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球体线拾取


球体线拾取是选择与线段在曲面上具有端点.n个可以在单元在中Wolfram语言使用函数随机点[球体[],{n个, 2}].

在单位球体上随机拾取两个点。第一个可以放在北极,即分配坐标(0,0,1),没有通用性的丧失。然后使用随机选择第二个点点拾取,因此可以指定坐标

x个=sqrt(1-u^2)服装
(1)
年=平方(1-u^2)sintheta
(2)
z(z)=u个
(3)

具有[-1,1]中的uθ(单位:[0,2pi).距离我然后在第一点和第二点之间

 l=平方(x^2+y^2+(z-1)^2)=平方(2-2u),
(4)

并解决u个给予

 u=1/2(2-l^2)。
(5)

现在是概率函数pl(_l)因为距离是由

 P_ldl=P_u|(partialu)/(partiall)|dl=1/2ldl
(6)

(所罗门1978年,第163页),自P_u=1/2du/dl=-l.给,l英寸[0,2].

球体线条

因此,有点令人惊讶的是,与大多数人的直觉相反,远距离是最常见的。上面显示了由15条随机线组成的图。这个未经加工的力矩

 mu_n^'=<l^n>=int_0^2l^nP_ldl=(2^(n+1))/(2+n),
(7)

将前几个作为

mu_1^'=4/3
(8)
mu_2^'=2
(9)
μ3^'=(16)/5
(10)
mu_4^’=(16)/3
(11)

(组织环境信息系统A084623号A000265号). 的值n个为此μ(_n)^'因此是整数n=0, 2, 6, 14, 30, 62, 126, 254, 510, 1022, ... (组织环境信息系统A000918号),这正是价值观n=2^k-2.

这个中心力矩

亩=4/3
(12)
二氧化锰=2/9
(13)
mu_3=-8/(135)
(14)
四氧化二锰=(16)/(135),
(15)

所以方差,偏斜度峰态超越

西格玛^2=2/9
(16)
γ_1=4/5平方米(2)
(17)
γ_2=-5/3
(18)

(所罗门1978年,第163页)。


另请参见

球线拾取,圆形线条拾取,线条拾取,球体点拾取,球体四面体拾取

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新泽西州斯隆。答:。序列A000265号/M2222,A000918号/M1599和A084623号在“整数序列在线百科全书”中所罗门,H。几何概率。宾夕法尼亚州费城:SIAM,1978年。

参考Wolfram | Alpha

球体线拾取

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“球体线拾取。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SphereLinePicking.html

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