超4迭代指数函数

目录

添加+b=b

乘法×b=b

指数b=b=b

“下”Hyper4函数b

  反问题的精确解b

更高的Hyper4功能(“四分体”)↑↑b=b

  实值论元的扩展

  电力塔悖论

  用模运算求末位

一生的兴趣超4

本页的主题是函数,超4,它接受两个 参数并执行重复的求幂运算。hyper4是普通的求幂,就像求幂是乘法一样,因为它是两个参数的函数,我有时也把它称为操作人员.

为了完整起见,我将从最基本的开始描述每个更熟悉的 运算符。

添加+b=b

加法可以看作是一种反复的添加一个的动作:

+b=+1+1+1+1。。。

哪里有b副本1在= 标志的右侧。

以下是0到6参数的加法函数表。这是大多数文法学校学生学习的大表的第一部分:

+b 012456
0 012456
1 124567
2 245678
456789
4 45678910
5 567891011
6 6789101112

按对角线,这张表是顺序的A3056飞机.

行和列都是A0027型(省略一个或多个初始术语)。

主对角线是A5843型.

超对角线和次对角线都是A5408型.

乘法×b=b

迭代加法是一种乘法运算。这两个定义相当:

×b= ((+)+)+...+

或者:

×b=+...+(+(+))

每种情况下都有b副本在=标志的右侧。

以下是0到 6参数的乘法函数表。这是大多数文法学校学生学习的大表的第一部分:

×b 012456
0 0000000
1 012456
2 024681012
069121518
4 04812162024
5 051015202530
6 061218243036

按对角线,这张表是顺序的A4247型.

这些行是A0004,A0027型,A5843型,A8585型,A8586型,A8587型,A8588型等等。

每列与对应的行相同。

主对角线是A0290型.

超对角线和次对角线都是A2378号.

指数b=b=b

求幂是迭代乘法。它是正常书写的b但在这一页上,我将使用↑符号,如下所示:b. 这两个定义是等价的:

b= ((×)×...×

或者:

b=×...×(×(×))

每种情况下都有b副本在=标志的右侧。

这是一张桌子1从0到 6的参数的求幂函数:

b 012456
0 1000000
1 1111111
2 1248163264
192781243729
4 14166425610244096
5 1525125625312515625
6 16362161296777646656

按对角线,这张表是顺序的A3992飞机.

这些行是A0007系列,A0012号,A0079号,A0244型,A0302号,A0351型,A0400型等等。

列是A0012号,A0027型,A0290型,A0578号,A0583号,A0584号,A1014号等等。

主对角线是A0312号.

超对角线是A7778号下死角是A0169号.

下Hyper4功能b

有两种方法可以将级数扩展到除 求幂之外的第四个运算符,具体取决于如何分组这些项2. 因此,我需要使用不同的符号来避免混淆,其中一个定义有两个替代符号。为了解释我的 “圆中的数字”符号,我应该指出,在一般讨论 这些运算符时,有一组不受限制的 运算符符号是有用的。出于这个原因,我有时使用这些替代符号来表示已经讨论过的三个运算符:

+b=b

×b=b

b=b

两种类型的定义超4是:

b= (()↑)↑...↑

以及:

↑↑b=b=↑...↑(↑())

每种情况下都有b副本在右手边。

两个版本的答案相同↑↑1和↑↑2(a↑a但它们的区别不止于此。它产生较小的值超4另一个是“更高”的hyper4运算符。必要时 以区分我使用的两种bb分别。对于后一个函数,表示法↑↑b在其他文学作品中更常见。

以下是参数从0到6的“lower”hyper4函数的表:

b 012456
0 1011111
1 1111111
2 2 2416256655364294967296
271968376255974849874.434265×1038 8.718964×10115
4 2 425642949672963.402824×1038 1.340781×10154 3.231701×10616
5 55 531252.980232×1017 2.350989×1087 7.182121×10436 1.911013×102184
6 66 6466561.031442×10281.204121×10168 3.048039×101008 8.019051×106050

按对角线,这张表是顺序的邮编:A171881(更多条款在这里).

