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第一类斯特林数

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这个签署第一类斯特林数用不同的方式表示秒（n，m）（里尔丹1980年，罗马1984年），S_n^（（m））（Fort 1948，Abramowitz和Stegun 1972），S_n ^m（_n ^m）（约旦，1950年）。阿布拉莫维茨和斯特根（1972年，第822页）总结各种符号约定，这可能会有点混淆（尤其是自未签名的版本S_1（n，m）=|S（n，m）|也是常用的）。签名的斯特林第一类数量秒（n，m）是由返回的箍筋S1[n个,米]在中Wolfram语言,它们在哪里表示S_n^（（m））.

第一类有符号斯特林数秒（n，m）定义为排列属于n个元素，其中精确包含米 置换循环是这个非负的数

|s（n，m）|=（-1）^（n-m）s（n、m）。
(1)

这意味着s（n，m）=0对于m> n个和s（n，n）=1一组相关的数字称为关联的第一类斯特林数。这些和通常的斯特林数第一类是一般函数的特殊情况dr（n，k）它与置换中的圈数有关。

第一类有符号斯特林数的三角形为

1-1 12 -3 1-6 11 -6 124 -50 35 -10 1
(2)

（组织环境信息系统A008275美元). 特殊值包括

s（n，0）=增量（n0）
(3)
s（n，1）=（-1）^（n-1）（n-1）！
(4)
s（n，2）=（-1）^n（n-1）！H_（n-1）
(5)
s（n，3）=1/2（-1）^（n-1）！[H_（n-1）^2-H_（n-1）^（2））]
(6)
s（n，n-1）=-（n；2），
(7)

哪里增量（mn）是克罗内克三角洲,H_n（H_n）是一个谐波数,H_n^（（r））是一个谐波数订单的第页、和（n；k）是一个二项式系数.

这个生成函数对于斯特林数第一种是

sum_（k=0）^（n）s（n，k）x^k=（x） _n（n）
(8)
=（1+x-n）^（（n））
(9)
=n！（x；n）
(10)
=（-1）^nn！（n-x-1；n），
(11)

哪里（x） _n（n）是一个下降阶乘和x^（（n））是升阶乘,

sum_（k=m）^infty（s（k，m））/（k！）x^k=（[ln（x+1）]^m）/（m！）
(12)

对于x<1（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第824页）和

求和（k=1）^（n+1）（-1）^=产品_（k=1）^（n）（1+kx）
(13)
=x^n（1+1/x）n。
(14)

第一类斯特林数满足复发关系

s（n+1，m）=s（n，m-1）-ns（n，m）
(15)

对于1<=m<=n和和恒等式

s（n，m）=sum_（k=m）^nn^（k-m）s（n+1，k+1）
(16)

对于m> =1和

（m；r）s（n，m）=总和（k=m-r）^（n-r）（n；k）s（n-k，r）s
(17)

对于0<=r<=m,哪里（n；k）是一个二项式系数.

第一类斯特林数秒（n，m）与斯特林第二类数字 S（n，m）例如，矩阵（s） _（i，j）和（S） _（i，j）是倒数属于彼此，在哪里（A） _（ij）用表示矩阵（i，j）第个条目艾，j）对于i、 j=1, ...,n个（G.Helms，pers.comm.，2006年4月28日）。

其他公式包括

s（n，i）=总和_（k=i）^（n）总和_（j=0）^
(18)
S（n，i）=总和_（k=i）^（n）总和_（j=0）^
(19)

（罗马1984年，第67页），以及

S（n，m）=sum_（k=0）^（n-m）（-1）^k（k+n-1；k+n-m）
(20)
s（n，m）=sum_（k=0）^（n-m）（-1）^k（k+n-1；k+n-m）
(21)
sum_（l=0）^（max（k，j）+1）s（l，j）s（k，l）=增量_（jk）
(22)
sum_（l=0）^（max（k，j）+1）s（k，l）s（l，j）=增量_（jk）。
(23)
斯特林编号第一种

A类非负的斯特林数的（无符号）版本给出了排列属于n个对象具有米 置换循环（与相反方向上的循环计数为不同的），并且通过取绝对值签名版本的。非负性第一类斯特林数用不同的方式表示

