%I M0433 N0164#80 2023年8月12日23:00:37

%S 1,1，-2,3，-3,3，-5,7，-6,6，-10,12，-11,13，-17,20，-21,21，-27,34，-33,36，

%电话：-46,51，-53,58，-68,78，-82,89，-104118，-123131，-154171，-179197，-221，

%U 245、-262279、-314349、-369398、-446486、-515557、-614671、-715767、-845920、-9771046、-11481244

%N三阶模拟θ函数f（q）的系数。

%C a（n）=n的偶数秩分区数减去奇数秩的分区数。分区的秩是其最大部分减去部分数。

%D G.E.Andrews，《分割理论》，Addison-Wesley，1976年，第82页，示例4和5。

%D Srinivasa Ramanujan，《论文集》，切尔西，纽约，1962年，第354-355页

%D Srinivasa Ramanujan，《失落的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第17、31页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Vaclav Kotesovec，n，a（n）表，n=0..100000（术语0..1000来自T.D.Noe，随后由Sean a.Irvine修正，2019年4月25日）

%H G.E.安德鲁斯，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2321943“>拉马努扬“丢失”笔记本简介，《美国数学月刊》第86期（1979年），第2期，第89-108页。见第95页。

%H L.A.Dragonette，<A href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1952-0049927-8“>Ramanujan模拟Theta级数的一些渐近公式</a>，Trans.Amer.Math.Soc.，72（1952），474-500。

%H John F.R.Duncan、Michael J.Griffin和Ken Ono，<a href=“http://arxiv.org/abs/1503.01472“>《Unbral Moonshine猜想的证明》，arXiv:1503.01472[math.RT]，2015年。[见f（q）]

%H N.J.Fine，<a href=“http://www.ams.org/bookstore？fn=20&amp;arg1=系列&amp；ikey=SURV-27“>《基本超几何级数及其应用》，美国数学学会，1988年；第55页，等式（26.11），（26.24）。

%小野浩，<a href=“http://www.ams.org/notices/201011/rtx101101410p.pdf“>天才的最后一句话，通知Amer.math.Soc.，57（2010），1410-1419。

%H George N.Watson，<a href=“https://doi.org/10.1112/jlms/s1-11.1.55“>最后一个问题：模拟θ函数的说明，《伦敦数学学会期刊》，11（1936）55-80。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/MockThetaFunction.html“>模拟Theta函数。

%F G.F:1+Sum_{n>=1}（q^（n^2）/Product_{i=1..n}（1+q^i）^2）。

%F G.F:（1+4*Sum_{n>=1}（-1）^n*q^（n*（3*n+1）/2）/（1+q^n））/Product_{i>=1}（1-q^i）。

%F a（n）~-（-1）^n*exp（Pi*sqrt（n/6））/（2*sqert（n））[Ramanujan].-_瓦茨拉夫·科泰索维奇，2019年6月10日

%F G.F.：1-总和{n>=1}（-1）^n*x^n/产品{k=1..n}1+x^k。见罚款，方程26.22，第55页_Peter Bala_，2021年2月4日

%F来自_Seichi Manyama_，2023年5月23日：（开始）

%F a（n）=A340601（n）-A340692（n）。

%F G.F:1+（1/Product_{k>=1}（1-x^k））*求和_{k>=1}（-1）^（k-1）*x^（k*（3*k-1）/2）*（1-x*k）^2/（1+x^k）。（结束）

%e G.f=1+q-2*q^2+3*q^3-3*q^4+3*qq^5-5*q^6+7*q^7-6*q^8+6*q^9+。。。

%pa:=m->系数（级数（（1+4*add（（-1）^n*q^（n*（3*n+1）/2））/

%p（1+q^n），n=1..m））/mul（1-q^i，i=1..m，q，m+1），q，m）：

%p序列（a（n），n=0..120）；

%t系数表[级数[（1+4Sum[（-1）^nq^（n（3n+1）/2）/

%t sgn[P_（*a分区*）]：=

%t签名[

%t排列列表[

%t循环[展平[

%t SplitBy[Range[Total[P]]，（函数[{x}，x>#1]&）/@

%t累加[P]]，长度[P]-1]]]

%t共轭[P_List（*a分区*）]：=

%t模块[{s=选择[P，#1>0&]，i，row，r}，row=长度[s]；

%t表格[r=row；而[s[[row]]<=i，row-->；r、 {i，第一个[s]}]

%t总计[函数[{x}，sgn[x]sgn[共轭[x]]]/@

%t整数分区[#]]和/@范围[20]

%t（*乔治·贝克，2014年10月25日*）

%t a[n_]：=如果[n<0，0，系列系数[Sum[x^k^2/乘积[1+x^j，{j，k}]^2，{k，0，平方@n}]，{x，0，n}]]；（*迈克尔·索莫斯，2015年6月30日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（总和（k=1，平方（n），x^k^2/prod（i=1，k，1+x^i，1+x*o（x^（n-k^2）））^2，1），n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年9月2日*/

%o（PARI）我的（N=60，x='x+o（'x^N））；Vec（1+1/prod（k=1，N，1-x^k）*总和（k=1,N，（-1）^（k-1）*x^（k*（3*k-1）/2）*（1-x^ k）^2/（1+x^）））

%Y其他“三阶”模拟θ函数位于A013953、A053250、A053251、A053525、A053535、A05254、A053255。另请参见A000039、A000199。

%Y参见A340601和A340692。

%K符号，简单，好

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%D ean Hickerson的评论改进了E条目_