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%I#157 2024年4月15日13:23:36
%S 0,1,1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,3,1,2,2,2,2,32,3,3，
%温度1,2,2,2,3,2,3,3,3,1,3,4,2,33,33,4,1,2,2,32,3,3，
%U 2,3,3,3,1,4,4,2,3,4,3,4,1,4,12,3,5,2,2,2,3,2,3,1,3,2,3
%N在N的Zeckendorf表示中的项数（将N写成非连续的不同Fibonacci数的和）。
%C另外，n的Wythoff表示中的0（或B）数——请参阅Reble链接。有关n>=1的Wythoff表示法的参考和链接，请参见A135817_Wolfdieter Lang，2008年1月21日_N.J.A.Sloane，2008年6月28日
%C或者，a（n）是在n>=1的唯一Wythoff表示中所需的Wythoff B序列A001950的应用数量。例如，16=A（B（A（A（B）（1）））=ABAAB=`10110`，因此A（16）=2.-_Wolfdieter Lang，2008年1月21日
%C设M（0）=0，M（1）=1，并且对于i>0的情况，M（i+1）=f（M（j），j从0到i-1的串联），其中f是态射f（k）=k+1。那么序列就是从0到无穷大的j的M（j）的串联Claude Lenormand（Claude.Lenormand（AT）free.fr），2003年12月16日
%C发件人：Joerg Arndt_，2012年11月9日：（开始）
%C设m是n的组成部分按字典顺序排列成奇数部分的列表中的部分数，a（k）=（n-长度（组成部分（k）））/2表示所有k<斐波那契（n）和所有n（参见示例）。
%C设m是n的组成部分列表中的部分数，按字典顺序将其分为第1部分和第2部分，a（k）=n-长度（组成部分（k））表示所有k<斐波那契（n）和所有n（参见示例）。
%C A000120给出了（所有）成分的当量。（结束）
%Ca（n）=A104324（n）-A213911（n）；A035516和A035516.中的行长度_Reinhard Zumkeller，2013年3月10日
%C a（n）也是求和为n的Fibonacci数的最小数目，与相邻或重复无关_艾伦·沃利（Alan Worley），2015年4月17日
%C这源于序列是次加法的事实：对于非负整数n，m，a（n+m）<=a（n）+a（m）。参见Stoll链接的引理2.1。-_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2015年4月17日
%C From _Michel Dekking，2020年3月8日：（开始）
%这个序列是无限字母表上的一个同态序列，即（a（n））是同态τ的一个不动点的字母到字母的投影。
%C字母表是{0,1，…，j，…}X{0,1}，τ由下式给出
%Cτ（（j，0））=（j，O）（j+1,1），
%Cτ（（j，1））=（j，0）。
%C字母对字母的映射由第一个坐标上的投影给出：（j，i）->j表示i=0.1。
%为了证明这一点，首先要注意，字母的第二个坐标生成无限斐波那契单词=A003849=0100101001001。。。。
%C这意味着对于所有n和j
%C|tau^n（j，0）|=F（n+2），
%其中，|w|表示单词w的长度，（F（n））=A000045是斐波那契数。
%其次，我们需要以下简单但关键的观察。设n的Zeckendorf表示为Z（n）=A014417（n）。例如，
%C Z（0）=0，Z（1）=1，Z（2）=10，Z（3）=100，Z（4）=101，Z（5）=1000。
%C根据Zeckendorf表示的唯一性，对于位置i=0,1，。。。，F（n）-1有
%C Z（F（n+1）+i）=10…0 Z（i），
%C，其中Z（i）加零，得到总表示长度n-1。
%C这表示i=0,1，。。。，F（n）-1表示
%C a（F（n+1）+i）=a（i）+1。
%C从第一个观察结果来看，tau^n（j，0）的第一个F（n+1）字母等于tau^{n-1}（j，O），而tau^n[j，0]的最后一个F（n）字母等于τ^{n-1'（j+1，1）=τ^{n-2}（j+1,0）。
%C将此与第二个观察结果相结合，表明τ不动点的第一个坐标，从（0,0）开始，给出（a（n））。
%当然，通过改变字母表（j，0）->2j（j，1）->2j+1，可以获得自然数上的态射τ’，这就产生了态射
%Cτ’（2j）=2j，2j+3，τ‘（2j+1）=2j。
%C从0开始的tau'的不动点是
%Cu=03225254254472544747625。。。
%C相应的字母对字母映射λ由λ（2j）=j，λ（2 j+1）=j给出。然后λ（u）=（a（n））。
%C（结束）
%D Cornelius Gerrit Lekkerkerker，Voorstelling van natuurlijke getallen door een som van getallen van Fibonacci，Simon Stevin 29（1952），190-195。
%D F.Weinstein，《斐波那契分区》，预印本，1995年。
%Dédouard Zeckendorf，《自然无名代表》，公牛。Soc.罗伊。科学。Liège 41179-1821972年。
%H T.D.Noe，n表，n=0..10000的a（n）</a>
