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伽玛分布


伽马分布

伽马分布是统计分布β分布并且在等待时间间隔为泊松分布式的事件是相关的。伽马分布有两个自由参数,标记阿尔法θ,其中一些在上面进行了说明。

考虑一下分布函数 D(x)等待时间,直到小时给定的第个泊松事件泊松分布以一定的变化率λ,

D(x)=P(X<=X)
(1)
=1-P(X>X)
(2)
=1-sum_(k=0)^(h-1)((λx)^ke^(-lambdax))/(k!)
(3)
=1-e^(-lambdax)和_(k=0)^(h-1)((lambdax)^k)/(k!)
(4)
=1-(伽玛(h,xlambda))/(伽马(h))
(5)

对于x in[0,infty),哪里伽马(x)是一个完整的伽马函数、和伽马(a,x)一个不完整的伽马函数。使用小时整数,此分布是一种特殊情况,称为Erlang分布.

相应的概率函数P(x)等待时间,直到小时然后通过微分得到第个泊松事件D(x),

P(x)=D^'(x)
(6)
=λ^(-lambdax)和(k=0)^(h-1)
(7)
=羔羊科^(-lambdax)+羔羊科
(8)
=羔羊科^(-lambdax)-lambda(-lammbdax)sum_(k=1)^(h-1)[(k(lambdax
(9)
=λ^(-lambdax){1-sum_(k=1)^(h-1)[(lambdax)^
(10)
=羔羊科^(-lambdax){1-[1-((lambdax)^(h-1))/((h-1!)]}
(11)
=(λ(λ)^(h-1))/(h-1!)e ^(-lambdax)。
(12)

现在让我们α=小时(不一定是整数)并定义θ=1/λ是两次更改之间的时间。然后是上面的可以写出方程式

 P(x)=(x^(α-1)e^(-x/theta))/(γ(α)θ^α)
(13)

对于x in[0,infty).这是伽马分布的概率函数分布函数为

 D(x)=P(α,x/θ),
(14)

哪里P(a,z)是一个正则伽马函数.

它在Wolfram语言作为函数伽马分布[阿尔法,θ].

这个特征函数描述这个分布是

φ(t)=F_x{(x^(-x/θ)x^[α-1))/(γ(α)θ^α)[1/2(1+sgnx)]}(t)
(15)
=(1-ittheta)^(-alpha),
(16)

哪里F_x[F](t)傅里叶变换带参数a=b=1、和动量生成功能

百万吨=int_0^infty(e^(tx)x^(alpha-1)e^
(17)
=int_0^infty(x^(alpha-1)e^(-(1-thetat)x/theta)dx)/(γ(alpha)theta^alpha。
(18)

给出大约0的时刻

 mu_r^'=(θ^rGamma(alpha+r))/(Gamma
(19)

(帕普利斯1984年,第147页)。

为了明确地找到力矩使用动量生成函数,

年=((1-θ)x)/θ
(20)
第y天=(1-θ)/θ,
(21)

所以

百万吨=int_0^infty(θ)/(1-θ))^(α-1)(e^(-y))/(γ(α)θ^α)(θy)/(1-thetat)
(22)
=1/((1-thetat)^alphaGamma(alpha))int_0^inftyy^(alfa-1)e^(-y)dy
(23)
=1/((1-θ)^α),
(24)

给出对数力矩产生功能作为

R(吨)=-alphaln(1-θ)
(25)
R^'(吨)=(字母θ)/(1-θ)
(26)
R^(“”)(t)=(字母θ^2)/((1-θ)^2)。
(27)

这个意思是,方差,偏斜度,峰态超越那么是

亩=字母θ
(28)
西格玛^2=字母θ^2
(29)
γ_1=2/(平方(α))
(30)
γ_2=6/α。
(31)

伽马分布与其他统计分布密切相关。如果X_1型,X_2型,...,X(_n)是具有参数的伽马分布的独立随机变量(字母1,θ),(字母2,θ)。。。,(字母n,θ),那么总和_(i=1)^(n)X_i以带参数的伽马分布

阿尔法=sum_(i=1)^(n)alpha_i
(32)
θ=θ。
(33)

此外,如果X_1型X_2型是具有参数的伽马分布的独立随机变量(字母1,θ)(字母2,θ),那么X_1/(X_1+X_2)是一个β分布随参数变化(字母_1、字母_2)两者都可以推导如下。