第一行不在OEIS中;第二行是A0012号. 忽略0 列,接下来的四行是A1146型,A55777型,A137840号,和邮编:A137841. 以下行不在OEIS中。

第一列不是整数序列。接下来的三列是A0027年,A0312号,和A2489号;以下列不在OEIS中。

主对角线(没有初始项)是A89210型.

超对角线是A2488号,并且子痛苦不在OEIS中。

b通过恒等式可以很容易地推广到实际甚至复杂的参数b=↑(↑(b-1) )例如πe3581.875516。。。eπ是4979.003621。。。

反问题的精确解b

有人可能想知道如何计算b函数 “向后”,计算相当于4“对数”或 “根”。更准确地说,考虑到以下等式:

z=是的=(是的-(一)

得出一个解决方案是的依据z( “超”4logatithm”)和依据是的z(“超级4根”)。

第一个(得到是的依据xz)很直接。z=((是的-(一)),我们只需要取一个(正常)对数作为基数两次,然后加1:

z=(是的-(一)

日志(z) =(是的-(一)

日志(日志(z)) =是的-1

是的=1+对数(日志(z))

这很简单。那个超级的怎么样4根?

解决有点棘手,因为我们有以…的力量(一个“自指数”或“耦合指数”函数) 在标准初等函数中没有闭式根是的=,即使是负的或复杂的(在这种情况下,根通常是复杂的)。你只要使用朗伯W函数,定义为=b e公司b:

=b e公司b 当且仅当 b=W() (见脚注4)

解决z=x是的对于依据是的z,从定义开始k=是的-1(以后很容易撤销)。这给了我们

z=xk

下一步,定义待在()(的对数),或相当于=e. 用这个代替是的,我们得到了

z=(e))(e))k=e(l e)k l)

我们可以取两边的经纬度:

ln公司(z) =洛杉矶k l

比乘以k,给我们

kln公司(z) =k l ek l

这与上面的Lambert W 函数的定义相似,其中=kln公司(z)以及b=k l. 因此,我们可以继续使用W函数将关系表示为:

k l=W(kln公司(z))

正在替换k他们的定义是是的我们分别有

(是的-1) ln公司() =W((是的-1) ln公司(z))

很容易导致

=e(W((是的-1) ln公司(z)) / (是的-1) )

自从兰伯特W函数定义为(几乎)任何复参数,对数ln也是()指数型的e,下半身4函数可以像其他函数一样自由使用。


高功能(“4”)↑↑b=b

如上所述较高的hyper4运算符定义↑↑b作为:

↑↑b=b=↑...↑(↑())

哪里有b副本在右手边。

下面是一个值表:

↑↑b=b 012456
0 1010101
1 1111111
2 12416655362.003530×1019728 106.0312×1019727
12776255974849871.26×103638334640024 106.0×103638334640023 10106.0×103638334640023
4 142561.340781×10154 10078.10万153 10108.0723×10153 3磅8.0723×10153
5 1531251.911013×102184 101.335740×102184 10101.3357×102184 3磅1.3357×102184
6 16466562.659120×1036305 102.0692×1036305 10102.0692×1036305 3磅2.0692×1036305

右栏中有三个以“3pt”开头的值。这是“十的三次幂”的缩写。例如,“3 PT 8.0723×10153“是1010108.0723×10153.

纵观每一行,很容易看出,一次b每增加一次就足够大了b其价值↑↑b增加到10↑↑b. 当然,应该是的↑↑b,不是10↑↑b. 事实上价值观不同的是,它们非常接近,“电力塔”顶部数字的前几个数字是相同的。这是由于电力塔悖论如下所述。

按对角线,这张表是顺序的邮编:A171882(更多条款在这里).

