%I#35 2023年7月19日07:21:36

%S 1,2,9,564003095252402136331859006165275441494724801370794835，

%电话：12718060947119158146283112581640545810714275588727，

%电话：102615375322564988302823695146956585938514027293000625498731490778230525667768892941663606408172

%N G.f.满足A（x）=（1+x*A（x。

%C g.f.A（x）的收敛半径为r=0.095007017562450871521918431664620…其中A（r）=1.622879014092133906198298670423120590101223122…其中y=A（r”）满足2*y^5+6*y^4-18*y^3+6*y^2-3=0。

%H Vincenzo Librandi，n的表，n=0..200的a（n）</a>

%F G.F.A（x）满足：

%F（1）A（x）=exp（Sum_{n>=1}x^n/n*Sum_{k=0..n}C（n，k）^2*A（x）^（2*k））。

%F（2）A（x）=（1/x）*系列_翻转（2*x^2*（1+x）/（1-sqrt（1-4*x*（1+x）^2）））。

%F（3）A（x）=G（x*A（x”）），其中G（x）=A（x/G（x））是A073157的G.F.（Schroeder n路径不包含FF）。

%F g.F.A（x）的形式逆函数是（sqrt（（1-x^2）^2+4*x^3）-。

%带递推的F D有限：2*n*（n+1）*（2*n+1）x（1275*n^5-11696*n^4+36827*n^3-40618*n^2-5828*n+25368）*a（n）=6*n*）*（34425*n^6-281367*n^5+690471*n^4-86579*n^3-1831014*n^2+2230808*n-685440）*a（n-2）+6*（22950*n^8-279378*n^7+1275447*n^6-2461807*n^5+518525*n^4+5756973*n^3-9486182*n^2+5962912*n-1303680）*a（n-3）-6*（22950*n^8-313803*n^7+1633059*n^6-3736233*n^5+1886879*n^4+7909228*n^3-16107824*n^2+11531408*n-2756544）*a（n-4）+3*（n-4）*（3*n-14）*（3+n-7）*（1275*n^5-5321*n^4+2793*n^3+12437*n^2-16992*n+5328）*a（n-5）.-_瓦茨拉夫·科泰索维奇，2013年9月19日

%F a（n）~c*d^n/（sqrt（Pi）*n^（3/2）），其中d=10.5255382776611313…是方程-27+108*d-108*d^2+324*d^3-72*d^4+4*d^5=0和c=0.5321376859604656812266678970406658537671…-Vaclav Kotesovec_，2013年9月19日

%F a（n）=和{j=0..n}（（和{k=0..j}（二项（2*n+2*k+2，j-k）*二项（n+2*k，k））/（k+n+1））*（-1）^（n-j）*二项式（2*n-j，n-j））_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2016年3月13日

%F a（n）=和{k=0..n}二项式（n+2*k+1，k）*二项式_Seiichi Manyama，2023年7月19日

%通用公式：A（x）=1+2*x+9*x^2+56*x^3+400*x^4+3095*x^5+25240*x^6+。。。

%e相关扩展。

%e A（x）^2=1+4*x+22*x^2+148*x^3+1105*x^4+8798*x^5+73196*x^6+。。。

%e A（x）^3=1+6*x+39*x^2+284*x^3+2223*x^4+18267*x^5+155445*x^6+。。。

%e A（x）^4=1+8*x+60*x^2+472*x^3+3878*x^4+32948*x^5+287300*x^6+。。。

%e其中A（x）=1+x*（A（x”）+A（x）^3）+x^2*A（x”）^4。

%e g.f.的对数等于级数：

%e log（A（x））=（1+A（x+

%e（1+3^2*A（x）^2+3^2*A（x+

%e（1+4^2*A（x）^2+6^2*A（x）^4+4^2*A（x+

%e（1+5^2*A（x）^2+10^2*A^4+10^2*A^6+5^2*A^8+A^10）*x^5/5+。。。

%e更明确地说，

%e对数（A（x））=2*x+14*x^2/2+122*x^3/3+1118*x^4/4+10557*x^5/5+101642*x^6/6+991916*x^7/7+。。。

%t nmax=20；aa=常量数组[0，nmax]；aa[[1]]=2；做[AGF=1+总和[aa[[n]]*x^n，{n，1，j-1}]+koef*x^j；sol=求解[系数[（1+x*AGF）*（1+x*AGF^3）-AGF，x，j]==0，koef][1]；aa[[j]]=koef/.sol[1]，{j，2，nmax}]；扁平[{1，aa}]（*_Vaclav Kotesovec_，2013年9月19日*）

%o（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；对于（i=1，n，a=exp（总和（m=1，n，总和（j=0，m，二项式（m，j）^2*（a+x*o（x^n））^（2*j）））*x^m/m））；polcoff（a，n）}

%o（PARI）{a（n）=polceoff（（1/x）*serreverse（2*x^2*（1+x）/（1-sqrt（1-4*x*（1+x）^2+x^3*o（x^n））），n）}

%o（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；对于（i=1，n，a=（1+x*a）*（1+x*（a+x*o（x^n））；polceoff（a，n）}

%o（最大值）

%o a（n）：=总和（（总和（二项（2*n+2*k+2，j-k）*二项（n+2*k，k））/（k+n+1），k，0，j））*（-1）^（n-j）*二项式（2*n-j，n-j），j，0，n）；/*_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2016年3月13日*/

%Y参见A215623、A215624、A215654、A007863、A036765、A198951、A181734、A073157。

%K nonn公司

%0、2

%A·保罗·D·汉纳，2011年10月31日