Hyper4迭代指数函数

下Hyper4函数一_④b条

有两种方法可以将序列扩展到第四个运算符求幂，取决于如何对项进行分组².因为这个我需要使用不同的符号来避免混淆在这些定义中，有两个替代符号。为了解释我的“圆圈中的数字”符号，我应该在讨论中指出一般来说，这些运算符有一个无限集运算符符号。出于这个原因，我有时会使用以下替代方法已经讨论过的三个运算符的符号：

一+b条=一^①b条

一×b条=一^②b条

一↑b条=一^③b条

两种类型的超4是：

一_④b条= ((一↑一)↑一)↑...↑一

和：

一↑↑b条=一^④b条=一↑...↑(一↑(一↑一))

其中每种情况都有b条的副本一在右侧。

这两个版本产生的答案相同一↑↑1和一↑↑2(一和a↑a但它们之间的差异不止于此。第一个一个产生较小的值，所以我称之为“较低的超4操作符”，另一个是“高级”超4操作符。必要时来区分我使用的两种一_④b条和一^④b条分别是。对于后一个函数，符号一↑↑b条是在其他文学中更常见。

以下是0到6的参数的“lower”hyper4函数表：

一_④b条 0 1 2 三 4 5 6

0 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 √2 2 4 16 256 65536 4294967296
三 ^三√三三 27 19683 7625597484987 4.434265×10³⁸ 8.718964×10¹¹⁵
4 √2 4 256 4294967296 3.402824×10³⁸ 1.340781×10¹⁵⁴ 3.231701×10⁶¹⁶
5 ⁵√5 5 3125 2.980232×10¹⁷ 2.350989×10⁸⁷ 7.182121×10⁴³⁶ 1.911013×10²¹⁸⁴
6 ⁶√6 6 46656 1.031442×10²⁸ 1.204121×10¹⁶⁸ 3.048039×10¹⁰⁰⁸ 8.019051×10⁶⁰⁵⁰

按反对偶法，这个表是顺序的A171881号(此处有更多术语).

第一行不在OEIS中；第二个是A0012号。正在忽略0列中，接下来的四行是A1146号,A55777号,A137840号、和A137841号。以下行不在OEIS中。

第一列不是整数序列。接下来的三列是A0027号,A0312号、和A2489型；以下列不在OEIS中。

主对角线（无初始项）为A89210型.

超对角线是A2488型，并且次对角线不在OEIS中。

一_④b条可以很容易地推广到实的甚至复杂的身份中的参数一_④b条=一↑(一↑(b条-1)).例如，π_④e（电子）是3581.875516...和e（电子）_④π是4979.003621...

逆的精确解一_④b条

人们可能想知道如何计算一_④b条功能“向后”，计算相当于超₄“对数”或“root”。更准确地说，给定方程式：

z（z）=x个_④年=x个^{x个^(年-1)}

导出解决方案年依据x个和z（z）（该“超链接₄logatithm”）及其解决方案x个依据年和z（z）（“超级₄根”）。

第一个（获得年依据x个和z（z）)很漂亮简单明了。从开始z（z）=x个^{(x个^(年-1))}，我们只是需要取（正常）对数为底x个两次，然后加1：

z（z）=x个^{x个^(年-1)}

日志_x个(z（z）) =x个^(年-1)

日志_x个（日志_x个(z（z）)) =年-1

年=1+对数_x个（日志_x个(z（z）))

这很容易。超级跑车怎么样₄根？

解决x个有点棘手，因为我们有一个x个到的权力x个（“自指数”或“耦合指数”函数）其在标准基本函数中没有闭式根。然而，总有一个根年=x个^x个，即使x个为负值或complex（在这种情况下，根通常是complex）。你只是有使用Lambert W函数，定义为逆属于一=英国^b条:

一=英国^b条当且仅当b条=W公司(一)（见脚注⁴)

要解决z（z）=x个_④年对于x个依据年和z（z），开始通过定义k个=年-1（稍后很容易撤消）。这给了我们

z（z）=x个^{x个^k个}

接下来，定义我要加入(x个)（的横向对数x个)，或同等地x个=e（电子）^我。将此替换为x个的，我们得到

z（z）=（e）^我)^{（e）^我)^k个}=e（电子）^{（1）^千升)}

我们可以取两侧的经纬度：

在(z（z）) =我是^千升

比乘以k个，给了我们

k个在(z（z）) =k l e公司^千升

这与Lambert W的定义类似上面的函数，带有一=k个在(z（z）)以及b条=千升.这样我们就可以继续了并使用W函数将关系表示为：

千升=W公司(k个在(z（z）))