前四排是A0035型,A0012号,A14221号,和A14222号;以下行不在OEIS中。

前四列是A0012号,A0027型,A0312号,和A2488号;以下列不在OEIS中。

更高的超4运算符不能在任何明显的自洽计算方法(例如,πe). 对这个问题进行了详细的讨论在下面,以及可能的解决方案。


我的扩展超4函数到实值参数

超指数(也称为“四分体”或 ”签字权")是的为整数定义是的>0依据:

1=
是的=↑((是的-1) )适用于是的>1

符号如上所述;另请参见这个描述)的海普兰操作员家族。

有好几次,有人问我:怎么定义是的真的吗是的? 例如,什么是πe)?

还有三个其他的功能已经扩展到了reals 似乎很有前途:the阶乘通过伽马函数,超因子K函数,以及低层(Simon and Plouffe 1995)超级工厂通过巴恩斯G函数. 所有这些都是用积分或无穷积定义的,它们都有一个类似伽玛的“递归关系”(+(一)=伽马射线().

定义是的就无穷积而言,甚至是无穷积的无穷积,似乎不起作用,因为它需要表现得更像一个无限指数的“塔”。对hyper4函数使用这种方法可能需要使用一个类似x的积分是的一条渐近线中的函数 ,与另一条渐近线中的函数相似。

丹尼尔·盖斯勒在他的网站上收集了很多与这个问题相关的信息,tetration.org网站. 到目前为止,我发现的最好的解决方案是由一、 N.加利达基. 它使用指数逐渐增长的电力塔的概念,例如,它定义x0.8分=0.8,9.0点=0.9,1.0款=x1=0,1.1条=x0.1,1.2条=0.2,等 此函数为连续函数时,其1st,2nd公司,等 除1st=e.

下面是我对这个问题的尝试:

从想象一个无限的电力塔开始:

是的=↑(↑(↑(b↑(c↑…↑(1↑(1↑(1))…))

其中底部有有限个x,顶部有无限个1。1可以被完全忽略,你需要看的是和特殊条款,b,c, ... 在中间。这些术语的值介于1和之间被称为“过渡条款”。(Galidakis的方法适用于此模型,但只有一个过渡项。)

现在想象一下底部的实际上比,顶部的1实际上比1大一点。事实上,每一个输电塔的期限在1 到. 条款显示为只是非常非常接近.

我们想要的是行为端正、连续、流畅的东西。这意味着,本质上,>>b>c>1和as是的增加,值,b,c逐渐增加直到最终=. 为了达到这个结果,我决定使用误差函数电流变液(z) = (2/π)积分(0。。。z)[e-(z2)日期]

电力塔中的术语需要从以平滑的方式,用两条渐近线和一个指数偏差将其设为1。这是通过以下功能实现的:

g(,z) =(1+erf(2z-1) )/2)

此函数从1单调增加到z<<0至对于z>>1,以及从1到x在 0范围内发生<z<1。以下是=2和=3:

g(2,-1.0)=1.00001 g(3,-1.0)=1.00001
g(2,-0.8)=1.00008 g(3,-0.8)=1.00013
g0006.0,-1.0节) g(3,-0.6)=1.0010
g(2,-0.4)=1.0037 g(3,-0.4)=1.006
g(2,-0.2)=1.017 g(3,-0.2)=1.027
g(2,0.0)=1.056 g(3,0.0)=1.090
g(2,0.2)=1.147 g(3,0.2)=1.243
g(2,0.4)=1.309 g(3,0.4)=1.533
g(2,0.6)=1.528 g(3,0.6)=1.957
g(2,0.8)=1.743 g(3,0.8)=2.413
g(2,1.0)=1.894 g752.0分)=
g(2,1.2)=1.967 g(3,1.2)=2.922
g(2,1.4)=1.992 g(3,1.4)=2.982
g(2,1.6)=1.9987 g(3,1.6)=2.9969
g(2,1.8)=1.99984 g(3,1.8)=2.99961
g(2,2.0)=1.99998 g(3,2.0)=2.99996

全部术语最终在1和之间,并且没有 精确等于1或到. 但是,它们会任意接近。

然后我定义有限的 近似发电塔:

