令我担忧的是，随着我进入领导岗位，我得到的教学机会越来越少。因此，我很高兴能在索尼娅·科瓦列夫斯基日巴纳德学院。城市议会青年妇女数学与科学研究所的整个九年级学生都参加了这次活动，大约四分之一的学生在我的班上。由于一些原因，这是一次富有挑战性的演讲。首先，学生们没有选择去那里，对数学也没有特别的兴趣。此外，我觉得除了做一次有趣的数学演讲之外，做更多的事情也很重要。我想让学生们真正学到一些能帮助他们在学校学习数学的东西。
我选择的主题是“Does 0.9999…=1？”我这样做有几个原因：
- 我可以在开始时提出一个有趣的问题，让学生思考并提出想法。
- 我可以根据学生的背景改变讨论的级别。在一端，我总是可以后退到1/3=0.3333……，将两边乘以3，得到1=0.9999……（忽略如何乘以无限小数的问题）；在另一端，我可以谈论无限几何级数和收敛（尽管这不太可能）。在中间，我可以谈谈你是如何证明一般情况的，给出一个系列的整体概念，并谈谈收敛意味着什么。
- 我将能够强调“数学有意义”的思想，即不同的数学片段组合在一起，以相同的方式工作，我还能够加强基本的数学技能。这与组合博弈论这样的话题相反，在组合博弈论中，我可以谈论逻辑推理，但无法将其与他们已经看到的内容联系起来，也无法建立他们理解数字的能力。
我首先做了自我介绍，让所有的女孩告诉我她们的名字。我问起他们乘坐地铁去巴纳德的事，总的来说，我试着与他们建立一些联系，并表现得友好一些。然后我提出了一个问题“0.9999…=1吗？”我回答了一些问题（“9以上的横线意味着什么？”）并进行了民意测验。一些人认为不，一些人认为是，一些人说他们不确定。太棒了！
接下来，我请学生解释为什么他们是平等的或是不平等的。我有一些想法，但没什么深刻的。我知道在内心深处，学生们都在努力思考这个问题的含义，所以我直截了当地问他们，这个问题意味着什么？我得到了一些不太有启发性的答案。
现在是时候真正帮助他们理解这个问题了。“=是什么意思？”我问道（并在黑板上写下）。我们讨论了平等的概念一段时间，并给出了相等事物的例子（1=1，1/4=0.25，2+3=1+4）；我的部分目标是强调=表示“与”相同，而不是“是操作的结果”。我问他们x+3=2x，在决定只有x=3才是真的之前，我们进行了一些辩论（我仍然不确定他们是否知道）；然后，在决定是之前，我们对x+x=2x进行了更多的辩论。尽管我曾希望在大多数代数问题中加倍强调=的含义和隐藏的量词，但回顾过去，我意识到这可能会使画面变得混乱，而不是起到帮助作用。
当我觉得他们理解=时，我问了1是什么意思（简单地说，尽管我希望我有时间多谈谈），然后我问了0.9999…是什么意思。我最终在讨论中偏离了主题，这没关系，但我希望我能在“现在是9/10+9/100+9/1000+……”这一点上多加了解。
相反，我们最终讨论了0.3333……是什么。他们中没有人认识到它是1/3，这让我感到非常惊讶。好的，是时候谈谈0.3333…
我们花了一些时间讨论如何将小数转化为分数，但很快得出结论，你不能直接将0.3333……转化为分数；333333…/100000…毫无意义。所以我建议查看0.3、0.33、0.333、0.3333等等。我再次感到有点惊讶：他们似乎没有直觉认为这些数字实际上非常接近。所以，是时候拿出一条数字线来画出来了。
我问，0.3在哪？只有一个女孩知道怎么把它挂起来；她知道0.1、0.2、……、0.9的间距相等，所以她得出0.3。但当被问及0.33时，她不知道。所以我们花了一些时间讨论了0.3是3/10，以及如何求3/10（把数字线分成10分之一；有1/10，现在我们想要三个，所以我们到这里来）。然后我们决定0.33是33/100，我们讨论了将数字线分成100段。然后我们看到0.333是333/1000，我们讨论了将数字线分成1000段。（实际上我非常喜欢这一部分，因为它需要一定的抽象才能将数字线分割成许多部分！）
然后我问：“好的，0.333333333在数字线上的位置在哪里？”学生们真的不知道其他数字会是正确的。有些人认为这真的很遥远！其他人认为这将接近于0；一个最初的假设是，当你加上3s时，数字越来越接近0。最终，我让他们把它写成了一个分数：3333333333/1000000000。我问他们这一分数在数字线上的什么地方，还是不知道。（虽然他们觉得很有趣，也许甚至印象深刻，因为我能滔滔不绝地说出“三十三亿三千三百三十三”。）最终，我们意识到这一部分与其他人很接近，尽管我仍然不确定他们是否都相信。我最后解释说，如果我愿意给你那么多美元，我会给你34美分，然后你会欠我一些钱！这似乎有助于他们理解这一点，我们简要讨论了如何用这个“诡计”欺骗某人。给我未来的自己一个提示：给出5000000000/10000000的例子；尽管数字很大，但应该更容易看出，这只是1/2。
在某一点上，我们注意到这些数字接近1/3，尽管他们中的许多人没有直觉知道1/3在数字线上的位置。然后我们讨论了如何将1/3转换为十进制，我将3除以1，这时他们中的一些人意识到有以前见过这个。也就是说，回想起来，我意识到我没有强调分数是因此失去了一些学习机会。
在本次讨论中，我们还得到了1/9=0.1111……，但仍然没有深入了解0.9999…。我让他们发现1/9=0.1111……和1/3=0.3333……之间的关系，在这两种情况下，你都可以乘以3从一个到另一个。然后我们看到1/3乘以3等于1，0.3333…乘以3等于0.9999…。在这一点上，我试着不做进一步的暗示，尽管一切都准备好了，但这门课还是偏离了正轨，认为他们可以在0.9999中“添加”一些东西……以得到1。（如果他们不同，这是一个非常好的理论，我希望我能更多地强调这一点。我们花了一些时间讨论了如果加1，如果加1/2，如果加0.1，0.01，0.001等等会发生什么；我希望我有更多的时间让他们自己做这件事。）有点困惑，我做了一个民意测验。几乎所有人现在都相信0.9999……不等于1！
最终，我让我们回到了正轨，有人建立了神奇的联系，一个学生意识到，因为1/3乘以3等于1和0.9999……，它们必须相等。这一部分本可以使用更多的讨论，将其与平等联系起来，但我们真的很缺乏时间。我以一个图形参数作为结束，并用总和1+1/2+1/4+1/8+1/16+……来吸引他们，然后我们就完成了。
最后，全班都很投入，精力充沛，但缺乏基本事实，他们真的很挣扎。我认为，在我们前进的过程中，我并没有把所有人都带到我身边，课堂也没有像我希望的那样以学生为主导，因为在这种情况下很难让他们前进。事实上，我对演讲本身很满意，我希望继续完善它，并找到让每个人都能看到的方法。
然而，我被提醒，学校里的学生缺乏多少。当学生们没有充分的数字意识来理解数字线上的事情是如何进行的时，坚持让学生们学习代数并超越代数，这似乎给他们带来了极大的伤害，我希望我们能找到一种方法，让老师们与他们一起解决这些基本的挑战。否则，他们将不断地被迫记住程序，他们永远不会理解自己为什么要这么做。
