三角形(a,b,c)的面积由Heron公式a=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))给出,其中其边长为a,b、c和半周长s=(a+b+c)/2。
序列的属性:
我们观察到每个三角形的边的形式是(k^2+2,k^2+4,2k^2x2),Heron公式立即给出面积k(2k^2+4)=>a(n)=2*A086381号(n)*A253639型(n) ●●●●。
设三角形(a,b,c)=(p,p+2,q)与p素数。因为q=2t是偶数,Heron的公式给出了面积A=sqrt((p+t+1)(p-t+1),(t-1)(t+1))。假设p=t+1,那么p-t+1=2和A=2p*sqrt(t-1)。我们必须有t-1=k^2平方,因此p=k^2+2和q=2t=2(k^2+1)=2p-2。
结果:当且仅当p和p+2是素数时,a(n)的最大素数是相应三角形最小边的长度。
如果我们考虑一个边三角形(p,p+2,q),其中p和p+2是复合的,或者p prime和p+2-复合的,或p composite和p+2prime。例如:三角形(145147194)的面积是10584,但10584的最大素数=2^3*3^3*7^2是7,7不是三角形的最小边,145与2*194-2不同。
下表给出了第一个值(A,A,b,c),其中A是整数面积,A=p,b=p+2,c是带p撇号的边。
+---------+-------+--------+------+
|A|A=p|b=p+2|c|
+---------+-------+--------+------+
| 6 | 3 | 5 | 4 |
| 66 | 11 | 13 | 20 |
|6810 | 227 | 229 | 452|
| 72006 | 1091 | 1093 | 2180 |
| 182430 | 2027 | 2029 | 4052 |
| 370614 | 3251 | 3253 | 6500 |
+---------+-------+--------+------+
|