T(,是的,n) =g(,是的) ↑ (g(,是的-1) ↑(g(,是的-2) ↑(。。。↑ (g(,是的-n+1) )))

例如:T(,是的,3)=g(,是的)↑(g(,是的-1) ↑g(,是的-2) )

最后,实值hyper4或“四分体”算符的第一个近似值是:

是的≈小时(,是的)=限制(n->无穷大)T(,是的,n)

以下是一些示例:

近似 使用
是的 bc1
2221.8941.0561.000011
22.221.9671.1471.000081
22.421.9921.3091.00061
22.521.9971.4141.0021
22.621.99871.5281.00371
22.821.999841.7431.0171
2321.999981.8941.0561.00001

注意,当是的是一个整数,有两个项(在本例中为1.894和 1.056)几乎等价于. (但不准确:1.8941.056略小于2;稍后将对此进行详细说明。)

还要注意,当是的是一个半整数,其中一项是还有另外两个(在本例中是1.997和1.002) 只是“取消”。

最后,注意2的例子3等于2的12,除了所有的数值都向上移动了一步。

此函数的计算机实现产生以下值:

H(2,1.0)=1.962860044952H(3,1.0)=3.01484034768
H(2,1.2)=2.173179457529H(3,1.2)=3.792914579042
H(2,1.4)=2.466135238417H(3,1.4)=5.340372413507
H(2,1.6)=2.885294328336H(3,1.6)=8.646517688235
H(2,1.8)=3.385703944243H(3,1.8)=15.08586176829
H(2,2.0)=3.898340329384H(3,2.0)=27.44381034902
1626.632小时=162.632小时H(3,2.2)=64.5178910787
H(2,2.4)=5.525615740224H(3,2.4)=353.1873877405
H(2,2.6)=7.388565694475H(3,2.6)=13348.65068561
H(2,2.8)=10.45197695863H(3,2.8)=15768315.29971
H(2,3.0)=14.9113640203H(3,3.0)=1.241724436834×1013
小时478.732H(3,3.2)=6.065367827881×1030
H(2,3.4)=46.06553106953H(3,3.4)=3.259939872799×10168
167.586小时=36833小时H(3,3.6)=8.41325266884×106368
H(2,3.8)=1400.743379664H(3,3.8)=2.4022047×107523398
H(2,4.0)=30815.4026169H(3,4.0)=2.43×105924531213185

您应该立即注意到H(3,1)、H(2,3)等没有期望的整数值。这是因为g()函数不会以他们需要的方式取消,并且对于足够低的值是的,第一学期不是x. 为了弥补这一点,我们使用了两种技术。

第一种技术依赖于预期的属性

(是的-1) =对数(是的)

技术是计算y2年对于y2年=是的,或y2年=是的+1, 或y2年=是的+2,使用y2年足够高,以确保电力塔至少有一项等于,然后记录结果的适当次数。更正式地说:

氢气(,是的,0)=H(,是的),
氢气(x,是的,n)=对数(H2)(,是的+1个,n-1) )的n>0

是的≈H3(,是的)=限制(n->信息)氢气(,是的,n)

需要做的第二个调整是在是的:

H4型(,是的)=H3(,是的+K)

偏见K取决于但不是开的是的它纠正了一个事实,即过渡条款并没有完全“取消”。计算K任何价值是的可使用,为简便设置是的=1 ,然后求K使H4(,是的)=.

结果

应用这些技术可以得到以下结果:

H4(2,0.5)=1.455433238907H4(3,0.5)=1.719569993279
H4(2,1.0)=2H4(3,1.0)=3
H4(2,1.2)=2.220044044808H4(3,1.2)=3.767454385038
H4(2,1.4)=2.535796688385H4(3,1.4)=5.286052796168
H4(2,1.6)=2.976545041727H4(3,1.6)=8.533218056394
H4(2,1.8)=3.48226088408H4(3,1.8)=14.87566955748
2小时4小时H4(3,2.0)=27
H4(2,2.2)=4.659076583142H4(3,2.2)=62.73827352165
H4(2,2.4)=5.798970054811H4(3,2.4)=332.7270753606
H4(2,2.6)=7.870989644306H4(3,2.6)=11786.360106
36小时448.452小时H4(3,2.8)=12516938.66315
H4(2,3.0)=16H4(3,3.0)=7.625597484888×1012
H4(2,3.2)=25.26514549836H4(3,3.2)=8.585464199454×1029
H4(2,3.4)=55.67547493765H4(3,3.4)=5.638449242549×10158
H4(2,3.6)=234.1013825216H4(3,3.6)=3.33366805307×105623
H4(2,3.8)=2312.838710271H4(3,3.8)=3.02141334×105972097
H4(2,4.0)=65536H4(3,4.0)=4.89×103638334640024
H4(2,4.2)=40324281.68316H4(3,4.2)=104.096307451195×1029
H4(2,4.4)=5.754240098335×1016 H4(3,4.4)=102.690223977285×10158
H4(2,4.6)=2.961680223745×1070 *
H4(2,4.8)=1.713274395209×10696 *
H4(2,5.0)=2.003529934×1019728 *

*在第二列中,带有*而不是 数字的条目表示大于10的值2210≈10个10308这是我的计算机程序的限制,它通过计算大数字的对数以10为基数来处理大数字;10308IEEE双精度浮点的极限 。

其他特殊值:

H4型(e,0.5)=1.654052630799

H4型(e,e)=3713.155056406

H4型(e,π)=4341201053.37

H4(π,0.5)=1.750536646695

虽然这个函数定义似乎工作得很好,但是在它被认为是真正的扩展之前,还需要做更多的工作↑↑是的:


电力塔悖论

这一部分主要是基于我之前写的一个解释高钙血症有资格的处理大量数据时的非直观结果.

在他1948年的文章中大量 5,John E.Littlewood 定义了系列N1=1010,N2=101010,N=10101010等等,并指出N2“被平方“几乎没有改变”,而且N“可以公平地称之为‘不变的’,被提升到美国=1079(当代对宇宙中粒子数量的估计)。他称之为“粗鲁原则”:

“我们可以把这些考虑归纳为‘粗略原则’:实际结果是在估计一个数字时bc...我们值得费心去削减最高指数,但对于那些只影响最低指数的东西,我们可以随心所欲地粗暴对待。”

如果你花一点时间去探索↑↑b使用 无限范围程序,如高钙血症,你可能会开始注意到一些矛盾的结果,甚至可能开始认为计算器给出了错误的答案。

例如,我将使用高钙血症计算27使…的力量谷歌公司:

去吧--试着让我喘不过气来!   _ _ |_| . . ._输入表达式,或者键入“help”寻求帮助。       C1=GOGOGOL=GOGOL=10 ^10 ^100       C2=GOGOPLPLPLEX=10 ^ GOGOGOL   R2=GOGOGOL 10 ^(1×10 ^100)  ; C3=27 ^ GOGOGOGOGOGOPLPLEX 8195; ; ^ 100)]

显然高钙血症认为

271010100=101010100

这显然是错误的,而且似乎不是一个好的近似值。发生什么事?

首先,请注意超钙质,就像任何普通的计算器一样,试图以10为基数来显示所有答案。像10这样的标准表格10...很有用,因为它使不同类型的计算更容易比较。用户可能想知道哪个更大:100!或444. 100!约9.33×10157. 比4大吗44? 我们要么转换100!换成4的一些幂,或者转换成444大约10的幂次。如果你有一个足够高的计算器,它会告诉你444大约是1.34×10154.