现在更换k个和我其定义如下年和x个我们分别有

(年-1）在(x个) =W公司((年-1）在(z（z）))

这很容易导致

x个=e（电子）^{(W公司((年-1）在(z（z）)) / (年-1))}

自从LambertW公司函数是为（几乎）任何复数定义的参数，对数ln也是(一)和指数e（电子）^一，的低级超链接₄函数可以像每个函数一样自由使用其他功能。

高级Hyper4函数（“四分音符”）一↑↑b条=一^④b条

如上所述较高的hyper4运算符定义一↑↑b条作为：

一↑↑b条=一^④b条=一↑...↑(一↑(一↑一))

在哪里b条的副本一在右侧。

以下是数值表：

一↑↑b条=一^④b条 0 1 2 三 4 5 6

0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 4 16 65536 2.003530×10¹⁹⁷²⁸ 10^{6.0312×10¹⁹⁷²⁷}
三 1 三 27 7625597484987 1.26×10^{3638334640024} 10^{6.0×10^{3638334640023}} 10^{10^{6.0×10^{3638334640023}}}
4 1 4 256 1.340781×10¹⁵⁴ 10^{8.0723×10¹⁵³} 10^{10^{8.0723×10¹⁵³}} 3 PT 8.0723×10¹⁵³
5 1 5 3125 1.911013×10²¹⁸⁴ 10^{1.335740×10²¹⁸⁴} 10^{10^{1.3357×10²¹⁸⁴}} 3 PT 1.3357×10²¹⁸⁴
6 1 6 46656 2.659120×10³⁶³⁰⁵ 10^{2.0692×10³⁶³⁰⁵} 10^{10^{2.0692×10³⁶³⁰⁵}} 3 PT 2.0692×10³⁶³⁰⁵

右栏中有三个以“3 PT”开头的值。这是一个“十的三次方”的缩写。例如，“3 PT8.0723×10¹⁵³“是10^{10^{10^{8.0723×10¹⁵³}}}.

阅读每一行很容易看出b条变大了足够了，每次你增加b条乘以一一↑↑b条增加到10^{一↑↑b条}。但当然，它应该是一^{一↑↑b条}，而不是10^{一↑↑b条}事实上，价值观是不同，但它们非常接近“电力塔”顶部的数字相同。这是由于这个电力塔悖论如下所述。

按反对偶法，这个表是顺序的A171882号(此处有更多术语).

前四行是A0035号,A0012号,A14221型、和A14222号；以下行不在OEIS中。

前四列是A0012号,A0027号,A0312号、和A2488型；以下列不在OEIS中。

越高超4运算符不能在任何明显和自持的到达reals的方法（例如，计算，π^④e（电子）).讨论了这个问题最终在下面，以及可能的解决方案。

我的扩展超4实值参数函数

超指数（也称为“四分体”或"签字权")x个^④年为整数定义年>0作者：

x个^④1 =x个
x个^④年=x个↑(x个^④(年-1））用于年>1

符号^④如上所述；另请参见这个描述)的超N家庭操作员。

有好几次，人们问我：如何定义x个^④年真的年？例如，什么是π^④e（电子）)?

有三个其他功能已经扩展到reals以看起来很有希望的方式：阶乘通过这个Gamma函数,超阶乘由K函数和下部（西蒙和普劳夫1995)超因子的通过巴恩斯G函数。所有这些都在中定义积分项或无穷乘积项都有一个类似Gamma的“递归关系”(x个+1) =x个伽马射线(x个).

定义x个^④年用无穷乘积表示，或即使是无穷积分乘积的无穷乘积，看起来也像它无法工作，因为它需要表现得更像无限指数“塔”。对hyper4函数使用此方法将可能需要使用类似于x的积分^年功能在一个渐近线中，在另一个中类似于较低的函数。

丹尼尔·盖斯勒收集了很多与此相关的信息在他的网站上发布，tetration.org网站.

迄今为止，我发现最好的解决方案是由I.N.Galidakis开发的^三它使用了逐渐增长的电力塔概念指数-例如，它定义x个^④0.8=x个^0.8,x个^④0.9=x个^0.9,x个^④1.0=x个¹=x个^x个⁰,x个^④1.1=x个^{x个^0.1},x个^④1.2=x个^{x个^0.2}等。虽然此函数是连续的，但它的1^标准, 2^第等。除1以外，导数不是^标准导数，当x个=e（电子）.

