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Chi-Squared分布

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如果Y_i（Y）有正常的 独立的带有的分布意思是0和方差1，然后

chi^2=总和_（i=1）^rY_i^2
(1)

分布为卡^2具有第页 自由度.这个生成卡^2分布a伽马分布具有θ=2和α=r/2,哪里第页是的数字自由度.

一般来说，如果chi_i ^2根据卡^2分配第1段,第2段, ...,（_k） 自由度,然后

总和_（j=1）^kchi_j^2
(2)

根据卡^2具有r=总和_（j=1）^（k）rj 度自由.

ChiSquared公司
ChiSquare图

概率密度函数卡^2分配第页自由度由下式给出

P_r（x）=（x^（r/2-1）e^（-x/2））/（伽马（1/2r）2^（r/2））
(3)

对于x in[0，infty）,哪里伽玛（x）是一个伽马函数.累计分布函数是那么

r（chi^2）（_r）=int_0^（chi^2）（t^（r/2-1）e^（-t/2）dt）/（伽马（1/2r）2^（r/2））
(4)
=1-（伽马射线（1/2r，1/2chi^2））/（伽马（1/2 r））
(5)
=（伽马射线（1/2r，1/2chi^2）/（伽马（1/2r））
(6)
=P（1/2r，1/2chi^2），
(7)

哪里伽马（a，x）是一个不完全伽马函数和P（a，z）是一个正则伽马函数.

在沃尔夫拉姆语言作为ChiSquare分布[n个].

对于r≤2,P_r（x）单调递减，但r> =3，最大值为

x=r-2，
(8)

哪里

（dP_r）/（dx）=（（r-x-2）x^（（r-4）/2））/（2^（1+r/2）e^（x/2）伽马（1/2r））=0。
(9)

这个n个第个原始力矩对于具有第页 自由度是

mu_n^’=2^n（伽马射线（n+1/2r））/（伽马（1/2r））
(10)
=r（r+2）。。。（r+2n-2），
(11)

将前几个作为

mu_1^'=第页
(12)
μ2^'=r（r+2）
(13)
mu_3^’=r（r+2）（r+4）
(14)
mu_4^’=r（r+2）（r+4）（r+6）。
(15)

这个n个第个中心力矩由提供

mu_n=2^nU（-n，1-n-1/2r，-1/2r），
(16)

哪里U（a，b，x）是一个合流超几何第二类功能，将前几个作为

二氧化锰=第2轮
(17)
mu_3=8年
(18)
四氧化二锰=12转（r+4）
(19)
μ_5=32转（12+5转）。
(20)

累积量可以通过特征功能

φ（t）=int_0^infty（2^（-r/2）e^（-x/2）x^（r-2）/2））/（伽马（1/2r））dx
(21)
=（1-2it）^（-r/2）。
(22)

采取自然对数双方给出

lnphi=-1/2rln（1-2it）。
(23)

但这只是一个墨卡托系列

ln（1-x）=-sum_（n=1）^infty（x^n）/n
(24)

具有x=2位,因此，从累积量的定义来看

sum_（n=0）^inftykappa_n（（it）^n）/（n！）=1/2rsum_（n=1）^inft（（2it）^ n）/n，
(25)

给出结果

kappa_n=2^（n-1）（n-1！r.（右）。
(26)

因此，前几个是

kappa_1=第页
(27)
卡帕_2=第2轮
(28)
卡帕3=8年
(29)
卡帕4=48岁。
(30)

这个动量生成函数的卡^2分布是

百万吨=（1-2t）^（-r/2）
(31)
R（吨）=百万分之一（吨）
(32)
=-1/2磅（1-2t）
(33)
R^'（吨）=r/（1-2t）
(34)
R^（“”）（t）=（2r）/（（1-2t）^2），
(35)

所以

亩=R^'（0）
(36)
=第页
(37)
西格玛^2=R^（“”）（0）
(38)
=第2轮
(39)
γ_1=2季度（2/r）
(40)
γ_2=（12） /右。
(41)

如果平均值不等于零，则称为卡方分配结果。特别是，如果X _ i是带a的独立变量正常的分布有方法 多（_i）和差异 西格玛_i^2对于i=1, ...,n个，然后

1/2chi^2=总和（i=1）^n（（x_i-mu_i）^2）/（2sigma_i^2）
(42)

遵守a伽马分布具有α=n/2即。，

P（y）dy=1/（伽马（1/2n））e^（-y）y^（（n/2）-1）dy。
(43)

哪里y=chi^2/2.

另请参见

Chi分布,非中心齐次分布,正态分布,Snedecor公司秒F-分布,统计分布

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工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第940至9431972页。Beyer，W.H。CRC公司标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第535页，1987J.F.肯尼。和Keeping，E.S。“Chi-Square分发。“§5.3数学《统计学》第2部分第2版。新泽西州普林斯顿：Van Nostrand，第98-100页，1951出版社，W.H。；弗兰纳里，B.P。；Teukolsky，S.A。；和韦特林。“不完整Gamma函数，误差函数，Chi-Square概率函数，累积泊松函数。“§6.2数字的FORTRAN:科学计算的艺术，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第209-2141992页。明镜，M.R。理论概率统计问题。纽约：McGraw-Hill，第115-116页，1992.

参考Wolfram | Alpha

Chi-Squared分布

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“奇方分布。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Chi-SquaredDistribution.html

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