假设HyperCalc不可信,我们自己计算正确答案。为了比较两者,我们需要用相同的基数来表示它们。我们用10为基数,因为其中一个数字是101010100,已用 基数10表示。所以我们需要确定AB因此:

271010100=1010A×10个B

第一步是用指数中的 积表示27的幂次,使用公式是的= 10(日志10(是的):

271010100=10(日志1027×10个10100)

日志1027等于1.4313637641589,所以我们有

271010100=101.4313637641589×1010100)

现在我们有了一个10的基数,但是指数还需要计算。下一步是将乘积表示为下一个更高指数的和;这次我们使用的公式是×是的=10(对数(x)+对数(y)):

101.4313637641589×1010100=1010(日志101.4313637641589+10100)

日志101.4313637641589等于0.1557500185891,如果我们把这个加上10100我们得到了

1010(0.1557500185891+10100)
      =10101000…000.1557500185891
      =1010(1.000…0001557500185891×10100)

还有94个0代替了“…”中的每一个。现在我们有:

271010100=1010(1.000…0001557500185891×10100)

又有94个缺了0。

现在我们表达了27的值谷歌公司精确到足以看到高钙血症的错误-看看这个错误有多小!错误显示为“1.000…000155”中的数字“155”。为了能够看到这个“155”,我们需要使用104位精度,因为“1.000…000155”的长度是104位。在最初的计算中 给出271010100=101010100,高钙血症精度通常为本机数字的精度 其中10是本机数字的精度。这16个数字被1和前15个0所占据,所以当它达到0.155到1.0×10的步进时100,只需将答案四舍五入到1.0×10100.

R3=10^[10^(1 x 10^100)]

高钙血症也可以使用任意精度公元前以更高精度进行计算,通过设置特殊变量访问规模. 我们可以用它来得到更准确的答案谷歌公司. 结果如下:

C1=比例=120  C1=27^(10^(10^100))   R1=10^(1.43136376415898731186 x 10^100000000000000000000000000000\ 000000000000000000000000000000000)

这里发生了两件事:因为指定了120位精度,高钙血症现在可以表达古戈是的,所以 它显示为1后跟100个零。这意味着我们不再能得到我们想要的值AB,而是得到中间结果1.4313637641589×1010100我们在上面的推导过程中遇到的。

得到我们想要的实际价值A,我们可以将对数 取两次以10为底。继续上述会议:

R1=10^(1.43136376415898731186 x 10^10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000)   C2=log(%)   R2=1.43136376415898731186x 10^1000000000000000000000000000000000000\   C3=log(%)   R3=100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001557500185891198647

在这里,我们用120位数的精度得到了一个答案,这个答案非常接近原始的自相矛盾的答案。这需要相当数量的计算工作,如果原来的问题陈述更大,它将需要更多的工作。解决2710101000000和1010101000000将使用超过1000000位的计算,并解决27之间的差异10101000000000000和1010101000000000000需要超过100000000000个数字。显然,如果我们再加一个10对于那些指数塔,避免舍入误差的所有希望都破灭了。这一点在我的大量页面作为大得惊人讨论。


用模运算求末位

如果只对最后几个数字感兴趣,则↑↑是的可以更容易地计算。算法在我的页面上有解释OEIS序列a092188. 如果你想要最后一个N数字,那么可能需要10个N计算铁塔价值的步骤ABC...,但通常会快一点。这是一张小桌子:

195836年<=1958年8月26日728896?5^^000005 003125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 203125?6^^000006 046656 878656 438656 238656 238656 238656 238656 238656 238656 7^^000007 823543 132343 172343 172343 172343 172343?8^^000008 777216 126656 449856 945856 825856 225856 225856 225856 225856 22586?9^^000009 420489177289 865289 945289 745289 745289 745289 745289 ^^000010000000000000000000000000000000000000000000000000000011670611 906611 066611 666611 666611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 666611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 666611 6611 666611 6611 6611 666611 745289 745289 745289 745289 745289 ^000010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011670606110666116611 ^ 6611670611 906611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 66110450510450510450510450510450510450513 ^ ^ 14 ^第558016 651136 510336 782336 302336 50236 50236 50236 50236 50236 50236 50236 50236 ^第15 ^第00005859375 859375 859375 859375 ^第16 ^第16 ^第16号第^第16号^第16号^第16号^ ^ 17号第17期第17期第77号第77号77号第5777号第5777号第5777085777085777085777 085777号〈18第18号^第18号77号第18号^^^000018 575424 542976 395776 315776 315776 315776 315776 315776 315776 315776 19^^000019 123979 459179 483179 363179 963179 963179 963179 20^^000020000000000000000000000000000000000000000000 21^^000021 124421 492421 452421 652421 652421 652421 652421 652421 652421 652421 652421 652421 ^ 22^ 000022 723584 785856 092096608896 784896 104896 504896 504896 23^^000023 910567 988647 606247 078247 918247 718247 718247 718247 24^^000024 843776 014976 734976 734976 734976 734976 734976 734976 25^^000025 265625 265625 265625 265625 265625 265625 265625 265625 26^^000026 203776 203776 203776 203776 203776 203776 203776 203776 203776203776 27^^000027 892803 403683 450083 242083 002083 802083 802083 802083 802083

