%I#47 2020年2月21日07:00:19

%S 1,1,2,6,16,39,99271763214660621735950337147057431874，

%电话：127527337866491129803133846202101762937306997821929038518，

%电话：2819426688857843330426163061776799701867912449388410967516469594022310683396056711519919151

%N G.f.满足：A（x）=（1+x*A（x。

%C a（n）也是n个节点上有根标记树的数量，这样每个节点都有0、1、3或4个子节点_Patrick Devlin，2012年3月4日

%H Alois P.Heinz，n的表格，n=0..600时的a（n）</a>

%F G.F.满足：

%F（1）A（x）=exp（和{n>=1}x^n/n*和{k=0..n}C（n，k）^2*x^（2*k）*A（x，^（2*k））。

%F（2）A（x）=（1/x）*系列_翻转（x/（（1+x）*（1+x^3）））。

%F（3）a（n）=[x^n]（1+x+x^3+x^4）^（n+1）/（n+1。

%F（4）A（x）=exp（和{n>=1}x ^n/n*（1-x^2*A（x）^2）^（2*n+1）*和{k>=0}C（n+k，k）^2*x^（2*k）*A。

%带递归的F D-有限：3*（n+1）*（3*n+2）*（3+n+4）*）*a（n-2）+162*（n-2）*（n-1）*（2*n-3）*（119*n^3+147*n^2+10*n-24）*a（n-3）_瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年9月9日

%F a（n）~c*d^n/n^（3/2），其中d=1/81*（（2144134+520506*sqrt（17））^（2/3）+112*5…-_Vaclav Kotesovec_，2013年9月9日

%F A（1/d）=370/243+（3*sqrt（17）/509-3070/123687）*（2144134+520506*sqort（17））^

%F From _Peter Bala，2015年6月21日：（开始）

%F a（n）=1/（n+1）*和{k=0..floor（n/3）}二项式（n+1，k）*二项式。将Maple的sumrecursion命令应用于此公式，可以得到Kotesovec的上述递归。

%F更一般地说，根据拉格朗日-Bürmann公式，A（x）^r中x^n的系数等于r/（n+r）*Sum_{k=0..floor（n/3）}二项式（n+r，k）*Binominal（n+r,n-3*k）。

%F O.g.F.A（x）=exp（Sum_｛n>=1｝A228960（n）*x^n/n），其中A228960（n）=Sum_｛k=0.floor（n/3）｝二项式（n，k）*二项式（n，3*k）。参见A036765、A186241和A200731。（结束）

%通用公式：A（x）=1+x+x^2+2*x^3+6*x^4+16*x^5+39*x^6+99*x^7+。。。

%e相关扩展：

%e A（x）^3=1+3*x+6*x^2+13*x^3+36*x^4+105*x^5+292*x^6+。。。

%e A（x）^4=1+4*x+10*x^2+24*x^3+67*x^4+200*x^5+582*x^6+。。。

%e g.f.的对数等于级数：

%e log（A（x））=（1+x^2*A（x）^2）*x+（1+2^2*x^2*A（x）^2+x^4*A（x）^4）*x^2+

%e（1+3^2*x^2*A（x）^2+3^2*x^4*A（x）^4+x^6*A（x^6）*x^3/3+

%e（1+4^2*x^2*A（x）^2+6^2*x^4*A+

%e（1+5^2*x^2*A（x）^2+10^2*x^4*A。。。

%e更明确地说，

%e对数（A（x））=x+x^2/2+4*x^3/3+17*x^4/4+51*x^5/5+136*x^6/6+393*x^7/7+1233*x^8/8+。。。

%p a:=n->coeff（级数（RootOf（a=（1+x*a）*（1+x^3*a^3），a），x，n+1），x，n）：

%p序列（a（n），n=0..30）；#_Alois P.Heinz，2012年5月16日

%t逆级数[级数[x/（（1+x）*（1+x^3）），{x，0，31}]，x]//系数表[#，x]//Rest（*_Jean-François Alcover_，2013年9月10日*）

%o（PARI）{a（n）=本地（a=1/x*序列反转（x/（1+x+x^3+x^4+x*o（x^n）））；polceoff（a，n）}

%o（PARI）{a（n）=polceoff（（1+x+x^3+x^4+x*o（x^n））^（n+1）/（n+1，n）}

%o（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；对于（i=1，n，a=exp（总和（m=1，n，总和（j=0，m，二项式（m，j）^2*x^（2*j）*（a+x*o（x^n））^（2*j））*x^m/m））；polcoff（a，n）}

%o（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；对于（i=1，n，a=exp（总和（m=1，n，（1-x^2*a^2）^（2*m+1）*总和（j=0，n\2，二项式（m+j，j）^2*x^（2%j）*（a^2+x*o（x^n））^j）*x^m/m））；极坐标（a，n，x）}

%Y参见A198953、A007863、A036765、A186241、A200731、A228960。

%K nonn，简单

%0、4

%A·保罗·D·汉纳，2011年10月31日