%H Joerg Arndt，<a href=“http://www.jjj.de/fxt/#fxtbook网站“>《计算事项》（The Fxtbook），第754-756页。
%H Paul Baird-Smith、Alyssa Epstein、Kristen Flint和Steven J.Miller，<a href=“https://arxiv.org/abs/1809.04881“>The Zeckendorf Game，arXiv:1809.04881[math.NT]，2018年。
%H D.E.Daykin，<a href=“https://doi.org/10.112/jlms/s1-35.2.143“>将自然数表示为广义斐波那契数之和，J.London Math.Soc.35（1960）143-160。
%H Michel Dekking，<a href=“https://arxiv.org/abs/2003.14125“>基数φ展开的数字和函数的增加点</a>，arXiv:2003.14125[math.CO]，2020。
%H F.Michel Dekking，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.tcs.2021.01.011“>Zeckendorf和基数φ展开式的数字和函数</a>，《理论计算机科学》（2021）第859卷，70-79。
%H Damien Jamet、Pierre Popoli和Thomas Stoll，<a href=“https://arxiv.org/abs/2106.09959“>Zeckendorf基和多项式子序列中数字和函数的最大阶复杂度</a>，arXiv:2106.09959[math.NT]，2021，见第5页。
%H C.G.勒克克尔，<a href=“https://ir.cwi.nl/pub/6922“>Voorstelling van natuurlijke getallen door een som van getallen van Fibonacci，Stichting Mathematisch Centrum，Zuivere Wiskunde，1951年。
%H I.Nemes，<a href=“http://www.risc.uni-linz.ac.at/research/combinet/risc/publications/#inemes“>斐波那契数的倍数的斐波那契表示</a>。
%H Don Reble，Zeckendorf vs.Wythoff陈述：关于A007895的评论。
%H Thomas Stoll，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/s11139-012-9422-6“>多项式值Zeckendorf位数和的组合构造</a>，《Ramanujan Journal》2013年11月，第32卷，第2期，第227-243页。
%H F.V.Weinstein，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0307150“>斐波纳契分区注释，arXiv:math/0307150[math.NT]，2003-2018。
%F a（n）=A000120（A003714（n））_Reinhard Zumkeller_，2005年5月5日
%F a（n）=A107015（n）+A107016（n）.-_Reinhard Zumkeller_，2005年5月9日
%F a（n）=A143299（n+1）-1.-_Filip Zaludek，2016年10月31日
%F a（n）=A007953（A014417（n））_Amiram Eldar_，2023年10月10日
%e a（46）=a（1+3+8+34）=4。
%e来自Joerg Arndt_，2012年11月9日：（开始）
%e将n的成分连接成奇数部分（见注释）：
%e[#]：a（n）组成奇数部分
%e[0][0]1 1 1 1 11 1 1 1
%e[1][1]1 1 1 1 3
%e[2][1]1 1 1 1 3 1
%电子[3][1]1 1 1 3 1 1
%电子[4][2]1 1 1 5
%e[5][1]1 1 3 1 1 1 1
%电子[6][2]1 1 3 3
%电子[7][2]1 1 5 1
%电子[8][1]1 3 1 1 1 1
%电子[9][2]1 3 1 3
%电子[10][2]1 3 3 1
%e[11][2]1 5 1 1
%电子[12][3]1 7
%e[13][1]3 1 1 1 1 1 1
%电子[14][2]3 1 1 3
%e[15][2]3 1 3 1
%e[16][2]3 3 1 1
%电子[17][3]5
%电子[18][2]5 1 1 1
%电子[19][3]5 3
%电子[20][3]7 1
%e将n的成分连接到第1部分或第2部分（见注释）：
%e[#]：a（n）组成第1部分和第2部分
%e[0][0]1 1 1 1 11 1 1
%e[1][1]1 1 1 1 2
%e[2][1]1 1 1 1 2 1
%电子[3][1]1 1 1 2 1 1
%e[4][2]1 1 2 2
%e[5][1]1 1 2 1 1 1 1
%电子[6][2]1 1 2 1 2
%电子[7][2]1 1 2 2 1
%e[8][1]1 2 1 1 1 1
%电子[9][2]1 2 1 1 2
%e[10][2]1 2 1 2 1
%e[11][2]1 2 2 1 1
%电子[12][3]1 2 2 2
%e[13][1]2 1 1 1 1
%电子[14][2]2 1 1 2