下面是我自己对这个问题的尝试：

首先想象一个无限大的电力塔的形式：

x个^④年=x个↑(x个↑(一↑(b条↑(c（c）↑...↑(1↑(1↑(1)))...))))

底部有有限个x，而底部有无限个顶部有1个。1可以完全忽略你需要看看x个的和特殊条款一,b条,c（c）,…在中间。这些术语的值介于1和x个和是称为“过渡条款”。（Galidakis的方法适用于此模型，但仅有一个过渡期。）

现在想象一下x个在底部的实际上只是一点点小于x个顶部的1实际上有点小大于1。事实上，每一个电力塔的期限在1之间和x个。所示条款如下x个只是非常非常接近x个.

我们想要的是行为良好、连续和流畅的东西。那个本质上是指，x个>一>b条>c（c）>1和as年增加，值属于一,b条,c（c）逐渐增加直至最终一=x个.至我决定使用误差函数电流变液(z（z）) =(²/_√π)积分_{(0...z（z）)}[e（电子）^{-(z（z）²)}日期]

电力塔中的术语需要与x个平滑度为1具有两个渐近线和指数偏差的方式。这是由以下功能完成：

克(x个,z（z）) =x个^{（1+erf（2z（z）-1))/2)}

此函数从1单调递增z（z）<<0至x个对于z（z）>>1，以及从1到x个发生在范围内0<z（z）<1.以下是以下示例x个=2和x个=3:

克(2,-1.0) = 1.00001 克(3,-1.0) = 1.00001
克(2,-0.8) = 1.00008 克(3,-0.8) = 1.00013
克(2,-0.6) = 1.0006 克(3,-0.6) = 1.0010
克(2,-0.4) = 1.0037 克(3,-0.4) = 1.006
克(2,-0.2) = 1.017 克(3,-0.2) = 1.027
克(2, 0.0) = 1.056 克(3, 0.0) = 1.090
克(2, 0.2) = 1.147 克(3, 0.2) = 1.243
克(2, 0.4) = 1.309 克(3, 0.4) = 1.533
克(2, 0.6) = 1.528 克(3, 0.6) = 1.957
克(2, 0.8) = 1.743 克(3, 0.8) = 2.413
克(2, 1.0) = 1.894 克(3, 1.0) = 2.752
克(2, 1.2) = 1.967 克(3, 1.2) = 2.922
克(2, 1.4) = 1.992 克(3, 1.4) = 2.982
克(2, 1.6) = 1.9987 克(3, 1.6) = 2.9969
克(2, 1.8) = 1.99984 克(3, 1.8) = 2.99961
克(2, 2.0) = 1.99998 克(3, 2.0) = 2.99996

全部术语最终介于1和x个，但没有精确等于1或到x个然而，他们会武断地关闭。

然后我定义一个有限的近似功率消耗：

T型(x个,年,n个) =克(x个,年) ↑ (克(x个,年-1) ↑ (克(x个,年-2)↑ (... ↑ (克(x个,年-n个+1)))))

例如：T(x个,年,3) =克(x个,年)↑(克(x个,年-1)↑克(x个,年-2))

最后，是实值超4或“四分音符”的第一近似操作员是：

x个^④年≈H(x个,年)=限制_{(n个->无穷大）}T型(x个,年,n个)

以下是一些示例：

到近似值使用
x个^④年 x个^{一^{b条^c（c）¹}}
2^④2 2^{1.894^{1.056^1.00001¹}}
2^④2.2 2^{1.967^{1.147^1.00008¹}}
2^④2.4 2^{1.992^{1.309^1.0006¹}}
2^④2.5 2^{1.997^{1.414^1.002¹}}
2^④2.6 2^{1.9987^{1.528^1.0037¹}}
2^④2.8 2^{1.99984^{1.743^1.017¹}}
2^④3 2^{1.99998^{1.894^{1.056^1.00001}}}

