%I M1180 N0454#352 2023年10月27日18:20:42

%S 0,1,1,2,4,9,20,4811528671918424766124863297387811235381，

%电话63484717211594688676128262283522183297055181268282855，

%电话：7437249842067174645575965101608373432945007066269126186554308354426847597997171512998

%N具有N个节点（或具有固定点的连接函数）的未标记根树的数量。

%C此外，排列n-1个非重叠圆的方法有很多：例如，有4种方法可以排列3个圆，用（O）、（OO）、（O）O、OOO表示，也可以参见示例。（当然，这里的规则与常见的计数圆括号问题不同——比较A000108、A001190、A001699。）见斯隆的链接以获得证明，见沃格勒的链接以说明a（7）是6个圆的排列。

%C取一个由n个x组成的字符串，以所有可能的合法方式插入n-1^和n-1对括号（参见A003018）。序列给出了不同功能的数量。单节点树为“x”。使节点f2成为f1的子节点表示f1^f2。由于（f1^f2）^f3只是f1^（f2*f3），我们可以将其视为f1同时提升到f2和f3，也就是说，f1将f2和f三作为子代。例如，对于n=4，不同的函数是（x^x）^x；（x^（x^x））^x；x^（（x^x）^x）；（x^（x^x））_W.Edwin Clark和_Russ Cox，2003年4月29日；修正人：Keith Briggs，2005年11月14日

%C此外，除了一个循环外，n阶无圈的连通多重图的数目_华盛顿Bomfim，2010年9月4日

%C此外，还有n+1个节点的已种植树木数。

%C Genitrini（2016）也称为“Polya树”_N.J.A.Sloane，2017年3月24日

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%H Peter Steinbach，《简图野外指南》，第1卷，第17部分（本书第1、2、3、4卷分别参见A000088、A008406、A000055、A000664）

%H Peter Steinbach，《简图野外指南》，第3卷，第10部分（本书第1、2、3、4卷分别参见A000088、A008406、A000055、A000664）

%H Peter Steinbach，《简图野外指南》，第3卷，第12部分（本书第1、2、3、4卷分别参见A000088、A008406、A000055、A000664）

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%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/PlantedTree.html“>植树</a>

%H G.Xiao，<a href=“http://wims.unice.fr/~wims/en_tool~number~contfrac.en.html“>contfrac</a>

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Ro#rooted”>与根树相关的序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Tra#trees”>为与树相关的序列索引条目</a>

%H<a href=“/index/Par#parens”>为与括号相关的序列索引条目</a>

%H<a href=“/index/Con#confC”>常数连分式的索引项</a>

%F G.F.A（x）满足A（x[波利亚]

%F同时A（x）=Sum_{n>=1}A（n）*x^n=x/Product_{n>=1}（1-x^n）^A（n）。

%F递归：a（n+1）=（1/n）*和{k=1..n}（和{d|k}d*a（d））*a（n-k+1）。

%F渐近c*d^n*n^（-3/2），其中c=A187770=0.439924…和d=A051491=2.955765…[波利亚；克努特，第7.2.1.6节]。

%F Euler变换是偏移量为-1的序列本身_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2001年12月16日