 P(x_1,x_2)=1/(γ(α_1)γ(α_2))e^(x_1+x_2)x_1^(α_1-1)x_2^(alpha_2-1)。
(34)

 u=x_1+x_2 x_1=紫外线
(35)
 v=(x_1)/(x_1+x_2)x_2=u(1-v),
(36)

然后雅可比(Jacobian)

 J((x_1,x_2)/(u,v))=| v u;1-v-u |=-u,
(37)

所以

 g(u,v)dudv=f(x,y)dxdy=f(x,y)ududv。
(38)
g(u,v)=u/(γ(α_1)γ(α_2))e^(-u)(uv)^(α_1-1)u^(γ_2-1)(1-v)^(α_2-1)
(39)
=1/(γ(α_1)γ(α_2))e^(-u)u^(α_1+α_2-1)v^(alpha_1-1)(1-v)^(alpha_2-1)。
(40)

总额X_1+X_2因此具有分布

 f(u)=f(x_1+x_2)=int_0^1g(u,v)dv=(e^(-u)u^(α_1+α_2-1))/(伽玛(α_1+α_2)),
(41)

这是伽马分布,以及比率X_1/(X_1+X_2)有分布

小时(v)=h((x1)/(x1+x2))
(42)
=int_0^输入(u,v)du
(43)
=(v^(α_1-1)(1-v)^(alpha_2-1))/(B(alpha_1,alpha_2)),
(44)

哪里B类β函数,这是一个贝塔分布.

如果XY(Y)伽马变量是带参数的吗字母_1α_2,的X/Y是一个变量贝塔素数分布带参数字母_1α_2.让

 u=x+y v=x/y,
(45)

然后雅可比(Jacobian)

 J((u,v)/(x,y))=|1 1;1/y-x/(y^2)|=-(x+y)/(y*2)=-((1+v)^2)/u,
(46)

所以

 dxdy=u/((1+v)^2)dudv
(47)
g(u,v)=1/(γ(α_1)γ(α_2))e^(-u)((uv)/(1+v))^(α_1-1)(u/(1+/v))(α_2-1)u/((1+v)^2)
(48)
=1/(γ(α_1)γ(α_2))e^(-u)u^(α_1+alpha_2-1)v^(alpha_1-1)(1+v)^(-alpha_1-alpha_2)。
(49)

比率X/Y因此有分布

 h(v)=int_0^输入(u,v)du=(v^(alpha_1-1)(1+v)^(-alpha_2))/(B(alpha_1,alpha_2)),
(50)

这是一个β素数分布带参数(字母_1、字母_2).

伽马分布的“标准形式”如下所示y=x/θ,所以dy=dx/θ

星期五=(x^(α-1)e^(-x/θ))/(γ(α)θ^α)dx
(51)
=(θ天)^(α-1)e^(-y))/(γ(α)θ^α)(θ天)
(52)
=(y^(α-1)e^(-y))/(伽玛(α))dy,
(53)

所以力矩大约有0个

数字(_r)=1/(γ(α))int_0^inftye^(-x)x^(α-1+r)dx
(54)
=(伽马射线(α+r))/(伽马(α))
(55)
=(α)_r,
(56)

哪里(α)_rPochhammer符号. The力矩关于mu=mu_1那么是

mu_1=阿尔法
(57)
二氧化锰=阿尔法
(58)
mu_3=2阿尔法
(59)
四氧化二锰=3α^2+6α。
(60)

这个动量生成函数

 M(t)=1/((1-t)^α),
(61)

累积生成函数

 K(t)=alphaln(1-t)=α(t+1/2t^2+1/3t^3+…),
(62)

所以累积量

 kappa_r=alphaGamma(r)。
(63)

如果X是一个正常的用…变化意思是 亩标准偏离 西格玛,然后

 Y=((X-mu)^2)/(2sigma^2)
(64)

是带参数的标准伽马变量α=1/2.


另请参见

Beta分布,Chi-Squared公司分销,Erlang分布

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Beyer,W.H。CRC标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第534页,1987Jambunathan,M.V.医学博士。“Beta和Gamma的一些特性分配。"安。数学。斯达。 25, 401-405, 1954.帕普利斯,答:。概率,随机变量和随机过程,第二版。纽约:McGraw-Hill,第103-104页,1984年。

参考Wolfram | Alpha

伽马分布

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“伽马分布。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GammaDistribution.html

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