请注意，当年是一个整数，有两个项（1.894和在本例中为1.056），几乎等同于x个.（但不是精确值：1.894^1.056略小于2；稍后将对此进行详细介绍。）

还要注意，当年是半整数，其中一项是的平方根x个和其他两个（本例中为1.997和1.002）只是“取消”。

最后，请注意2的示例^④3和那个一样对于2^④2，但所有值都在中上移了一步发电塔。

此函数的计算机实现产生以下值：

H（2,1.0）=1.962860044952 H（3，1.0）=3.01484034768
H（2,1.2）=2.173179457529 H（3，1.2）=3.792914579042
H（2,1.4）=2.466135238417 H（3，1.4）=5.340372413507
H（2,1.6）=2.885294328336 H（3.1.6）=8.646517688235
H（2,1.8）=3.385703944243 H（3，1.8）=15.08586176829
H（2,2.0）=3.898340329384 H（3.2.0）=27.44381034902
H（2,2.2）=4.510162634986 H（3.2.2）=64.5178910787
H（2,2.4）=5.525615740224 H（3,2.4）=353.1873877405
H（2,2.6）=7.388565694475 H（3.2.6）=13348.65068561
H（2,2.8）=10.45197695863 H（3.2.8）=15768315.29971
H（2,3.0）=14.91136402023 高（3,3.0）=1.241724436834×10¹³
H（2,3.2）=22.78737180478 高（3，3.2）=6.065367827881×10³⁰
H（2,3.4）=46.06553106953 高（3,3.4）=3.259939872799×10¹⁶⁸
H（2,3.6）=167.5636835838 H（3,3.6）=8.41325266884×10⁶³⁶⁸
H（2,3.8）=1400.743379664 H（3，3.8）=2.40222047×10^7523398
H（2，4.0）=30815.4026169 H（3.4.0）=2.43×10^{5924531213185}

您应该立即注意到H（3,1）、H（2,3）等没有应为整数值。这是因为这些术语由克（）函数不会以其需要，并且对于足够低的值年，第一学期不是x个。为了弥补这一点，使用了两种技术。

第一种技术依赖于预期的属性

x个^④(年-1） =对数_x个(x个^④年)

技术是计算x个^④第2年对于第2年=年，或第2年=年+1,或第2年=年+2，使用第2年高度足以确保电力塔至少有一项等于x个，然后使用记录适当次数的结果。更正式地说：

氢气(x个,年，0）=H(x个,年),
氢气(x个,年,n个)=对数_x个（H2(x个,年+1,n个-1））的n个>0
以及
x个^④年≈H3(x个,年)=限制_{(n个->inf）}氢气(x个,年,n个)

需要进行的第二个调整是添加恒定偏差到年:

H4型(x个,年)=H3(x个,年+K（K）_x个)

偏见K（K）_x个取决于x个但不在年；它针对事实上，过渡条款并没有完全“抵消”。收件人计算K（K）_x个的任何值年可以使用，以简化设置年=1并找出K（K）_x个这样H4(x个,年)=x个.

结果

应用这些技术可以产生以下结果：

H4（2,0.5）=1.455433238907 H4（3,0.5）=1.719569993279

H4（2，1.0）=2 H4（3，1.0）=3
H4（2,1.2）=2.220044044808 H4（3，1.2）=3.767454385038
H4（2,1.4）=2.535796688385 H4（3,1.4）=5.286052796168
H4（2,1.6）=2.976545041727 H4（3,1.6）=8.533218056394
H4（2,1.8）=3.48226088408 H4（3，1.8）=14.87566955748
H4（2，2.0）=4 H4（3，2.0）=27
H4（2，2.2）=4.659076583142 H4（3，2.2）=62.73827352165
H4（2,2.4）=5.798970054811 H4（3,2.4）=332.7270753606
H4（2,2.6）=7.870989644306 H4（3.2.6）=11786.360106
H4（2,2.8）=11.17544894536 H4（3,2.8）=12516938.66315
H4（2,3.0）=16 H4（3,3.0）=7.625597484988×10¹²
H4（2,3.2）=25.26514549836 H4（3,3.2）=8.585464199454×10²⁹
H4（2,3.4）=55.67547493765 H4（3,3.4）=5.638449242549×10¹⁵⁸
H4（2,3.6）=234.1013825216 H4（3,3.6）=3.33366805307×10⁵⁶²³
H4（2,3.8）=2312.838710271 H4（3，3.8）=3.02141334×10^5972097
H4（2,4.0）=65536 H4（3,4.0）=4.89×10^{3638334640024}
H4（2,4.2）=40324281.68316 H4（3，4.2）=10^{4.096307451195×10²⁹}
H4（2,4.4）=5.754240098335×10¹⁶ H4（3，4.4）=10^{2.690223977285×10¹⁵⁸}
H4（2,4.6）=2.961680223745×10⁷⁰ *
H4（2,4.8）=1.713274395209×10⁶⁹⁶ *
H4（2,5.0）=2.003529934×10¹⁹⁷²⁸ *

