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二次映射

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二次映射是二次递归方程式表单的

x（n+1）=a2xn ^2+a1xn+a0。
(1)

虽然一些二次映射可以封闭形式求解（例如，三个可解的的案例后勤地图)，大多数不是。

具有闭式解的二次映射的一个简单示例是

x_n=x_（n-1）^2
(2)

具有x_0=2,有解决方案的x_n=2^（2^n）,其中的前几个条款n=0, 1, ... 分别为2、4、16、256、65536、4294967296。。。（组织环境信息系统A001146号).

另一个例子是高度为“强”的二叉树的数量<=n，由提供

y_n=y_（n-1）^2+1
（3）

具有y_0=1.前几个术语是2、5、26、677、458330、210066388901、44127887745906175987802、，…（OEIS）A003095号)此重复具有“分析”解决方案

y_n=|_c^（2^n）_|，
(4)

哪里

c（c）=经验[sum_（j=0）^（infty）2^（-j-1）ln（1+y_j^（-2））]
(5)
=1.502836801...
(6)

（组织环境信息系统A077496号)和|_x个_|是楼层功能（阿霍和斯隆，1973年）。

第三个例子是数字1的最接近严格欠近似，

S_n=总和_（i=1）^n1/（z_i），
(7)

哪里1<z_1<<z（n）是整数。通过递归给出了解决方案

zn=z_（n-1）^2-z_（n-1）+1，
(8)

具有z_1=2.生成的序列称为西尔维斯特的序列并且具有前几个项2、3、7、43、1807、3263443、10650056950807，…（OEIS）A000058号). 这是一个封闭的解决方案作为

z_n=|_d^（2^n）+1/2_|
(9)

哪里

d日=1/2sqrt（6）exp{sum_（j=1）^（infty）2^（-j-1）ln[1+（2z_j-1）^
(10)
=1.2640847353。。。
(11)

（组织环境信息系统A076393号；Aho和Sloane 1973年，Vardi 1991年，格雷厄姆等。1994).

众所周知的复发

x_（n+1）=x_n^2+c
(12)

这通常被称为“二次映射”，通常不可在闭合形式下求解。这是定义曼德尔布罗特设置.固定点当

x^（（1））=[x^
(13)
（x^（（1）））^2-x^
(14)
x_+/-^（（1））=1/2（1+/-平方（1-4c））。
(15)

第二阶段不动点在以下情况下发生

x（n+2）=x（n+1）^2+c
(16)
=（x_n^2+c）^2+c
(17)
=x_n^4+2cx_n^2+（c^2+c）
(18)
=x_n。
(19)

删除下标并进行因式分解

x^4+2x^2-x+（cx^2+c）=（x^2-x+c）（x^2+x+1+c）=0。
(20)

因此，当

x_+/-^（（2））=1/2（1+/-sqrt（-3-4c））。
(21)

第三阶段不动点在以下情况下发生

x^6+x^5+（3c+1）x^4+（2c+1）x^3+（c^2+3c+1）x ^2+（c+1）^2x+（c^3+2c^2+c+1）=0。
(22)

具有封闭解的二次映射的另一个示例是

a0=（（a_1-4）（a_1+2））/（4a_2）。
(23)

这有解决方案

xn=（r^（2^n）+r^[-2^n）-1/2a_1）/（a_2），
(24)

哪里

r=1/4a_1+1/2x_0a_2+1/4平方（（a_1+4+2x_0a_2）（a_1-4+2x_0a _2））。
(25)

类似地

a_0=（a_1（a_1-2））/（4a\u2）
(26)

有解决方案

xn=（（2r）^（2^n）-1/2a_1）/（a_2），
(27)

哪里

r=1/4a_1+1/2x_0a_2
(28)

（小）。

最一般的二阶二维地图带有原点处的椭圆不动点具有形式

x ^’=xcosalpha-ysinalpha+a（20）x^2+a（11）xy+a（02）y^2
(29)
是^'=xsinalpha+ycosalpha+b（20）x^2+b（11）xy+b（02）y^2。
(30)

地图必须具有行列式共1个，以便地区-保留、减少独立参数的数量从七点到三点。然后，可以通过缩放和旋转将地图转换为标准形式以获得

x ^’=xcosalpha-ysinalpha+x^2α
(31)
是^'=xsinalpha+ycosalpha-x2草甘膦。
(32)

反向映射为

x个=x^'coalpha+y^'sinalpha
(33)
年=-x^'finalpha+y^'colpha+（x^'colha+y^'finalpha）^2。
(34)

这个不动点由提供

x_i^2inalpha+2x_icosalpha-x_（i-1）-x（i+1）=0
(35)

对于i=0,...,n-1个.

另请参见

博格达诺夫地图,赫农地图,朱莉娅·塞特,线性的递归方程,物流地图,洛齐地图,Mandelbrot集合,二次方,二次方程,二次方公式,二次递归方程,递归方程,奇怪吸引器,西尔维斯特序列

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工具书类

阿霍，A.V。和新泽西州斯隆。答：。“一些双指数序列。”小谎。夸脱。 11, 429-437, 1973.芬奇，S.R.公司。“二次递归常数。”§6.10数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第443-448页，2003格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和O.Research的Patashnik问题4.65英寸混凝土数学：计算机科学基础，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1994Little，M.“特殊情况下的新精确解二次图。"http://homepage.ntlworld.com/little_mm/quadrams.html.斯隆，新泽西州。答：。序列A000058号/M0865，A001146号/M1297，A003095号/M1544中，A076393号、和A077496号在“整数序列在线百科全书”中斯普洛特，J.C.公司。“奇怪吸引子的自动生成。”计算&绘图 17, 325-332, 1993. 重印于混乱和分形，计算机图形之旅：高级研究十年汇编（编辑：C.A.Pickover）。荷兰阿姆斯特丹：Elsevier，第53-60页，1998瓦尔迪，I。“所有欧几里得数都是无平方的吗？”电源模块去救援。“§5.1和5.2计算型数学娱乐。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第82-89页，1991

参考Wolfram | Alpha

二次图

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“二次图”。来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/QuadraticMap.html

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