%I#44 2024年4月25日13:47:45

%S 1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,3,3,4,3,2,1,1,1,4,6,7,10,11,9,8,7,5,4,2,1,1，

%T 1,1,5,10,14,21,28,31,33,34,34,31,27,25,22,17,14,13,10,7,5,4,3,2,1，

%U 1,1,6,15,25,40,60,77,92106117122121120116107,98,91,82,71,62,54,45单位

%N行读取的三角形：T（N，k）是半长N的Schroeder路径数，使得x轴和路径之间的面积为k（N>=0；0<=k<=N^2）。

%半长n的Schroeder路径是从（0,0）到（2n，0）的晶格路径，由U=（1,1），D=（1，-1）和H=（2,0）步组成，永远不会低于x轴。

%C第n行有1+n^2个术语。

%C行总和是较大的Schroeder数（A006318）。

%H Alois P.Heinz，行n=0..32，扁平</a>

%G（t，z）满足G（t，z）=1+z*G（t，z）+t*z*G（t，t^2*z）*G（t，z）。

%F和{k>=0}k*T（n，k）=A129180（n）。

%F From _Peter Bala，2019年8月2日：（开始）

%作为连续分数的F O.g.F.：（t表示面积，z表示路径的半长）

%F G（t，z）=1/（1-z-t*z/（1-t^2*z-t^3*z/。。。。

%F G（t，z）=1/（1-（1+t）*z/（1-t^3*z/。

%F O.g.F.作为q序列的比率：N（t，z）/D（t，z），其中N（t、z）=和{N>=0}（-1）^N*t^（2*N^2+N）*z^N/（（产品{k=1..N}1-t^）*z^N/（（产品{k=1..N}1-t^（2*k））*（产品{k=1..N}1-t ^（2*k-2）*z））。（结束）

%F猜想：T（n，k）=[z^k]R（n，0）对于n>=0，k>=0其中R（n、q）=Sum_{j=0..q+（qmod 2）+1}z^j*R（n-1，j）对于n>0，q>=0而R（0，q）=1对于q>=0.-_米哈伊尔·库尔科夫，2023年8月3日

%e T（3,5）=3，因为我们有UDUUDD、UUDDUD和UHHD。

%e三角形开始：

%e 1；

%e 1,1；

%e 1、2、1、1；

%e 1,3,3,4,3,2,1,1,1；

%e 1,4,6,7,10,11,10,9,8,7,5,4,3,2,1,1,1；

%pG:=1/（1-z-t*z*G[1]）：对于i从1到11的do G[i]：=1/（1-t^（2*i）*z-t^）od；#号以三角形形式生成序列

%p#第二个Maple程序：

%p b:=proc（x，y）选项记忆`如果`（y>x或y<0，0，

%p`if`（x=0，1，展开（b（x-1，y-1）*z^（y-1/2）

%p+b（x-2，y）*z^（2*y）+b（x1，y+1）*zqu（y+1/2）））

%p端：

%pT:=n->（p->seq（系数（p，z，i），i=0..度（p））（b（2*n，0））：

%p序列（T（n），n=0..7）；#_阿洛伊斯·海因茨，2015年5月27日

%tb[x_，y_]：=b[x，y]=如果[y>x|y<0，0，如果[x==0，1，展开[b[x-1，y-1]*z^；T[n_]：=函数[{p}，表[系数[p，z，i]，{i，0，指数[p，z]}][b[2*n，0]]；表[T[n]，{n，0，7}]//扁平（*_Jean-François Alcover_，2015年6月29日，以_Alois P.Heinz_*命名）

%Y参考A006318（行总和），A129180，A326676。

%K nonn，tabf，已更改

%0、5

%德国电子报，2007年4月8日