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矢量球面调和

这个球面谐波可以通过寻找标量功能 磅/平方英寸和一个常数矢量 c（c）这样的话

M（M）=del x（cpsi）
（1）
=psi（del xc）+（del psi）xc
(2)
=（磅/平方英寸）xc
(3)
=-cxdel磅/平方英寸，
(4)

所以

del·M=0。
(5)

现在交换微分的顺序，并利用乘法常数可以在导数内部和外部移动的事实来获得

删除^2M=del^2（cxpsi）
(6)
=del xdel^2（cpsi）
(7)
=del x（cdel ^2磅/平方英寸）
(8)

和

k^2百万=k^2del x（cpsi）
(9)
=del x（ck^2psi）。
(10)

把这些放在一起可以

del ^2M+k ^2M=del x[c（del ^2 psi+k ^2 psi）]，
(11)

所以M（M）满足向量亥姆霍兹差速器方程式如果磅/平方英寸满足标量亥姆霍兹微分方程

del^2psi+k^2psi=0。
（12）

构造另一个向量函数

N=（del xM）/k，
(13)

它也满足向量亥姆霍兹微分方程自从

删除^2N=1/kdel^2（del xM）
(14)
=1/kdel x（删除^2M）
(15)
=1/kdel x（-k^2M）
(16)
=-kdel x米
(17)
=-k^2N，
(18)

它给出了

del^2N+k^2N=0。
(19)

我们有额外的身份

删除xN=1/kdel x（del xM）
(20)
=1/kdel（del·M）-1/kdel·（del M）
(21)
=-1/kdel·（del M）
（22）
=-（200万英镑）/k
(23)
=kM之间。
(24)

在这种形式主义中，磅/平方英寸称为生成函数c（c）被称为导频矢量.生成函数的选择取决于标量方程的对称性，即，选择它来求解所需的标量微分方程。如果M（M）被视为

M=del x（rpsi），
(25)

哪里第页是半径向量，那么M（M）是球坐标系下矢量波动方程的解。如果我们想要与半径向量相切的向量解，

M·r=r·（del psixc）
(26)
=（del psi）·（cxr）
(27)
=0,
(28)

所以

cxr=0
(29)

我们可以采取

c=r
(30)

（Arfken 1985年，第707-711页；Bohren和Huffman 1983年，第88页）。

许多约定正在使用中。希尔（1954）定义

V_l^米=-平方（（l+1）/（2l+1））Y_l^mr^+1/（平方（（1+1）（2l+1）））^^
(31)
宽（_l）^m=平方（l/（2l+1））Y_l^mr^+1/（平方（l（2l+1）））^^
(32)
X_l^米=-M/（sqrt（l（l+1））sintheta）Y_l^mtheta^^-i/（sqert（l（1+1）））（partialY_l*M）/（partialtheta）phi^^。
(33)

Morse和Feshbach（1953）定义了矢量谐波，称为B类,C类、和P（P）使用相当复杂的表达式。

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Arfken，G.《矢量球面谐波》§12.11数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第707-711页，1985J.M.布拉特。和Weisskopf，V.“矢量球面谐波”附录B第1条理论核物理。纽约：威利，第796-799页，1952年。波伦，成本加运费。和D.R.哈夫曼。吸收以及小粒子对光的散射。纽约：Wiley，1983年。希尔，E.H.公司。“矢量球谐理论”阿默尔。《物理学杂志》。 22,211-214, 1954.J.D.杰克逊。经典电动力学，第2版。纽约：Wiley，第744-755页，1975年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H。方法理论物理第二部分。纽约：McGraw-Hill，第1898-1901页，1953

参考Wolfram | Alpha

矢量球面调和

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“矢量球面调和。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/VectorSphereHarmonic.html

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