%F对于n>1，a（n）=A087803（n）-A087803（n-1）_Vladimir Reshetnikov，2015年11月6日

%F对于n>1，a（n）=A123467（n-1）_2015年11月26日，Falk Hüffner_

%e.G.f.=x+x^2+2*x^3+4*x^4+9*x^5+20*x^6+48*x^7+115*x^8+。。。

%e来自Joerg Arndt_，2014年6月29日：（开始）

%e具有6个节点的a（6）=20树具有以下级别序列（根级别=0）和括号单词：

%e 01:[0 1 2 3 4 5]（（）））

%e 02:[0 1 2 3 4 4]（）（）））

%e 03:[0 1 2 3 4 3]（）（））

%e 04:[0 1 2 3 4 2]（））（））

%e 05:[0 1 2 3 4 1]（）））（）

%e 06:[0 1 2 3 3 3]（（（（）（）（（）））

%e 07:[0 1 2 3 3 2]（（（）（））

%e 08:[0 1 2 3 3 1]（（（）（））（）

%e 09:[0 1 2 3 2 3]（（（））（（）

%e 10:[0 1 2 3 2 2]（（（（））（）（）））

%e 11:[0 1 2 3 2 1]（（（（））（））

%e 12:[0 1 2 3 1 2]（（（（）））

%e 13:[0 1 2 3 1 1]（（（（）））（）（））

%e 14:[0 1 2 2 2 2]（（）（）（（）

%e 15:[0 1 2 2 2 1]（（（）（）（（））（））

%e 16:[0 1 2 2 1 2]（（）（））（（）））

%e 17:[0 1 2 2 1 1]（（（）（））（）（（））

%e 18：[0 1 2 1 2 1]（（（））（（）（））

%e 19:[0 1 2 1 1 1]（（（））（）（）

%e 20:[0 1 1 1 1 1]（（）（）（，）（）

%e（结束）

%p编号：=30:a:=[1,1]；对于从3到n的n，dox*mul（（1-x^i）^（-a[i]），i=1..n-1）；系列（%，x，n+1）；b：=系数（%，x，n）；a:=[操作（a），b]；od:a；A000081:=proc（n），如果n=0，则为1，否则为a[n]；fi；结束；G000081:=系列（添加（a[i]*x^i，i=1..N），x，N+2）；#也用于A000055

%p规范：=[T，{T=Prod（Z，Set（T））}]；A000081:=n->combstruct[count]（规格，大小=n）；[seq（combstruct[count]（规范，大小=n），n=0..40）]；

%p#使用Maple计算结果的更有效方法。它使用两个过程：

%p a：=进程（n）局部k；a（n）：=添加（k*a（k）*s（n-1，k），k=1..n-1）/（n-1）结束过程：

%p a（0）：=0:a（1）：=1:s：=proc（n，k）局部j；s（n，k）：=加法（a（n+1-j*k），j=1.iquo（n，k））；#Joe Riel（joer（AT）san.rr.com），2008年6月23日

%p#更有效，使用欧拉变换：

%p with（numtheory）：a:=proc（n）选项记住；局部d，j`如果`（n<=1，n，（add（add（d*a（d），d=除数（j））*a（n-j），j=1.n-1））/（n-1））结束：

%p序列（a（n），n=0..50）；#_Alois P.Heinz，2008年9月6日

%t s[n_，k_]：=s[n，k]=a[n+1-k]+如果[n<2k，0，s[n-k，k]]；a[1]=1；a[n]：=a[n]=和[a[i]s[n-1，i]i，{i，1，n-1}]/（n-1）；表[a[i]，{i，1，30}]（*_Robert a.Russell_*）

%t a[n_]：=a[n]=如果[n<=1，n，Sum[Sum[d*a[d]，{d，Divisors[j]}]*a[n-j]，{j，1，n-1}]/（n-1）]；表[a[n]，{n，0，30}]（*_Jean-François Alcover_，2014年2月17日，在_Alois P.Heinz_*之后）

%t a[n_]：=a[n]=如果[n<=1，n，和[a[n-j]除数和[j，#a[#]&]，{j，n-1}]/（n-1）]；表[a[n]，{n，0，30}]（*_Jan Mangaldan_，2014年5月7日，在_Alois P.Heinz_*之后）

%t（*first-do*）<<数值微分方程分析`；（*然后*）

%屠夫树计数[30]（*第8版之后，2014年9月16日，Robert G.Wilson第5版*）

%t a[n:0|1]：=n；a[n]：=a[n]=和[ma[m]a[n-k*m]，{m，n-1}，{k，（n-1）/m}]/（n-1；表[a[n]，{n，0，30}]（*_Vladimir Reshetnikov_，2015年11月6日*）