S_1（n，m）=[n；m]=|S（n，m）|
(24)

（格雷厄姆等。1994). 图示S_1（5.1）=24,S_1（5,3）=35,S_1（5,4）=10、和S_1（5,5）=1（迪考）如上图所示。

第一类无符号斯特林数满足

S_1（n+1，k）=nS_1（n，k）+S_1（n，k-1），
(25)

并且可以使用恒等式推广到非整数参数（一种“斯特林多项式”）

（伽马（j+h））/（j^hGamma（j））=sum_（k=0）^（h）（S_1（h，h-k））/（j^k）
(26)
=1+（h-1）h）/（2j）+（h-2）（3h-1）。。。，
(27)

它是渐近级数比率为伽马函数 伽马（j+1/2）/伽马（j）（Gosper，1996年）。

另请参见

第一类关联斯特林数,谐波数,置换,置换循环,第二斯特林数种类,斯特林多项式,斯特林转换

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/StirlingS1/

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《第一类斯特林数》§24.1.3手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第824页，1972年。Adamchik，V.“关于Stirling数和Euler Sums。"J.计算。申请。数学。 79, 119-130, 1997.阿佩尔，P.“整体发展（1+轴）^（1/x）."格伦特·阿奇夫 65, 171-175,1880巴特泽，P.L。和Hauss，M.“Stirling函数第一类和第二类；一些新应用。"以色列数学会议会议记录：近似、插值和可求和，以纪念Amnon Jakimovski在他六十五岁生日（编辑S.Baron和D.Leviatan）。拉马特·甘，以色列：IMCP，第89-108页，1991年。Carlitz，L.“关于一些多项式特里科米。"波尔。联合国。M.意大利。 13, 58-64, 1958.卡利茨，L.“关于诺伦德[sic]多项式的注记B_n^（（z））."程序。阿默尔。数学。Soc公司。 11, 452-455,1960康特，L。高级组合数学：有限和无限扩展的艺术，英文版。预计起飞时间。多德雷赫特，荷兰：Reidel，1974年。康威，J.H。和盖伊·R·K。在这个《数字书》。纽约：Springer-Verlag，第91-92页，1996年。大卫，F.N.公司。；Kendall，M.G。；和Barton，D.E。对称的函数和关联表。英国剑桥：剑桥大学出版社，第226页，1966年。迪考，R.M。“第一个斯特林数善良。"http://mathforum.org/advanced/robertd/stirling1.html.堡垒，T。有限实域中的差分和差分方程。英国牛津：克拉伦登出版社，1948年。R.W.戈斯珀。“看起来很有趣的总和。”math-fun@cs.arizona.edu发布日期：1996年7月24日。古尔德·H·W·。“斯特林数表示问题。”程序。阿默尔。数学。Soc公司。 11,447-451, 1960.格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和Patashnik，O.“斯特林数”§6.1混凝土数学：计算机科学基础，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第257-267页，1994年。M·豪斯。Verallgemeinerte公司斯特林、伯努利和尤勒·扎伦、德伦·安文登根和施奈尔·康弗根特·莱亨für Zeta Funktionen。德国亚琛：Verlag Shaker，1995年。乔丹，C、。微积分有限差分，第三版。纽约：切尔西，1965年。克努特，D.E.博士。“关于符号的两个注释。”阿默尔。数学。每月 99,403-422, 1992.J·里奥丹。安组合分析导论。纽约：威利出版社，1980年。罗马人，美国。这个伞形微积分。纽约：学术出版社，第59-63页，1984年。斯隆，新泽西州。答：。序列A000457号/M4736，A008275美元、和2008年8月06日在“整数序列在线百科全书”中斯特林，J。微分法、微分法和内插序列法无穷大。伦敦，1730年。霍利迪的英文翻译。这个微分法：无限级数求和与插值的论述。1749F.G.特里科米。“一类非正交多项式与拉盖尔有关。"J.分析M。 1, 209-231, 1951.年轻，体育。“伯努利数、欧拉数和斯特林数的同余。”J。编号Th。 78, 204-227, 1999.

参考Wolfram | Alpha

斯特林数第一类

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“第一类斯特林数”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberofFirstKind.html

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