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Euler参数

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四个参数e_0（电子_ 0）,电子1,电子2、和电子3描述绕任意轴的有限旋转。这个Euler参数定义为

e_0（电子_ 0）=cos（φ/2）
(1)
e（电子）=[电子1；电子2；电子3]
(2)
=n^^sin（φ/2），
(3)

哪里n个^^是单位法向量，是四元数在里面标量向量表示

（e_0，e）=e_0+e_1i+e_2j+e_3k。
(4)

因为欧拉旋转定理表示任意旋转只能由三个参数描述，一个关系必须存在于这四个量之间

e0^2+e·e=e_0^2+e_1^2+e_2^2+e_3^2
(5)
=1
(6)

（戈尔茨坦1980年，第153页）。旋转角度与Euler参数相关

科斯菲=2e_0^2-1
(7)
=e_0^2-e·e
(8)
=e_0^2-e_1^2-e_2^2-e_3^2
(9)

和

n^^sinphi=2ee_0。
(10)

欧拉参数可以根据欧拉角通过

e_0（电子_ 0）=cos[1/2（φ+psi）]cos（1/2θ）
(11)
电子1=cos[1/2（phi-psi）]sin（1/2θ）
(12)
电子2=sin[1/2（phi-psi）]sin（1/2θ）
(13)
电子3=sin[1/2（φ+psi）]cos（1/2θ）
(14)

（戈尔茨坦1980年，第155页）。

使用Euler参数旋转公式成为

r^'=r（e_0^2-e1^2-e2^2-e3^2）+2e（e·r）+（r×n^）sinphi，
(15)

和旋转矩阵成为

[x^'；y^'；z^']=A[x；y；z]，
(16)

其中矩阵元素为

a（ij）=增量ij（e0^2-ekek）+2e iej+2epsilon（ijk）e0ek。
(17)

在这里，爱因斯坦总和已使用，增量（ij）是克罗内克三角洲、和ε（ijk）是置换符号.明确写出，矩阵元素是

a_（11）=e_0 ^2+e_1 ^2-e_2 ^2-e_ 3^2
(18)
a_（12）=2（e_1e_2+e_0e_3）
(19)
a_（13）=2（e_1e_3-e_0e_2）
(20)
a_（21）=2（e_1e_2-e_0e_3）
(21)
a_（22）=e_0^2-e_1^2+e_2^2-e_3^2
(22)
a_（23）=2（e_2e_3+e_0e_1）
(23)
a_（31）=2（e_1e_3+e_0e_2）
(24)
a_（32）=2（e_2e_3-e_0e_1）
(25)
a _（33）=e_0^2-e_1^2-e_2^2+e_3^2。
(26)

另请参见

欧拉角,四元数,旋转公式,旋转矩阵

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阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第198-200页，1985戈德斯坦，H。经典力学，第二版。马萨诸塞州雷丁：艾迪森·韦斯利，1980年。朗道，拉丁美洲。和E.M.Lifschitz。力学，第3版。英国牛津：佩加蒙出版社，1976年。

参考Wolfram | Alpha

Euler参数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Euler参数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EulerParameters.html

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