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旋转矩阵

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当讨论旋转，有两种可能的约定：轴，和旋转对象相对于固定值轴。

旋转矩阵

在R^2（右^2）,考虑旋转给定向量的矩阵第0版按逆时针方向角 θ在固定的坐标系中。然后

R_theta=[costheta-sintheta；sintheta costheta]，
(1)

所以

v^'=R_thetav_0。
(2)

这是沃尔夫拉姆语言命令旋转矩阵[θ].

旋转矩阵轴

另一方面，考虑矩阵旋转坐标系通过逆时针角度θ.固定矢量的坐标v（v）在旋转坐标系中，现在由旋转给出矩阵，它是转置固定轴矩阵的如上图所示，相当于旋转矢量以逆时针角度-θ相对于一组固定的轴，给出

R_theta ^'=[costheta sintheta；-sintheta costheta]。
(3)

这是Arfken（1985年，第195页）等教科书中常用的惯例。

在R^3（参考号：3）,的坐标系旋转x个-,年-,和z（z）-轴逆时针方向从原点看矩阵

R_x（α）=[1 0 0；0 cosalpha sinalpha；0-sinalpha cosalpha]
(4)
Ry（测试版）（_y）=[cosbeta 0-sinbeta；0 1 0；sinbeta 0 cosbeta]
(5)
Rz（伽马）（_z）=[cosgamma-singamma 0；-singamma-cosgamma 0；0 0 1]
(6)

（戈尔茨坦1980年，第146-147和608页；阿尔夫肯1985年，第199-200页）。

任何旋转可以表示为围绕三个轴旋转的组合(欧拉旋转定理),因此可以用3×3 矩阵在上操作矢量,

[x_1^'；x_2^'；x_3^']=[a_（11）a_（12）a_。
(7)

我们希望在此矩阵上设置条件，以便与正交变换（基本上，a旋转或不合适的旋转).

在一个旋转，一个矢量必须保持其原始长度，因此必须是真的

x_i^“x_i ^”=x_ix_i
(8)

对于i=1,2、3，其中爱因斯坦总和正在使用。因此，从变换方程来看，

（a（ij）x（j））（a（ik）x（k））=x（ix）i。
(9)

这可以重新安排为

a（ij）（xja（ik））x k=a（ij）（a（ik）xj）xk
(10)
=a（ij）a（ik）xjxk
(11)
=x_ix_i。
(12)

为了保持这一点，必须是真的

a（ij）a（ik）=增量（jk）
(13)

对于j、 k=1,2、3，其中增量（ij）是克罗内克三角洲。这称为正交条件，并保证那个

A^（-1）=A^，
(14)

和

A^（T）A=I，
(15)

哪里A ^（T）是转置和我是单位矩阵.方程式(15)是给出正交矩阵的恒等式它的名称。正交矩阵具有特殊的属性，可以对其进行操作并且特别容易识别。

让A类和B类是两个正交矩阵。由正交性条件，他们满意

a（ij）a（ik）=增量（jk），
(16)

和

b（ij）b（ik）=增量（jk），
(17)

哪里增量（ij）是克罗内克三角洲.现在

c（ij）c（ik）=（ab）（ij）（ab）_（jk）
(18)
=a是b（sj）a（it）b（tk）
(19)
=a（是）a（它）b（sj）b（tk）
(20)
=增量b（sj）b（tk）
(21)
=b（tj）b（tk）
(22)
=增量（jk），
(23)

所以产品C=AB两个正交矩阵也是正交的。

这个特征值正交旋转矩阵的满足以下条件之一：

1.全部特征值为1。

2.一个特征值是1，其他两个是-1.

3.一个特征值是1，其他两个是共轭复数 表单的 e ^（伊塞塔）和e ^（-itheta）.

一个正交的矩阵 A类被归类为适当的（对应于纯旋转)如果

det（A）=1，
(24)

哪里测定（A）是行列式属于A类，或不适当（对应可能旋转的反转；旋转不当)如果

det（A）=-1。
(25)

另请参见

欧拉角,Euler参数,欧拉旋转定理,旋转,旋转公式 探索此主题在数学世界教室里

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工具书类

阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，1985年。戈尔茨坦，H。经典力学，第二版。马萨诸塞州雷丁：艾迪森·韦斯利，1980年。

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旋转矩阵

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“旋转矩阵。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html

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