%I#68 2023年5月20日23:17:13

%S 1,1,1,1,2,1,1,1,8,6,1,1,48180,24,1384129608064120,1,13840，

%电话：171072010644480604800720、1146080359251200357652800、，

%电话：19813248000684288005040,11645120109930867200463569715200023038844740000703557550080001089728640040320,1

%N按升序反对偶读取数组：T（N，k）=（k*N）/（k^n*（1/k）_n），其中（n>=0且k>=1），（x）_n=x*（x+1）**（x+n-1）是波切哈默符号。

%关于函数W_m（z）=1+Sum_{n>=0}（-1）^（n+1）*z^（（m+2）*n+1）/（T（n，m+2。另请参阅阵列A327722的文档。

%C通过对伽马函数进行比率检验和Stirling近似，我们可以证明W_m（z）幂级数的收敛半径是无穷大的（对于每m>=0）。因此，函数W_m（z）（由上述幂级数定义）是完整的。

%如果我们为m>=0和0<=S<=m定义S（m，S）=T（n-S，S+1），我们将得到下面示例部分中出现的三角形数组。

%H Sergi Elizalde和Marc Noy，<a href=“https://doi.org/10.1016/S0196-8858（02）00527-4“>置换中的连续模式，《高级应用数学》30（2003），110-125；见定理3.2（第116页）。

%H Alison Schuetz和Gwyneth Whieldon，<a href=“http://arxiv.org/abs/1401.7194“>《多边形解剖与级数反转》，arXiv:1401.7194[math.CO]，2014年。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html“>Pochhammer符号。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_and_rising_factorials网站“>下降和上升阶乘。

%F T（0，k）=1，T（1，k）=k！，T（2，k）=（2*k）/（k+1）对于k>=1。

%F T（n，1）=1，T（n，2）=（2*n）！！，T（n，3）与Airy函数相关（参见A176730的文档）。

%F T（n+1，k）=（k-1）！*对于n>=0和k>=1，二项式（k*（n+1），k-1）*T（n，k）。

%F T（n+1，k）/（k！*T（n，k））=Cat（n+1，k），其中Cat（d，k）=二项式（k*d，k）/（k*（d-1）+1）是Fuss-Catalan数；参见Schuetz和Whieldon（2014）中的定理1.2。

%如果F（k，z）=Sum_{n>=0}z^（k*n）/T（n，k），则F（k、z）满足o.d.e。

%F如果W_m（z）=1+Sum_{n>=0｝（-1）^（n+1）*z^（（m+2）*n+1）/（T（n，m+2）*（（m+2）*n+1）），则1/W_m（z）是A327722（m，n）第m行的F，它计算了[n]的排列，这些排列避免了连续模式12…（m+1）（m+3）（m+2）（或等效地，连续模式（m+3）（m+2）。。。(3)(1)(2)).

%函数W_m（z）满足o.d.e，即W_m^（m+2）（z）+z*W_m'（z）=0，其中W_ m（0）=1，W_m`（0）=-1，W_m ^（s）（0）=0，对于s=2..（m+1）。

%e数组T（n，k）（行n>=0，列k>=1）的开头如下：

%e 1,1,1,1,1。。。

%e 1、2、6、24、120、720。。。

%e 1、8、180、8064、604800、68428800。。。

%e 1、48、12960、10644480、19813248000、70355755008000。。。

%e。。。

%e三角阵列S（m，S）=T（m-S，S+1）（行m>=0，列S>=0）：

%e 1；

%e 1，1；

%e 1、2、1；

%e 1、8、6、1；

%e 1、48、180、24、1；

%e 13841296080641201；

%e 13840171072010644480604807201；

%e 14680、359251200、35765452800、19813248000、68428800、5040、1；

%e。。。

%p A:=（n，k）->`如果`（k=0，1，（γ（1/k）*γ（k*n+1））/（γ（n+1/k）*k^n））：

%p序列（序列（A（n-k-1，k），k=1..n-1），n=0..10）；#_Peter Luschny_，2019年11月4日

%Y行包括A000012（n=0）、A000142（n=1）、A060593（n=2）。

%Y列包括A000012（k=1）、A000165（k=2）、A176730（k=3）。

%Y比率T（n+1，k）/（k！*T（n，k））包括A000012（k=1）、A000027（k=2）、C000326（k=3）、A100157（k=4）、A234043（k=5）。

%Y参见A111004、A117226、A202213、A327722。

%K nonn，表

%0、5

%A_Petros Hadjicostas，2019年11月3日