%I#12 2019年6月5日09:59:43

%S 1,1,12,30,20,1,606902940567050401680，12528730103820581700，

%电话：1767360308700030996006001663200369600,1102094890261534032186070，

%电话：2146284008599920002189325600362840039039000002630628000100900800168000,14092979530580614201411122300

%N不规则表格：T（N，k）等于N个字符串的长度k的对齐次数，每个字符串的长度为3。

%C不同长度的n个字符串的对齐是一种将空白字符插入n个字符串中的方式，这样得到的字符串都具有相同的长度。我们不允许在n个字符串的同一位置插入空白字符。

%C在这种情况下，让s_1，。。。，s_n是字母表A上的n个字符串，每个字符串的长度为3。设-是不在A中的间隙符号，设A'=A和{-}的并集。n个字符串的对齐是字母表A'上长度>=3的字符串的n元组（s_1'，…，s_n'），使得

%C（a）字符串s_i'，1<=i<=n的长度相同。这种常见长度称为路线长度。

%C（b）从s_i'中删除间隙符号将生成字符串s_i for 1

%C（C）没有值j，因此所有字符串s_i'，1<=i<=n在位置j处都有一个间隙符号。

%C通过将字符串s_i'一个接一个地写入另一个字符串，我们可以将n个字符串的对齐视为一个n X L矩阵，其中L，对齐的长度，范围从最小值3到最大值3*n。矩阵的每一行有字母a和（L-3）间隙字符中的3个字符。

%C例如，

%C s_1’=ABC------

%C s_2'=---DEF（排放催化剂）---

%Cs_3’=------GHI

%C是三个字符串s_1=ABC、s_2=DEF和s_3=GHI的对齐（最大长度L=9），每个字符串的长度为3。

%C关于长度为1（对应2）的n个字符串的长度k的对齐次数，请参见A131689（对应A122193）。

%H P.Bala，关于A299041的注释</a>

%H M.Dukes，C.D.White，<a href=“http://arxiv.org/abs/1603.01589“>Web矩阵：结构属性和生成组合恒等式，arXiv:1603.01589[math.CO]，2016。

%H J.Engbers和C.Stocker，<a href=“http://math.colgate.edu/~integers/vol16.html“>涉及二项式系数幂和的恒等式的两个组合证明，integers 16（2016），#A58。

%H J.B.Slowinski，<a href=“http://www.neurociencias.org.ve/cont-cursos-laboratorio-de-neurocinencias-luz/Slowinski1998%20systemyotics.pdf“>多重比对的数量</a>，分子系统发育与进化10:2（1998），264-266。doi:<a href=“http://dx.doi.org/10.1006/mpev.1998.0522“>10.1006/mpev.1998.0522</a>

%F T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i，3）^n。

%F T（n，3）=1；T（n，3*n）=（3*n/6^n=A014606（n）

%F T（n，k）=二项式（k，3）*。

%F双精度例如F.:exp（-x）*Sum_{n>=0}exp（二项式（n，3）*y）*x^n/n！=1+（x^3/3！）*y+（x*3/3！+12*x^4/4！+30*x^5/5！+20*x^6/6！）*y ^2/2！+。。。。

%F第n行多项式R（n，x）=Sum_{i>=3}二项式（i，3）^n*x^i/（1+x）^（i+1）对于n>=1。

%F 1/（1-x）*R（n，x/（1-x））=Sum_{i>=3}二项式（i，3）^n*x^i对于n>=1。

%F R（n，x）=x ^3 o x ^3 o。。。o x ^3（n因子），其中o是Dukes and White中定义的幂级数的黑钻石乘积。

%F R（n，x）=（z_1）^3*的系数*有理函数1/（1+x-x*（1+z_1）*的展开中的（z_n）^3*（1+z_n））。

%多项式和{k=3..3*n}T（n，k）*x^（k-3）*（1-x）^（3*n-k）是A174266的行多项式。

%F求和{i=3..n-1}二项式（i，3）^m=求和{k=3..3*m}T（m，k）*二项式。参见下面的示例。

%Fx^3*R（n，-1-x）=（-1）^n*（1+x）^3*R.（n，x）。

%F R（n+1，x）=1/3*当n>=1时，x^3*（d/dx）^3（（1+x）^3*R（n，x））。

%F R（n，x）的零点属于区间[-1，0]。

%F行总和R（n，1）=A062208（n）；交替行和R（n，-1）=（-1）^n。

%对于非零整数k，幂级数a（k，x）：=exp（Sum_{n>=1}1/k^3*R（n，k）*x^n/n）似乎具有整数系数。请参阅示例部分。

%F和{k=3..3*n}T（n，k）*二项式（x，k）=（二项式，x，3）^n。等价地，和{k=3..3*n}（-1）^。

%F和{k=3..3*n}T（n，k）*二项式（x，k-3）=-二项式。

%e表格开始

%电子邮箱| 3 4 5 6 7 8 9 10

%电子----------------------------

%第1页|1

%电子邮箱2 |1 12 30 20

%电子邮箱3|1 60 690 2940 5670 5040 1680

%电话：4|1 252 8730 103820 581700 1767360 3087000 3099600。。。

%e。。。

%e T（2,5）=30：长度为5的对齐将在每条线上有两个间隙符号。有C（5,2）=10种方法可以选择2个位置以在第一个字符串中插入间隙符号。然后，对齐中的第二个字符串必须在这两个位置具有非映射符号，剩下三个位置用于插入剩余的1个非映射符号。总共有10 x 3=30种可能的对齐方式，两个字符串由3个字符组成。以下是一些示例

%e ABC——ABC——ABC--

%e D--EF-D-EF--排放催化剂

%e第2行：求和{i=3..n-1}C（i，3）^2=C（n，4）+12*C（n、5）+30*C（n，6）+20*C。

%e行3:求和{i=3..n-1}C（i，3）^3=C（n，4）+60*C（n、5）+690*C（n，6）+2940*C。

%e exp（和{n>=1}R（n，2）*x^n/n）=（1+x+153*x^2+128793*x^3+319155321*x^4+1744213657689*x^5+….）^8

%e exp（和{n>=1}R（n，3）*x^n/n）=（1+x+424*x^2+998584*x^3+6925040260*x^4+105920615923684*x^5+….）^27。

%p seq（seq（加（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i，3）^n，i=0..k），k=3..3*n），n=1..6）；

%t nmax=6；T[n_，k_]：=和[（-1）^（k-i）二项式[k，i]二项式[i，3]^n，{i，0，k}]；表[T[n，k]，{n，1，nmax}，{k，3，3n}]//Flatten（*Jean-François Alcover_，2018年2月20日*）

%Y行合计A062208。参见A014606、A019538、A078741、A087127、A122193、A131689、A174266。

%Y参考A086020、A086021和A086022。

%K non，tabf，简单

%氧1,3

%A _Peter Bala_，2018年2月2日