球面谐波是解的角度部分拉普拉斯方程在里面球形的协调其中方位对称性不存在。必须小心识别所使用的符号惯例。在本条目中,作为极坐标(纵坐标),和作为方位(纵向)坐标这是物理学中通常使用的惯例,如Arfken(1985)和沃尔夫拉姆语言(在数学文献中,通常表示纵向坐标和纵坐标)。实现球面谐波在中Wolfram语言作为球面谐波Y[我,米,θ,φ]。
球面谐波满足球面调和微分方程,由拉普拉斯的方程式在里面球面坐标.书写在这个方程式中给出
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(1)
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乘以给予
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(2)
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使用变量分离通过将-从属的常数的部分给出
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(3)
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有解决方案的
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接通电源(三)到(2)给出了-依赖的部分,其解决方案为
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(5)
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哪里,,..., 0, ...,,和是一个相关的勒让德多项式.然后通过组合定义球面谐波和,
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(6)
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标准化的选择应确保
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(7)
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(阿夫肯1985年,第681页)。在这里,表示复共轭和是克罗内克三角洲有时(例如,Arfken1985年)Condon-Shortley阶段 在球谐函数的定义之前。
球面谐波有时被分离为真实的和假想部分,
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(8)
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(9)
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球谐函数服从
哪里是一个勒让德多项式.
球谐函数的积分由下式给出
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(13)
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哪里是一个维格纳3j个-符号(这是相关的到Clebsch-Gordan系数).特殊情况包括
(阿夫肯1985年,第700页)。
上图显示了(顶部),(左下角),以及(右下角)。前几个球面谐波是
根据以下条款编写笛卡尔坐标,
所以
这个分区谐波定义为表单的
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(43)
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这个tesseral谐波那些是吗属于表格
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(44)
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(45)
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对于.这个扇形谐波是属于表格
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(46)
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(47)
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另请参见
关联勒让德多项式,Condon-Shortley阶段,相关系数,拉普拉斯系列,扇形谐波,固体谐波,球面谐波加法定理,球形的调和微分方程,球形的调和闭包关系,表面谐波,Tesseral谐波,矢量球面谐波,分区谐波
相关Wolfram站点
http://functions.wolfram.com/Polynomials/SphericalHarmonicY/,http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/SphereHarmonicYGeneral/
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球面谐波
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“球面调和。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html
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