月份：2011年9月

为什么是数学？它有什么作用？我们为什么要教给学生？这个问题的答案大致有三大类：

1. 它很有用。需要数学在日常生活和工作中如果没有良好的数学教育，你就无法获得优秀的职业生涯。在这个愿景中，数学课程的设计应该是教授特定的知识和技能。
2. 它训练你思考。数学提出了深刻而抽象的问题。解决这些问题的能力可以全面增强你的批判性思维能力。在这个愿景中，数学课程的设计应该建立抽象概念并提出具有挑战性的问题。（警告：可能有一些研究表明，数学中的批判性思维不会转移到其他学科。）
3. 它很漂亮。数学很好；它应该被探索和享受。这是人类的伟大成就之一，每个学生都应该有机会欣赏和理解它。

我深信这三点。忽视其中任何一个都是危险的。如果你设计了一个探索纯数学和应用数学之美、构建抽象思维并提出深层次问题的课程，那么你很容易同时满足这三个标准。但如果你忽视其中一个，数学就会受到影响。

正是因为这个原因，我才没有那么着迷洛克哈特的哀悼和我的许多数学家同行一样。洛克哈特的《哀悼》有力而雄辩地描述了为什么数学是美丽的我非常同意洛克哈特对数学之美的所有观点。然而，当他提议将所有教学都扩展到唯美的目标时，我认为结果既危险又不现实。（洛克哈特后来写了一篇澄清他不是要提出建议，也不是要暗示纯粹数学和应用数学之间的二分法；尽管他放弃了拉蒙特所说的话，但它很清楚地表明了自己的观点，这也是数学家之间正在传递的东西。）

只为美而教学是危险的，因为如果没有遇到具体的内容，学生就不会学习对他们的生活很重要的数学。那些不追求数学职业的人将没有工具来管理自己的生活或解释周围的世界，而那些追求数学职业者将发现自己没有必要的工具。此外，并不是每个人都因为同样的原因觉得数学很美。有些人觉得它很美，因为它的应用和与物理世界的关系。有些人可能觉得数学一点也不美，我不认为这是一个失败。正如我不特别喜欢歌剧，也不想让别人强迫我欣赏它一样，我也不想强迫别人欣赏数学。

仅仅为了美而教学是不现实的，因为我们根本没有能够纯粹为了美而教授数学的教师队伍（正如洛克哈特所指出的那样）。此外，即使老师是要做到这一点，如果每个老师都在没有指导的情况下设计自己的课程，那么课堂上就会挤满背景知识迥异的学生，设计连贯的课程是不可能的。

Paul Lockhart在圣安学校纽约市一所私立学校，学费超过30000美元/年。它有一个以艺术为重点的自由形式的课程（有许多艺术家的孩子参加）。这是一所很棒的学校，是洛克哈特自我描述的教学风格的理想之选，我认识那里的几位老师，他们都是非常杰出的人。然而，将这种经验推广到所有K-12教育中，既不明智也不真实。

最后，我认为有可能构建一个结合了上述（1）-（3）点的学校数学课程。我们不应该以牺牲另一个为代价来关注一个；相反，我们应该看到他们能够共同合作的奇妙方式。洛克哈特的文章很好地展示了数学美在教学中的力量。现在，数学家之间的讨论应该超越这一令人满意的悲叹，转而纳入全部的数学方面。

洛克哈特（Lockhart）在对批评者的后续/回复中写道：“我的观点是，目前我们既没有浪漫主义也没有实用性——除了伪主题词汇、符号和无意识程序的混乱扭曲。”对此我完全同意。由于他提出的解决方案和成功措施，我还没有做到。

以下哪一项是关于地下铁路？

1. 这是一节传统课，其中介绍了地下铁路的背景，介绍了故事中的主要角色，解释了当时的政治，并介绍了逃亡奴隶获得自由的条件。
2. 在四分之一的教室里，让学生们烤饼干，这是地下铁路上常见的主食，以便了解逃跑的奴隶做了什么和吃了什么。
3. 给十年级的学生提供地下铁路的原始文件，他们用这些文件来得出关于地下铁路的结论并进行辩论（就像真正的历史学家一样）。
4. 进行课堂讨论，向学生提问，以激发他们对地下铁路内生活的理解。逃跑的奴隶是如何获得食物的？他们是如何准备的？他们是如何支付的？收容逃跑奴隶的人可能会有什么后果？等等。

简单的回答：（1）如果你需要传递大量知识，听起来不错，但很无聊。好的讲座会传递事实以及这些事实之间的联系，它会建立重要的神经联系，帮助学生记忆和处理数据。

选项（2）毫无意义。学生们将花时间思考测量面粉，而不是地下铁路。（数学老师，记下——这也发生在你的课堂上！）

选项（4）很好。它促使学生反思所学内容，并引导他们在主题之间建立联系。通过对每一项进行真实思考，并将其与他们可能知道的有关这段时间的其他事实联系起来，他们的总体理解将大大加强。

