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线性递归方程

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线性递归方程是递推方程在上序列个数字中的个{xn}表达x个n作为中的一次多项式x（_k）具有k<n。例如

x_n=轴（n-1）+Bx（n-2）+Cx（n-3）+。。。。
(1)

A类商差表最终生成一行0若（iff）定义了启动顺序通过线性递推方程。

这个Wolfram语言命令线性重复周期[克尔,初始化,n个]给出了长度序列n个用核迭代线性递归得到克尔从初始值开始初始化，其中，例如内核{c1，c2}表示递归关系an=c1a（n-1）+c2a（n-2）初始值为{a_1，a_2，…}.FindLinearRecurrence（查找线性重复）[列表]试图找到生成列表的最小线性递归。周期表[情商,快递,{n个,nmax（最大值）}]生成的值列表快递用于连续n个基于求解指定的递推方程。

下表总结了一些常见的线性递推方程及其相应的解。

重现初始条件解决方案
an=a（n-1）+a（n-2）a_1=a_2=1斐波那契数 表格（_n）
an=a（n-1）+a（n-2）a_1=1,a_2=3卢卡斯数 L_n（L_n）
an=a（n-2）+a（n-3）a_0=a_1=a_2=1帕多万序列 P_n（_n）
an=2a（n-1）+a（n-2）a_0=0,a_1=1佩尔数 n（_P）
an=2a（n-1）+a（n-2）a_0=a_1=2佩尔·卢卡斯数 问题（_n）
an=a（n-2）+a（n-3）a_0=3,a_1=0,a_2=2佩林序列 P_n（_n）

一般二阶线性递推方程

x_n=轴（n-1）+Bx（n-2）
(2)

对于常量A类和B类武断地x_1和x2个有条款

x_1=x_1
(3)
x2个=x_2型
(4)
x_3个=Bx_1+Ax_2
(5)
x4个=Bx_2+ABx_1+A^2x_2
(6)
x5个=B^2x_1+2ABx_2+A^2Bx_1+A^3x_2
(7)
x_6型=B^2x_2+2AB^2x_1+3A^2Bx_2+A^3Bx_1+A^4x_2
(8)
x_7=B^3x_1+4A^3Bx_2+3A^2B^2x_1+3AB^2x_2+A^4Bx_1+A^5x_2。
(9)

因此，任意术语可以写成

x个n=和（k=0）^（n-2）（|1/2（n+k-2）|；k） A^kB^（|_（n-k-1）/2_|）x_1^（[n+k（mod 2）]）x_2^（[n+k+1（mod 2中）]）
（10）
=-（Ax_1-x_2）总和_（k=0）^（n-2）A^（2k-n+2）B^（-k+n-2）（k；n-k-2）+x_1sum_（k=0.）^。
（11）

如果x_1=x_2=1,然后是的闭合表单x个n由提供

xn=（α^nbeta（1-β）-β^nalpha（1-α））/（αbeta（α-beta）），
(12)

哪里阿尔法和β是根的二次的方程式

x^2-Ax-B=0，
(13)
阿尔法=1/2（A+平方（A^2+4B））
(14)
β=1/2（A-sqrt（A^2+4B））。
(15)

如果不是这样x_1=1和x_2=A,解决方案变为

xn=（α^n-β^n）/（α-β）。
(16)

例如斐波那契数 表格（_n）等于1、1、2、3、5、8。。。对于n=1，2。。。，有A=B=1，所以α=（1+sqrt（5））/2和β=（1平方（5））/2，给予

表格（_n）=（[1/2（1+平方（5））]^n-[1/2（1-sqrt（5）
(17)
=（1+平方（5））^n-（1-sqrt（5）^n）/（2^nsqrt（五））。
(18)

Grosjean（1993）讨论了如何将这种“根的幂差”解重写为显式整数形式。

Fibonacci数的广义版本具有递归性

f_n=f（n-1）+f（n-2）
(19)

具有f_1=a和f2=b通过以下方式获得解决方案

f_n=1/2[（3a-b）f_n+（b-a）L_n]，
(20)

哪里F_n（&n）是一个斐波那契数和L_n（L_n）是一个卢卡斯数.

