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椭圆Lambda函数

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椭圆λReImAbs
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椭圆lambda函数λ（τ）是一个λ-模块化功能在上定义上半平面通过

λ（tau）=（θ_2^4（0，q））/（θ_3^4（0，q）），
(1)

哪里陶是半周期比率，q个是诺姆

q=e^（ipitau）
(2)

和θi（z，q）是雅可比θ函数.

椭圆lambda函数本质上与反名词，区别在于椭圆lambda函数是半周期比率 陶，而反名词是的函数诺姆 q个，其中q个本身是的函数陶.

它作为Wolfram语言功能模块Lambda[陶]。

椭圆lambda函数λ（τ）满足函数方程

λ（τ+2）=λ（τ）
(3)
λ（τ/（2tau+1））=λ（τ）。
(4)

λ（τ）具有系列扩展

λ（τ）=16q-128q^2+704q^3-3072q^4+11488q^5+。。。
(5)

（组织环境信息系统A115977号)、和16/λ（τ）具有系列扩展

（16） /（λ（τ））=1/q+8+20q-62q^3+216q^5-641q^7+。。。
(6)

（组织环境信息系统A029845号; 康威和诺顿1979年；博尔文和Borwein 1987年，第117页）。

λ^*（r）给出了椭圆模量 千卢比其中互补的K^'（K）=K（平方英尺（1-K^2））和正常完成第一类椭圆积分 K（K）与…相关

（K^'（K_r））/（K（K_r））=sqrt（r），
（7）

即椭圆积分奇异值对于第页.它可以根据

λ^*（r）=k（q_r）=（θ_2^2（0，q_r，
(8)

哪里

q_r=e^（-pisqrt（r））
(9)

和θi是一个雅可比θ函数.λ（τ）与相关λ^*（r）通过

λ^*（r）=sqrt（λ（isqrt（r）））。
(10)

对于所有理性的人第页，K（λ^*（r））和E（λ^*（r））被称为椭圆形积分奇异值，可以用有限数量的伽马函数（Selberg和Chowla，1967年）。值属于λ^*（r）对于小型第页包括

λ^*（1）=1/2节（2）
(11)
λ^*（2）=平方米（2）-1
(12)
λ^*（3）=1/4平方米（2）（平方米（3）-1）
(13)
λ^*（4）=3-2平方米（2）
(14)
λ^*（5）=平方（1/2平方（平方（5）-2））
(15)
λ^*（6）=（2平方米（3））
(16)
λ^*（7）=1/8平方英尺（2）（3平方英尺（7））
(17)
λ^*（8）=（平方码（2）+1平方码（2sqrt（2）+2））^2
(18)
λ^*（9）=1/2（平方（2）-3^（1/4））（平方（3）-1）
(19)
λ^*（10）=（平方（10）-3）（平方（2）-1）^2
（20）
λ^*（11）=1/（12）平方米（6）（平方米（1+2x_（11）-4x_（11^（-1）））
(21)
λ^*（12）=（平方码（3）-平方码（2））^2
(22)
λ^*（13）=1/2（平方米（5平方米（13）-17）-平方米（19-5平方米（14）））
(23)
λ^*（14）=-11-8平方（2）-2（2）平方（5+4平方（2
(24)
λ^*（15）=1/（16）平方米（2）（3平方米（5））（5平方米-3平方米）（2平方米（3））
(25)
λ^*（16）=33+24平方米（2）-4平方米（140+99平方米（二））
(26)
λ^*（18）=（平方（2）-1）^3（2平方（3））^2，
(27)

哪里

x（11）=（17+3sqrt（33））^（1/3）。
(28)

它们的代数阶由2，2，4，2，8，4，4，4,8，4,12,4,8，8, 8, 4, ... （组织环境信息系统A084540号).

下面给出了一些额外的精确值

λ^*（22）=（3平方米（11）-7平方米（2））（10-3平方英尺（11））
(29)
λ^*（30）=（平方英尺（3）-平方英尺（2））^2（2-平方英尺（3））（平方英尺（6）-平方英尺（5））（4-平方英尺（15））
(30)
λ^*（34）=（平方（2）-1）^2（3sqrt（2）-sqrt（17））×（平方（297+72sqrt
(31)
λ^*（42）=（平方（2）-1）^2（2平方（3））^2
(32)
λ^*（58）=（13平方米（58）-99）（平方米（2）-1）^6
(33)
λ^*（210）=（平方（2）-1）^2（2平方（3））（平方（7）-平方（6））^2。
(34)

也可以为rational找到精确的值第页，包括

λ^*（1/2）=平方（2（平方（2）-1））
(35)
λ^*（1/3）=1/2平方米（2+平方米（3））
(36)
λ^*（2/3）=（2平方米（3））（平方米（2）+平方米（三））
（37）
λ^*（1/4）=第二节（第（2）-4节）
(38)
λ^*（3/4）=（x^8+3328x^6+768x^4-8192x^2+4096）_3
(39)
λ^*（1/5）=平方（1/2+平方（平方（5）-2））
(40)
λ^*（2/5）=（平方（10）-3）（平方（2）+1）^2
(41)
λ^*（3/5）=1/4平方米（8+平方米（3/2（23-7平方米（5）））
(42)
λ^*（4/5）=（x^8-280x^7-292x^6-680x^5+2758x^4-680x^3-292x^2-280x+1）_2
(43)
λ^*（2/（29））=（13平方米（58）-99）（平方米（2）+1）^6，
(44)

哪里（P（x））_n是一个多项式根.

λ^*（r）与拉马努詹克-和G函数通过

λ^*（n）=1/2（平方（1+G_n^（-12））
(45)
λ^*（n）=g_n^6（平方（g_n^（12）+g_n^1（-12））-g_n^5）。
(46)

另请参见

Dedekind Eta函数，椭圆Alpha函数，椭圆形第一类积分，椭圆模量，椭圆积分奇异值，反向命名，j个-功能，Jacobi Theta函数，克莱恩的绝对不变量，模块化功能，模块组Lambda，拉马努詹克-和G函数，Weber函数

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/ModularLambda/

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

博温，J.M。和Borwein，P.B。Pi和AGM：分析数理论和计算复杂性研究。纽约：Wiley，第139和298页，1987年。F.鲍曼。介绍椭圆函数及其应用。纽约：多佛，第75、95页，和98，1961年。康威，J.H。和Norton，S.P。“怪物月光。"牛市。伦敦数学。Soc公司。 11, 308-339, 1979.塞尔伯格，A.和Chowla，S.《论爱泼斯坦的齐塔函数》J.reine angew。数学。 227，86-110, 1967.新泽西州斯隆。答：。序列A029845号，A084540号、和A115977号在“整数序列在线百科全书”中沃森，G.编号。“一些奇异模（1）。”夸脱。数学杂志。 三，81-98, 1932.

参考Wolfram | Alpha

椭圆Lambda函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“椭圆Lambda函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EllipticLambdaFunction.html

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