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斯托拉斯基-哈伯斯常数

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让b（k）是中的1s数二元的的表达式k个，即二进制数字计数1，给出1，1，2，1，2中，3，1，2,2,3。。。（组织环境信息系统A000120号)对于k=1,2, .... 然后是古怪的 二项式系数 （k；j）哪里0≤j≤k是2^（b（k））（Glaisher 1899，Fine 1947）。这意味着数字属于古怪的第一个元素n个行，共行帕斯卡三角形是

f_n=sum_（k=0）^（n-1）2^（b（k）），
(1)

其前几个项是1、3、5、9、11、15、19、27、29、33。。。（组织环境信息系统A006046号).

这个序列的项由递归给出

fn={3f（n/2），对于n偶数；2f（（n-1）/2）+f（（n+1）/2），针对n奇数
(2)

具有f_0=0和f1=1.的特殊情况n个2的幂表示

f（2^k）=3^k。
(3)
斯托拉尔斯基-哈珀斯常数

从方程式中获得提示(三)，函数f_n（f_n）可以很好地近似为nθ，其中

θ=log_23=（ln3）/（ln2）=1.58496。。。
(4)

（组织环境信息系统A020857号). 此外，f_n/n^θ在0.81附近的最小值和如上图所示，以分形方式在1处达到最大值。斯托拉尔斯基（1977）和Harborth（1977）研究了f_n/n^θ.定义

阿尔法=lim-sup（n->infty）（f_n）/（n^theta）
(5)
贝塔=lim-inf（n->infty）（f_n）/（n^θ），
(6)

其中lim-inf是下确界而lim-sup是这个上确界Stolarsky（1977）表明

1<=α<=1.0520.72<=β<=（9/7）（3/4）θ<=0.815
(7)

并推测

阿尔法=1
(8)
贝塔=（9/7）（3/4）^θ=3θ/7=0.814931
(9)

（Harborth 1977，Stolarsky 1977）。Harborth（1977）随后证明α=1，但正确的值贝塔芬奇称之为斯托拉斯基-哈伯斯常数，等于到β=0.812556.更准确的值是

β=0.81255655901600638769。。。
(10)

（组织环境信息系统A077464号).

Stolarsky HarborthMinima公司

这个常数的值可以通过检查序列来计算

qr=（f（nr））/（nrθ），
(11)

哪里nr（无）由定义n0=1和复发

nr=2n（r-1）+/-1，
(12)

选择符号最小化qr（平方米）.结果点（n_r，q_r）是局部极小值，如上图所示。最初的几个的值（n_r，q_r）是（1，1），（3，5），（5，11），（11，37），（21，103），（43，317），（87，967），…（OEIS）A077465号和A077466号;Harborth 1977）。最小值的二进制表示中的1s数nr（无）然后是1、2、2、3、3、4、5、5、6、6、7。。。（组织环境信息系统A077467号).Harborth（1977）计算贝塔使用严格不等式q（19），但认为“最后，我们说q个来自[q=lim_（r->infty）q_r]可能是的确切值贝塔."

请注意，Harborth的重现性不一定给出累计最小值，因为它将在nr-2型如果函数的值在计算时小于nr-1号机组比nr（无）.因此，给出所有局部极小值的序列是1、3、5、11、21、43、87、171、173，347, 693, 1387, 2775, 5547, 5549, ... （组织环境信息系统A084230号),其中“缺失”术语171、5547。。。已添加回。

另请参见

Batrachion公司,二元的,二项式系数,布兰曼奇功能,数字计数,霍夫施塔特继续10000美元序列,帕斯卡三角,鲁丁·夏皮罗顺序

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工具书类

芬奇，S.R。“斯托拉斯基-哈伯斯常数”§2.16数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第145-151页，2003新泽西州Fine。“二项式系数模素数。”阿默尔。数学。每月 54, 589-592, 1947.Glaisher，J.W。L。“关于素数模的二项式定理系数的余数。”夸脱。数学杂志。 30, 150-156, 1899.Harborth，H.“数字奇数二项式系数。"程序。阿默尔。数学。Soc公司。 62, 19-22,1977R.洪斯伯格。数学宝石II。华盛顿特区：数学。美国协会。，第1页，1976年。金宝，S.H。；哈彻，T.R。；莱利，J.A>；和Moser，M.“解决方案问题E 1288：奇二项式系数。"阿默尔。数学。每月 65,368-369, 1958.Lakhtakia，A.和Messier，R.“自相似序列以及来自高斯和的混沌。"计算机和图形 13, 59-62,1989Lakhtakia，A。；梅西耶，R。；瓦拉丹，V.K。；和瓦拉丹，V.V。“Sierpinski自相似扩展衍生的分形序列垫片。"《物理学杂志》。A类 21, 1925-1928, 1988.麦克罗伊，医学博士。“二进制整数中1的数量：边界和极值属性。”SIAM J.计算。 三, 255-261, 1974.罗伯茨，J.B。“打开二项式系数残差。"加拿大。数学杂志。 9, 363-370, 1957.斯隆，新泽西州。答：。序列A000120号,A006046号/M2445，A020857号,A077464号,A077465号,A077466号,A077467号、和A084230号在“整数序列在线百科全书”中斯托拉尔斯基，英国。“与二项式系数相关的数字和的幂和和指数和平价。"SIAM J.应用。数学。 32, 717-730, 1977.Wolfram，S.“二项式系数几何”阿默尔。数学。每月 91,566-571, 1984.

参考Wolfram | Alpha

斯托拉斯基-哈伯斯常数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“斯托拉斯基-哈伯斯常数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Stolarsky-HarborthConstant.html

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