1-2*x）^（-1）：f[0]：=G（x_Zerinvary Lajos，2009年4月3日

%p A000165:=proc（n）双阶乘（2*n）；终末程序；序列号（A000165（n），n=0..10）；#_R.J.Mathar，2009年10月20日

%t表[（2 n）！，｛n，20｝]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2008年12月13日*）

%t（2范围[0，20]）！！（*_哈维·P·戴尔，2015年1月23日*）

%t循环表[{a[n]==2n*a[n-1]，a[0]==1}，a，{n，0，19}]（*雷·钱德勒，2015年7月30日*）

%o（PARI）a（n）=n<<2011年2月11日，查尔斯·格里特豪斯四世

%o（PARI）{a（n）=产品（k=1，n，2*k）}；/*_Michael Somos，2013年1月4日*/

%o（岩浆）[2^n*阶乘（n）：[0..105]]中的n；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2011年4月22日

%o（岩浆）I:=[2,8]；[1] cat[n le 2 select I[n]else（3*n-1）*Self（n-1）-2*（n-1_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年2月19日

%o（哈斯克尔）

%o a000165 n=产品[2，4..2*n]——Reinhard Zumkeller_，2015年3月28日

%o（Python）

%o来自数学导入阶乘

%o定义A000165（n）：返回阶乘（n）<<n#_Chai Wah Wu_，2023年1月24日

%Y参考A006882，A000142（n！），A001147（（2n-1）！），A010050、A002454、A039683、A008544、A001813、A047053、A04.7055、A0470.58、A047657、A084947、A084 948、A08494、A028326、A193229、A208057、A032184（2^n*（n-1）！），A019774、A092605。

%Y此序列给出A060187中的行和，以及A039757中的（-1）^n*a（n）交替行和。同时在A028338中列出总额。

%A329070的Y列k=2。

%不，简单，好

%0、2

%A·N·J·A·斯隆_