任何序列b（n）满足二项递推方程

b（n）=b（n-1）-b（n-2）
（21）

可以写为

b（n）=b（0）a（n）+[b（1）-b（0）]a（n-1），
(22)

哪里

a（n）=U_n（1/2）
(23)
=2/3sqrt（3）sin（1/3（n+1）pi）
(24)

是中的系数序列麦克劳林系列对于1/Phi_6（x），其中Phi_6（x）是一个分圆的多项式的（组织环境信息系统A010892号)和U_n（z）是一个切比雪夫第二类多项式.

线性二阶递推

f（n+1）=xfn+yf（n-1）
(25)

可以通过“倍率”快速解决

f（n+2）=（x^2+2y）fn-y^2f（n-2），
(26)

“利率提高三倍”

f（n+3）=（x^3+3xy）fn+y^3f（n-3），
(27)

或者，一般来说，“比率k个-tupling”公式

f（n+k）=p_kf_n+q_kf（n-k），
（28）

哪里

第0页=2
(29)
第1页=x个
(30)
p_k（磅）=2（-y）^（k/2）T_k（x/（2isqrt（y）））
(31)
p_（k+1）=xpk+yp（k-1）
(32)

（这里，_k（x）是一个切比雪夫多项式第一类)和

q_0（质量_ 0）=-1个
(33)
问题1=年
(34)
q_k（_k）=-（-y）^k
(35)
q（k+1）=-yq_k（_k）
(36)

（Gosper和Salamin，1972年）。

一般线性三阶递推方程

x_n=轴（n-1）+Bx（n-2）+Cx（n-3）
（37）

有解决方案

x_n=x_1（（α^（-n））/（A+2αB+3α^2C）+（β^（-n-（Ax_1-x_2）（（α^（1-n））/（A+2αB+3α^2C）+（β^（1-n-（Bx_1+Ax2-x_3）（（α^（2-n））/（A+2αB+3α^2C）+（β^（2-n））/（A+2βB+3β^2C）+（γ^（2-n））/（A+2γB+3γ^2C）），
(38)

哪里阿尔法,β,和伽马射线是多项式的根

Cx^3+Bx^2+Ax=1。
(39)

函数的有限线性递归序列

s_i（x）=A_i（x）s_（i+1）（x）+B_i（×），
(40)

哪里i=1,...,r-1号机组,和s_r（x）=h（x）,然后

s_1（x）=|B_1（x）-A_1（x0）0。。。0; B_2（x）1-A_2（x）。。。0; B_3（x）0 1…|；||。。。0; B_（r-1）（x）0 0-A_（r-1）（x）；h（x）0 0。。。1|
(41)

（Mansour 2000）。

另请参见

比奈公式,整数序列,二次图,二次方递归方程,递归方程

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工具书类

R.W.戈斯珀。和Salamin，E.Beeler，M.中的第14项。；戈斯珀，R.W。；和Schroeppel，R。哈克姆。马萨诸塞州剑桥：麻省理工学院人工情报实验室，备忘录AIM-239，第8-9页，1972年2月。http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/recurrence.html#item14.格罗斯让，C.C.公司。在话题一元和多元多项式及其应用：体积专用纪念P.L.切比雪夫（1821-1894）（编辑：T.M.Rassias，高度-米。Srivastava和A.Yanushauskas）。新加坡：世界科学，1993Mansour，T.“避免模式的排列确定（_k）和至少两个模式S_3号机组2000年7月31日。http://arxiv.org/abs/math.CO/0007194.斯隆，新泽西州。答：。顺序A010892号在“整数序列在线百科全书。"

参考Wolfram | Alpha

线性递归方程

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“线性递归方程。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LinearRecurrenceEquation.html

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