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Ramanujan g-和g-函数

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继拉马努扬（1913-1914）之后，写下

产品_（k=1,3,5，…）^输入（1+e^（-kpisqrt（n）））=2^（1/4）e^
(1)
乘积_（k=1,3,5，…）^infty（1-e^（-kpisqrt（n）））=2^（1/4）e^（-pisqrt（n）/24）g_n。
（2）

这些满足了等式

g（4n）=2^（1/4）g_nG_n
(3)
G（_n）=G_（1/n）
(4)
g_n^（-1）=g（4/n）
(5)
1/4=（g_nG_n）^8（g_n^8-g_n^8）。
(6)

G（_n）和g（名词）可以用理论推导模块化功能当n个是理性的。它们是相关的到Weber函数.

为了简单起见，Ramanujan列出了g（名词）对于n个 即使和G（_n）对于n个 古怪的然而(6)允许G（_n）和g（名词）要解决的问题g（名词）和G（_n），给予

g（名词）=1/2（G_n^8+平方（G_n ^（16）-G_n^（-8））^（1/8）
(7)
G（_n）=1/2（g_n^8+平方（g_n ^（16）+g_n^（-8）））^（1/8）。
(8)

使用(◇) 上述两个方程允许g（4n）根据以下内容计算g（名词）或G（_n）

g_（4n）={2^（1/8）g_n。
(9)

就参数 k个和互补参数 k ^’,

G（_n）=（2k_nk_n^'）^（-1/12）
(10)
g（名词）=（k_n^（'2））/（2k））^（1/12）。
(11)

在这里，

k_n=λ^*（n）
(12)

是椭圆lambda函数，它给出的值为k个对于其中

（K^'（K））/（K（K））=平方英尺（n）。
(13)

解决λ^*（n）给予

λ^*（n）=1/2[sqrt（1+G_n^（-12））-sqrt
(14)
λ^*（n）=g_n^6[sqrt（g_n^（12）+g_n^（-12））-g_n^6]。
(15)

解决G（_n）和g（名词）直接涉及λ^*（n）然后给出

G（_n）=2^（-1/12）[λ^*^2（n）-λ^**^4（n）]^（-1-24）
(16)
g（名词）=2^（-1/12）[1/（λ^*（n））-λ^（n）]^（1/12）。
(17)

的小值的分析值n个可以在拉马努扬（1913-1914）、博尔文和博尔文发现（1987），由魏斯坦编纂。Ramanujan（1913-1914）包含一个印刷体错误标签G_（465）作为G_（265）.

另请参见

巴恩斯G函数,椭圆形匿名函数,Weber函数

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工具书类

J.M.博文。和Borwein，P.B。Pi和AGM：分析数理论和计算复杂性研究。纽约：Wiley，第139和298页，1987年。Ramanujan，S.“模块化方程式和近似值圆周率."夸脱。J.纯粹。申请。数学。 45, 350-372,1913-1914.

参考Wolfram | Alpha

Ramanujan g-和g-函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Ramanujan g-和g-函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Ramanujang-andG-Functions.html

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