%t项=31；A[_]=0；Do[A[x_]=x*Exp[Sum[A[x^k]/k，{k，1，j}]]+O[x]^j//正常，{j，1，terms}]；系数表[A[x]，x]（*Jean-François Alcover_，2018年1月11日*）

%o（PARI）{a（n）=局部（a=x）；如果（n<1，0，对于（k=1，n-1，a/=（1-x^k+x*o（x^n））^polcoeff（a，k））；polcoff（a，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2002年12月16日*/

%o（PARI）{a（n）=局部（a，A1，an，i）；如果（n<1，0，an=Vec（a=A1=1+o（x^n））；对于（m=2，n，i=m\2；an[m]=和（k=1，i，an[k]*an[m-k]）+极坐标（如果（m%2，a*=（A1-x^i）^-an[i]，a），m-1）；an[n]）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年9月5日*/

%o（PARI）N=66；A=矢量（N+1，j，1）；

%o表示（n=1，n，A[n+1]=1/n*和（k=1，n，sumdiv（k，d，d*A[d]）*A[n-k+1]）；

%o concat（[0]，A）\\ Joerg Arndt_，2014年4月17日

%o（岩浆）N:=30；P<x>：=PowerSeriesRing（Rationals（），N+1）；f:=func<A|x*&*[Exp（Evaluate（A，x^k）/k）：k in[1..N]]>；G:=x；对于[1..N]中的i，G：=f（G）；结束；G000081:=克；A000081:=[0]猫Eltseq（G）；//杰夫·贝利（Geoff（AT）mathems.usyd.edu.au），2009年11月30日

%o（最大值）

%o g（m）：=块（[si，v]，s：0，v：除数（m），对于v do中的si（s：s+r（m/si）/si），s）；

%o r（n）：=如果n=1，则1 else sum（Co（n-1，k）/k！，k、 1，n-1）；

%o Co（n，k）：=如果k=1，则g（n）其他总和（g（i+1）*Co（n-i-1，k-1），i，0，n-k）；

%o临时名单（r（n），n，1,12）/*_Vladimir Kruchinin，2012年6月15日*/

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。列表（genericIndex）

%o a000081=通用索引a000081_llist

%o a000081_list=0:1:f 1[1,0]其中

%o f x ys=y:f（x+1）（y:ys）其中

%o y=总和（zipWith（*）（映射h[1..x]）ys）`div`x

%o h=总和。地图（\d->d*a000081 d）。a027750_低

%o——Reinhard Zumkeller，2013年6月17日

%o（鼠尾草）

%o@CachedFunction

%o定义a（n）：

%o如果n<2：返回n

%o返回加法（除数（j）中d的加法（d*a（d））*a（n-j）（（1..n-1）中j的加法）/（n-1）

%o[a（n）表示n在（31）范围内]#_Peter Luschny_，2014年7月18日，继_Alois P.Heinz之后_

%o（鼠尾草）[0]+[根树（n）.基数（），n在范围（1,31）内]#_Freddy Barrera_，2019年4月7日

%o（Python）

%o从functools导入lru_cache

%o来自sympy导入除数

%o@lru_cache（maxsize=无）

%o def divisor_tuple（n）：#缓存的无序除数元组

%o返回元组（除数（n，生成器=True））

%o@lru_cache（maxsize=无）

%o def A000081（n）：如果n≤1，则返回n

%Y参见A000041（分区）、A000055（无根树）、A000169、A001858、A005200、A027750、A051491、A05149、A093637、A187770、A199812、A255170、A087803（部分总和）。

%A144963的Y行总和_Gary W.Adamson_，2008年9月27日

%Y参考A209397（对数（A（x）/x））。

%Y参考A000106（自我进化）。

%Y列k=1（A033185和A034799）；A008295的k=0列。

%K non，easy，核心，nice，特征

%0、4

%A _N.J.A.斯隆_