本文讨论了广义耦合Lane-Emden系统$u^{′}+H（v）=0$，$v^{〃}+G（u）=0$。基础系统的李群分类表明，它承认十维等价性李代数。我们还证明了一维主李代数有几个可能的扩展，并通过Noether积分。

非局部扩散模型包括考虑非局部的积分方程并没有在空间变量中显式地使用微分算子。由于非局部性，它们看起来可能不同于经典的偏微分方程（PDE）模型，但其局部极限降为偏微分方程。这个网格单元各向异性、网格细化和核函数对条件的影响二维几何域上非局部扩散模型的刚度矩阵为并与典型局部PDE模型的结果进行了比较。数值实验表明，对于可积核函数，条件数有界于$c\delta^{-2}$（其中$c$是一个常数），并且不受参数选择的影响基本函数。与局部PDE模型相比，网格各向异性和细化会影响条件数很少。

我们考虑了一类对称广义特征问题的后向误差中心对称矩阵和偏斜对称广义偏斜中心对称矩阵，它们是对称中心对称矩阵和偏斜对称偏斜中心对称矩阵的扩展。给出了这两类结构矩阵近似特征对的可计算后向误差的显式公式。数值例子说明了我们的结果。

优化控制的各种算法需要明确确定切换表面。然而，切换策略可能非常复杂切换曲面的计算是一个相当具有挑战性的问题。本文基于三角分解等代数计算工具，提出了系统计算开关曲面的一般方法。与一些广泛使用的数值选项相比，我们的方法非常复杂，但通过离线转移计算负担，可以使其适用于实时应用。该教学型演示旨在介绍潜在的强大符号计算方法特别是对于系统科学家来说，时间最优控制的一个示例是给出了该方法的有效性和通用性。

提出了一种求解解耦前后向问题的显式数值格式以积分方程形式表示的随机微分方程（FBSDE）。导出了该数值格式的一个一般误差不等式，这也意味着其稳定性。基于这个不等式给出了误差估计，表明该方案可以是二阶的。进行了一些数值实验来说明所提方案的高精度。

为了确定离散时间拟出生死亡的平稳分布马尔可夫链，有必要找到二次矩阵方程。采用Newton-Shamanskii方法求解方程，所产生的矩阵序列是单调递增的，并收敛到其最小非负解。数值结果表明了该方法的有效性。