%I#30 2023年3月7日09:27:10

%S 1,3,1,0,3,8,5,1,0,10,0,7,20,18,7,1,00,0,15,48,56,32,9,1,0_0,0,0_31112，

%电话：160120,50,11,0,0,00,0,1,63256432400220,72,13,1,0,0-0,0_0127，

%电话：5761120132840364,98,15,1

%N行读取的不规则三角形：T（N，k）是图G（N）中具有k个顶点的支配子集的数目，该图G（m）是通过复制路径P_3的N个副本并标识其端点之一（一个具有N个分支长度为2的星形）而获得的。

%C行还给出了n-helm图的控制多项式的系数（除以x，即从行中去掉初始0）_Eric W.Weisstein_，2017年5月28日

%C行n包含2n+1个条目（其中前n-1个为0）。

%C第n=2*3^{n-1}-1=A048473（n）行中的条目之和。

%C第k列中的项目总和=A213667（k）。

%H S.Alikhani和Y.H.Peng，<a href=“http://arxiv.org/abs/0905.2251“>图的控制多项式简介</a>，arXiv:0905.2251[math.CO]，2009。

%希腊。Czabarka、L.Székely和S.Wagner，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2009.07.004“>某些树参数的反问题，离散应用数学，1572009，3314-3319。

%H T.Kotek、J.Preen、F.Simon、P.Tittmann和M.Trinks，<a href=“http://arxiv.org/abs/1206.5926“>支配多项式的递归关系和分裂公式，arXiv:1206.5926[math.CO]，2012。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/DominationPolynomial.html“>支配多项式。

%H Eric Weistein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/HelmGraph.html“>赫尔姆图。

%F T（n，k）=2^（2*n-k）*（2*二项（n，k-n-1）+二项（n，k-n）），如果k>n；T（n，n）=2^n-1。

%F第n行的生成多项式是g[n]=g[n，x]=（1+x）（x*（2+x））^n-x^n（=图g（n）的控制多项式）。

%F二元g.F.：g（x，z）=x*z*（1+x）*（2+x）/（1-2*x*z-x^2*z）-x*z/（1-xz）。

%e第2行是0,3,8,5,1，因为G（2）是路径P_5abcde；没有大小1的控制子集，大小2的三个子集（ad、bd、be），大小3的所有子集（除了abc和cde）都是控制的（二项式（5,3）-2=8），大小4的所有二项式的（5,4）=5个子集都是主控的，abcd是控制的。

%e三角形开始：

%e 1、3、1；

%e 0、3、8、5、1；

%e 0，0，7，20，18，7，1；

%e 0、0、0，15、48、56、32、9、1；

%p T：=proc（n，k），如果k=n，则2^n-1，否则2^（2*n-k）*（2*二项式（n，k-n-1）+二项式。。2*n+1）结束d；#以三角形形式生成序列

%tT[n_，n_]：=2^n-1；

%tT[n，k_]：=2^（2*n-k）*（2*二项式[n，k-n-1]+二项式[n，k-n]）；

%t表[t[n，k]，{n，1，10}，{k，1，2*n+1}]//Flatten（*_Jean-François Alcover_，2017年12月2日*）

%Y参考A048473，A213667。

%K nonn，标签

%O 1,2号机组

%德国电子报，2012年7月1日