%e[15][2]2 1 1 2 1
%e[16][2]2 1 2 1 1
%e[17][3]2 1 2 2
%e[18][2]2 1 1 1 1
%e[19][3]2 2 1 2
%电子[20][3]2 2 2 1
%e（结束）
%e From _Michel Dekking，2020年3月8日：（开始）
%e生成此序列的态射τ的第三次迭代：
%eτ^3（（0,0））=（0,0-（1,1）（1,0）（1,0-）（2,1）
%e=（a（0），0）（a（1），1）。（结束）
%p#使用以下Maple程序（不是最好的程序），B（n）（n>=1）生成n的Zeckendorf表示中的项数。
%p with（combint）：B:=proc（n）local A，ct，m，j:A:=prog（n）局部i:for i，而fibonacci（i）<=n do n-fibonaci（i）end do end proc:ct:=0；m:=n:对于j，而0<A（m）do ct:=ct+1:m:=A（m）end do:ct+1 end proc:0，seq（B（n），n=1。。104);
%p#_Emeric Deutsch，2010年7月5日
%p N:=1000:#得到N≤N的a（N）
%p m：=天花板（对数[（1+sqrt（5））/2]（sqert（5）*N））：
%p Z:=矢量（m）：
%p a[0]：=0：
%p代表n从1到n do
%p如果Z[1]=0，则Z[1]：=1；q： =1；
%p其他Z[2]：=1；Z[1]：=0；q： =2；
%p fi；
%p，而Z[q+1]=1 do
%pZ[q]：=0；
%pZ[q+1]：=0；
%pZ[q+2]：=1；
%pq:=q+2；
%操作说明：
%p a[n]：=相加（Z[i]，i=1..m）；
%操作说明：
%p序列（a[n]，n=0..n）；#_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2015年4月17日
%p#备选方案
%p读取（“转换”）：
%p A007895:=程序（n）
%p重量（A003714（n））；
%p端程序：
%p序列（A007895（n），n=0..10）；#_R.J.Mathar，2020年9月22日
%tzf[n_]：=（k=1；ff={}；While[（fi=Fibonacci[k]）<=n，AppendTo[ff，fi]；k++]；下降[ff，1]）；zeckRep[n_]：=如果[n==0，0，r=n；s={}；fr=zf[n]；当[r>0时，lf=Last[fr]；如果[lf<=r，r=r-lf；PrependTo[s，lf]]；fr=下降[fr，-1]]；s] ；zeckRepLen[n_]：=长度[zeckRep[n]]；表[zeckRepLen[n]，{n，0，104}]（*_Jean-François Alcover_，2011年9月27日*）
%t数字计数[Select[范围[0，1000]，比特和[#，2#]=0&]，2，1]（*_Jean-François Alcover_，2018年1月25日*）
%t表[Length[DeleteCases[NestWhileList[#-Fibonacci[Floor[Log[Sqrt[5]*#+3/2]/Log[GoldenRatio]]&，n，#>1&]，0]]，{n，0，143}]（*_Alonso del Arte_，2019年5月14日*）
%o（PARI）a（n，mx=0）=如果（n<4，n>0，if（！mx，while（fibonacci（mx）<n，mx++））；而（斐波那契（mx）>n，mx-）；1+a（n-fibonacci（mx），mx-2））
%o（PARI）a（n）=如果（n＜4，n＞0，my（k＝2，s，t）；而（fibonacci（k++）<=n，）；而（k&&n，t=fibonacci（k）；如果（t<=n，n-=t；s++）；k——）；s） 2015年9月2日，Charles R Greathouse IV
%o（哈斯克尔）
%o a007895=长度。a035516_低--_Reinhard Zumkeller_，2013年3月10日
%o（Python）
%o来自sympy import fibonacci
%o定义a（n）：
%o k=0
%o x=0
%o当n>0时：
%o k=0
%o而fibonacci（k）<=n:k+=1
%o x+=10**（k-3）
%o n-=斐波那契（k-1）
%o返回str（x）.count（“1”）
%o打印（[a（n）代表范围（101）内的n）]#_Indranil Ghosh，2017年6月9日
%Y参见A000045、A007953、A035514、A0355015、A0355106、A0355127、A105446、A189920、A213676、A000120、A001950、A003714、A007015、A00701、A104324、A182535、A213911、A014417、A003849。
%Y参见A135817（Wythoff表示法的长度），A135818（Wythonff表示法中1（或A）的数量）。
%Y记录位置在A027941中。
%K nonn，简单
%0、5
%A Felix Weinstein（wain（AT）ana.unibe.ch）和_Clark Kimberling_
%E根据R.J.Mathar和Don Reble的建议，由N.J.A.Sloane于2008年6月27日编辑_
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