等号是一个复杂而微妙的工具。你可能不会这么想，但它很深。它很难学习、使用和理解。
我在教微积分课时第一次理解了这个挑战。我有两个表达式，比如（x–2）（x+3）（x–7）和（x–2中）^3–x+50，我们的目标是证明它们是相等的。我取了一个，并将其简化为x^3–6x^2–13x+42，一个分布在黑板上的等号链。我取了另一个，并将其简化为相同的内容。所以我自豪地宣布他们是平等的，多亏了我的木板作业的魔力，这两个完全相同的表达方式终于并排出现了。我在它们之间画了一个等号，创建了一个连接两个原始表达式的巨大等号链。我认为这是一个非常聪明的演示。
他们没有明白。
我以前听说这可能是一个挑战。他们都在小学接受过5+2=？这样的问题的训练？。他们认为平等意味着手术的结果，这就是为什么他们觉得随意使用它很舒服。（你知道这是什么样子：要求计算“五平方加二”，他们写下5^2=25+2=27。）
然后，我想是时候纠正这种误解了。所以我长篇大论地谈到了他们是如何在等号上被不幸地误会的。这实际上意味着两件事是同一件事！我指着（x–2）（x+3）（x–7）=（x–二）（x^2–4x–21）说：“这两件事是一样的！”然后我指着（x-2）（x^2–2x–21，第二个与第三个相同，第一个和第三个必须相同，并且是尖锐的。我继续阅读所有等号，直到我发现等号对侧的两个事物是相同的。我讨论了为什么我不喜欢他们解决问题的方式，比如“五平方加二”。我为自己的即兴创作感到骄傲，但不知何故，学生们似乎并没有像我所希望的那样有一个伟大的实现时刻（并为他们的数学罪恶忏悔！）。
我再说一遍：等号是一个复杂而微妙的工具。尽管我有演讲技巧，但我未能更深入地理解平等的所有可能用途。至少有四种：
- 作为操作的结果（在学校中使用，但从数学角度来看是错误的）。
- 声明两个事物始终相等，如4（x+2）=4x+8。这是一个等价有一个隐藏的全称量词。
- 声明对于x的正确值，两个值相等，如4x+2=3x+9。（通过明确地说“找到x以便……”，这与前一个例子消除了歧义。对于一个数学老练的读者来说，很明显，这是相同的=号，只是先用存在量词。这对于刚刚学习数学的人来说并不清楚。）
- 作为定义，例如f（x）=3x^2–4x。
如果没有任何明确的指导，我们希望学生能够认识到这些不同的情况。识别量词和定义，而不讨论“等于”的真正含义。所有这些都是在学习如何“解决”这些问题的同时进行的。也没有讨论等式的其他微妙之处：对称性、及物性、自反性。
这里还嵌入了这样一种理解，即两件事可以看起来完全不同，也可以是同一件事，可以是相等的。30/3和10是同一数字的不同表示。7+3和5+5都是相同数字的不同表示。所有这些都是平等的！当x=5时，它们也等于2x。光有数学符号是不够的；必须用附近的单词来解释它们。
更糟糕的是，等号的使用在不同的设置中被混淆了。例如，假设您试图找到一个x，这样4x+2=（x+2）^2。你可以写（x+2）^2=x^2+4x+4。你的一个等号只对少数x值成立；另一个等号对x的所有值都成立，这都是在同一个数学问题中。想象一下，如果你写4x+2=（x+2）^2=x^2+4x+4，会是多么令人困惑！
在定义函数时也可能发生同样的情况。你可以说“让f（x）=（x+2）^2=x^2+4x+4”。在一行中，等号有两种不同的用法。
就我个人而言，=的这些用法都是一样的，源自同一个定义。然而，对于一个刚刚学习代数的学生来说，有一层层的微妙之处，必须明确地加以解决，否则学生将无法真正理解他们正在做的数学。
