当讨论旋转,有两种可能的约定:轴,和旋转对象相对于固定值轴。
在,考虑旋转给定向量的矩阵按逆时针方向角 在固定的坐标系中。然后
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(1)
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所以
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(2)
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这是Wolfram公司语言命令旋转矩阵[θ].
另一方面,考虑矩阵旋转坐标系通过逆时针角度.固定矢量的坐标在旋转坐标系中,现在由旋转给出矩阵,它是转置固定轴矩阵的从上图中可以看出,这相当于旋转矢量以逆时针角度相对于一组固定的轴,给出
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(3)
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这是Arfken(1985年,第195页)等教科书中常用的惯例。
在,的坐标系旋转x个-,年-,和z(z)-轴逆时针方向从原点看矩阵
(戈尔茨坦1980年,第146-147和608页;阿尔夫肯1985年,第199-200页)。
任何旋转可以表示为围绕三个轴旋转的组合(欧拉旋转定理),因此可以用 矩阵在上操作矢量,
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(7)
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我们希望在此矩阵上设置条件,使其与正交变换(基本上,a旋转或不合适的旋转).
在一个旋转,一个矢量必须保持其原始长度,因此必须是真的
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(8)
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对于,2、3,其中爱因斯坦总和正在使用。因此,从变换方程来看,
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(9)
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这可以重新安排为
为了保持这一点,必须是真的
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(13)
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对于,2、3,其中是克罗内克三角洲。这称为正交条件,并保证那个
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(14)
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和
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(15)
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哪里是转置和是单位矩阵.方程式(15)是给出正交矩阵的恒等式它的名称。正交矩阵具有特殊的属性,可以对其进行操作并且特别容易识别。
让和是两个正交矩阵。由正交性条件,他们满意
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(16)
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和
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(17)
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哪里是克罗内克三角洲.现在
所以产品两个正交矩阵也是正交的。
这个特征值正交旋转矩阵的满足以下条件之一:
1.全部特征值是1。
2.一个特征值是1,其他两个是.
3.一个特征值是1,其他两个是共轭复数 表单的 和.
一个正交的矩阵 被归类为适当的(对应于纯旋转)如果
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(24)
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哪里是行列式属于,或不适当(对应可能旋转的反转;旋转不当)如果
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