在他那本引人入胜的书中为什么学生不喜欢学校？丹尼尔·威林厄姆（Daniel Willingham）认为，除非你的目标是培养学生的兴奋感，否则选项（3）是错误的。但是……当然不是，你说！这不是什么吗真实的历史学家怎么办？如果历史课是关于分析真实的文件，那么这会不会更深入地吸引学生的注意力，并向他们展示这个领域的真实情况？

威林厄姆说，情况并非如此。这种练习要求学生像专家一样思考。然而，他表示，专家的认知与非专家有着根本的不同。方法如下：

• 专家根据功能或深层结构进行思考，而新手则根据表面特征进行思考。例如，假设您要求新手和专家棋手记住棋盘。当更换木板上的碎片时，新手会按照木板上的位置将它们一块一块地放下来。专家级玩家会把它们放在由功能部件组成的一堆堆中，这些功能部件相互威胁，即使在棋盘的不同一端，它们也会一下子全部倒下。
• 专家们对深层结构的关注使他们能够忽略不重要的细节，并立即看到有用的信息。
• 专家们的程序基本上是通过反复练习自动完成的，因此他们可以执行这些程序/思维模式，而无需新手的脑力负担。

Willingham随后指出，成为专家需要10000小时的练习。他反思了在科学博览会上，学生们大量炮制出基本上无用的科学实验，实验设计中存在着巨大的缺陷，而他们对此一无所知。此外，对于这项特殊的历史练习，学生们几乎没有背景知识来建立有用的联系；它们永远不会深入到深层结构中，而是停留在文档的表面特征上。

我一直在思考这样一个观点：我们不应该挑战学生像专家一样思考。

一方面，当我看我教的课时，我不要通常鼓励学生像专家一样思考。我并不是要求学生在我的数学课上发现新的数学，我有充分的理由认为大多数发现问题都不鼓励反思性实践。

另一方面，我不相信10000小时的说法，因为它没有考虑为什么？有人会花一万个小时下棋。他们这样做可能只是因为他们看到了游戏的一些深层结构，这激发了他们想要进一步探索它。有些人决定追求一个主题是一个复杂的因素相互作用的结果。要成为专家，你需要感觉自己已经走上了这条轨道。因此，如果我们想让学生追求专业知识，我们必须有时向他们挑战，以实现这一目标，并让他们体验专家的思维方式。

而且，科学公平的结论对我来说似乎完全错误。仅仅因为学生做得不好并不意味着做它没有价值！

这让我得出结论：挑战学生像专家一样思考，但很少和明智。选项（3）是适当的，但只有在学生建立了足够的地下铁路背景知识，并且有联系和背景可供借鉴之后。如果你能在历史的这方面积累足够的经验，学生才能使用这些文件，然后他们可能会得出一些新的结论，并从经验中学习。但大多数课程都不能这样安排，否则学生在上下文中设置文档所需的基本连接将永远没有时间发展。

昨天，《纽约时报》文章作者：Paul Tough。引用纽约市中学KIPP章程的学术成就，该章程为低收入学生取得了优异的考试成绩和让他们进入选择性的私立学校，文章接着展示了KIPP毕业生中仍然只有33%获得了大学学位。（令人震惊的事实是：据文章称，全国只有31%的中学毕业生获得了大学学位。）KIPP创始人戴夫·莱文的解决方案是：帮助学生培养性格。

这篇文章无意中展示了教育改革是如何像一场打鼹鼠的游戏。我们找到了一个目标，并将精力集中在这个目标上，结果却发现又出现了一个障碍。例如《不让一个孩子掉队法案》设立该考试是为了保证所有学生的最低能力，无论其背景如何，但用于保证这种“熟练”学习的考试性质是如此紧密地将学习重点放在几个特定科目上（并且仅限于这些科目），以至于学校遗漏了学生以后需要的重要科目和技能。同样，在这篇文章中，KIPP取得了学生真正的学习和熟练程度，但却发现学生们没有勇气坚持到大学毕业。

Tough接着描述了纽约KIPP学校是如何开始教授性格的。不是“道德品质”，而是“表现品质”：比如努力、勤奋和毅力。他们正在打击下一颗痣。

不幸的是，我敢打赌，这次之后还会有更多的鼹鼠。例如，我自己的一些工作涉及开发依赖教育的成人身份让学生理解为什么？他们要上大学了。学生们还需要更广泛地了解他们所面临的机会，以便在大学和毕业后找到正确的道路。

那么，你如何建立一个真正帮助学生成功的项目呢？要找到有效的方法并不容易。试想一下，尝试测试这种性格教育的有效性。没有哪项测试会因为一些学生每年的勇气都有所增加而立即表现出进步，所以你需要做一项纵向研究（非常困难而且昂贵！），看看勇气对他们在大学和毕业后的学习有多大帮助。这至少需要十年的时间。然后，如果你在一所效率低下的学校学习时犯了错误怎么办？没有足够知识和技能的学生几乎不会从品格教育中受益，因此我们可以得出结论，这种干预措施根本不起作用，而事实上却起到了作用做在KIPP这样的学校工作，掌握了基础知识。