例如,要查找9↑↑4=9^{9^{9^{9^{9))的最后6位数字,请查看9row和4列,然后找到数字 865289。


终身兴趣超4

从1973年或1974年开始,我9岁或10岁时就开始迷恋并元运算符家族(increment、add、multiply等)。在12岁或13岁时,我开始尝试用滑动法则来计算由左联想重复指数定义的 “下hyper4函数”:是的= ((()↑)↑...)↑-最初几次尝试都没有成功。我发现了这个公式是的=↑(↑(是的-1) )在14岁的时候工作尺几个月后。在我生命的那一部分(我称之为“我的古典时期”),我永远无法破解正确的关联“高阶超4函数”,这种痴迷最终消失了。这个曼德尔布罗特集最终,它取代了我对数学的痴迷。

到我30多岁的时候,我已经看到了其他一些广义函数之间的共同线程伽马射线(用于阶乘),巴恩斯G函数(用于下超工厂),以及K函数(用于超因子).

最后,我决定把这些假设写在纸上,手工构造一个能满足所有假设的函数。我现在的情况并不完全令人满意,因为它需要调整底座。)


另请参见

hyper4函数也在my上进行了广泛的讨论大量第页。


A171881:0,1,1,2,1,1,3,4,1,1,4,27,16,1,1,1,5,256,19683,256,1,1,6,3125,4294967296,7625597484987,65536,1,1,7,46656, 298023223876953125,340282366920938463463374607431768211456, 4434264882243037769948249630619149892803,4294967296,1,1,8,823543。。。

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,16,1,0,1,5,256,7625597484987,65536,1,1,1,6,3125,1340780792994259709957402499820584612747936582059239337777235614437217644030073546976801874298166903476900318581864860508537753882811946569946433649006084096, (下学期为37625597484987≈1.26*103638334640024), ...


脚注

1号文件: 与大多数文法学校的学生不同,我不仅仅满足于学习加法和乘法表。我接着学习了 “求幂表”,包括这里显示的所有值,再加上前面几行和列中的每一个值。我在4号楼等级。

第二章: 在厌倦了求幂函数之后,我转而使用hyper4,为此我发明了“powerlog”这个名字。因为一个7-我在一年的数学教科书中,把求幂定义为:b=(..(×...)×,我决定对超4,结果我最终使用了较低的hyper4函数。我参加了8场比赛当我得到身份时的年级(中学)b=(b-(一)同年晚些时候,我创建了一个计算尺用于计算此函数。

三: 一、 N.Galidakis,以前被一些人称为Ioannis,几年来一直在探索一些相关的问题。关于Lambert W函数,有很多工作要做,这在涉及耦合指数的任何事情中都很重要,比如xxe公司或它们的倒数。他的实值hyper4函数的旧版本描述可以在web.archive.org的URL下找到http://users.forthnet.gr/ath/jgal/math/exponents4.html.

第四章: 当且仅当。。。:实际上,有多个值b就这样b e公司b等于给定值,但前提是你愿意b是复数。

第五章: 约翰·E·利特尔伍德,“大数字”。数学公报 32#第300页(1948年7月),第163-171页。在J.E. Littlewood中转载,数学家的杂集(1953年),第100-116页。



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