但让我们假设我们幸运地在正确的环境中接受了性格教育。毫无疑问，我们会发现许多不同的干预措施都是成功的，现在我们需要了解这些干预措施是如何协同工作的。像KIPP这样严格且有控制的学术课程可能会与这种性格教育很好地配合，而这种努力可能会浪费在其他地方。测试所有这些组合需要几个世纪。

建立一个好的程序是坚硬的（感谢KIPP跟踪学生，发现他们的失败，分析他们，并找到根本原因。这需要难以置信的领导力。）我们不可能测试校内方法的每一种组合。成功的方法通常是相互矛盾的，或者在一起实施时相互对立。严格的研究往往可以提供一些线索，让我们知道什么是有效的，但我们仍然需要相信自己，才能做出正确的选择。我们仍然需要从整体上看待每个项目，不要让自己过于依赖于研究，以至于无法用常识设计课程和学校。我们也不能在年底通过测试来衡量结果，并得出结论，我们已经了解了对学生的影响。

归根结底，这是一个缺陷，因为许多程序都是以激光精度为重点开发特定结果的。如果不考虑孩子教育的方方面面，我们就会怀念一些东西。需要用一句话来解释一个项目，需要给出一个“需求陈述”来解释你所填补的利基市场，这错失了一个成功项目的真正广度。

我们可以也应该衡量结果，但我们也应该承认，我们的衡量是不完整的，并相信我们的直觉。我真的希望有一种简单的方法可以找到有效的方法，并将它们组合成一个连贯的程序。但因为没有，我们将不得不回到基础上来：在教育系统的各个层面上都有优秀的人才，让他们在研究的指导下，而不是受惠于研究，做好工作。

以下是数学系经常听到的两个投诉。首先是人们不懂任何数学；这种抱怨通常是由一些可怕的统计数据误用或对数字的基本误解引起的。第二个投诉是关于那些在基础数学方面基本上取得了成功，但并不真正理解他们正在使用的高级工具的学生。这些投诉是关于非常不同数学教育的各个方面，我们需要保持它们的正确性。

好的，秘密教育家说出解码时间！

• “数学素养”==理解基本数学，以度过生活并解释你的世界
• “劳动力发展”==为STEM领域（科学、技术、工程和数学）的工作做好准备

人们往往没有对自己的目标给予足够的思考。比如说，你正在辩论微积分是否应该成为高中学习的顶峰。如果你认为数学教育的目的是数学读写能力那么它显然不应该是：统计数据会更有价值。如果你认为数学教育的目的是培养劳动力，那么微积分可能就是目标：你需要微积分来学习工程学、数学研究、任何一门科学，如果没有它，你就会沉沦。（抛开其他目标，比如让学生接触美或深层次思考，这可能会使离散数学课程达到顶峰。）

学校基本上会把每个人都推向劳动力发展的轨道，直到他们上大学。即使假设这门学科为人们学习STEM领域做好了充分的准备（从大多数即将入学的大学新生来看，这并没有做好准备），但对于那些不想从事STEM行业的人来说，这是非常糟糕的：他们没有获得生活所需的很多技能（解释抵押贷款、研究和政治家）他们已经学会了彻底讨厌数学。

然而，我们也不应该让每个人都进入数学素养的轨道，因为如果你真的打算从事STEM职业，那么在早期培养良好的抽象思维能力是非常有帮助的。

当然，你认为，我们应该让学生选择，或者以某种方式将其分类为不同的轨道。但这也带来了许多问题。例如，一个学生实际上可能数学很好，但缺乏认真学习的自我动力，所以不努力学习是有害的。有些学生在以后的生活中会发展数学技能，但如果你没有机会学习高等代数或三角学，就很难赶上劳动力发展的轨道。更不用说低收入和少数民族学生会不成比例地学习数学素养，你也会培养学生自我形象在读写能力方面“不擅长”数学。

这让我想起了最近《纽约时报》手术切除，如何修复我们的数学教育这可能是我见过的解决这种情况的最佳建议，但仍然不够好。作者提出了可信的课程理念，以证明“真实世界”与数学之间的联系。然而，我不认为由此产生的课程会涵盖足够的劳动力发展。此外，这个计划感觉太像是一次撤退：由于我们实际上无法让大多数学生深入理解微积分，让我们找到一种学习不涉及微积分的主题的方法。但我们知道，微积分是可能从其他国家的结果！

我不知道如何解决这个问题。我不知道如何让那些准备好学习微积分和高级抽象数学的人能够理解微积分和抽象数学，同时又不会让其他人（其中许多人可能擅长数学）相信他们不擅长数学。有什么主意吗？