*在第二列中，包含*而不是数字表示大于10的值^{2^2¹⁰}≈10^10³⁰⁸.这是我的计算机程序的限制，它可以处理大量通过计算以10为底的对数来计算数字；10³⁰⁸是限制IEEE双精度浮点。

其他特殊值：

H4型(e（电子）,0.5) = 1.654052630799

H4型(e（电子）,e（电子）) = 3713.155056406

H4型(e（电子）,π) = 4341201053.37

H4（π，0.5）=1.750536646695

虽然这个函数定义似乎工作得很好，但更多的工作是在它被视为x个↑↑年:

需要对任意大的限制进行明确定义年.错误函数收敛得很快，但由于用于发电塔中的术语，它可能收敛得不够快如果电力塔很高。因此，即使“偏差”是完全调整为较小的值年同样的偏见会不能产生更大的预期结果年然而公式对于我测试的值似乎表现良好都在1范围内<x个^④年< 10^10³⁰⁸.

不同值的偏差不同x个。对于x个更大的与2.834相比，偏差为正，否则为负。除了确定此交叉点不是e（电子）=2.71828...我没有进一步调查。也许还有一个“更好”克(x个,z（z）)将涉及与错误函数类似的函数但是具有稍微不同的形状，从而不需要偏置。如果这种偏见是不可避免的，那么这是一个令人信服的论据将是必需的。

需要进一步扩展才能处理年<1,x个<1或复杂的x个和年.

权力悖论

本节主要基于我之前写的解释专门用于超计算器有资格的非直觉处理大量数据时的结果.

在他1948年的文章中大数字 ⁵约翰·利特伍德定义系列N个₁= 10¹⁰,N个₂= 10^10¹⁰,N个_三= 10^{10^10¹⁰}等，并指出N个₂“实际上是”没有被“平方”改变，而且N个_三“可以公平地称之为通过提升到“u个= 10⁷⁹（a）宇宙中粒子数量的当代估计）。他称之为“粗糙原则”：

“我们可以将这些考虑归纳为‘粗糙原则’：实际结果是在估计一个数字时一^{b条^{c（c）^...}}削减最高指数是值得的，但我们可以做到对那些只对最底层产生影响的事情，要像我们喜欢的那样粗鲁。"

如果你花点时间探索一↑↑b条使用无限制范围的程序，如超级计算，你会的可能开始注意到一些矛盾的结果，甚至可能开始认为计算器给出了错误的答案。

例如，我将使用超计算器计算27到的力量googolplex公司:

去吧——试着让我溢出来！ _ _|_| . . ._ _ ._ _ ._ | _| | | | | ) (-` | ( ,-| | (~ ~ 7 |~ ~' ~ ~ `~` ~ ~-' 输入表达式，或键入“help”以获取帮助。 C1=谷歌=10^100 R1=谷歌：1 x 10^100 C2=谷歌综合=10^谷歌 R2=谷歌综合指数：10^（1 x 10^100） C3=27^谷歌综合 R3=10^[10^（1x10^100）]

显然超计算器认为

27^{10^10¹⁰⁰}= 10^{10^10¹⁰⁰}

这显然是错误的，而且看起来也不太好近似值。发生什么事？

首先，请注意超计算器与任何普通计算器一样尝试以包含使用10作为的形式显示其所有答案底座。标准形式，如10^{10^{...^X}}是有用的，因为它使不同类型的计算易于比较。用户可能想知道哪个更大：100！或4^4⁴. 100!是关于9.33×10¹⁵⁷.那大于4吗^4⁴？我们需要转换100！4的幂，或转换为4^4⁴以某种力量10.如果你有一个足够高的计算器，它会告诉你那个4^4⁴约为1.34×10¹⁵⁴.

假设HyperCalc不可信，并计算自己回答正确。为了比较两者，我们需要用相同的基础表达它们。让我们以10为基数，因为1数字中的10个^{10^10¹⁰⁰}，已经表示为基数10。所以我们需要确定A类和B类这样：

27^{10^10¹⁰⁰}= 10^{10^{A类×10^B类}}

第一步是用一个指数乘积，使用公式x个^年=10^{（日志₁₀(x个)×年)}:

27^{10^10¹⁰⁰}= 10^{（日志₁₀27×10^10¹⁰⁰)}

日志₁₀27大约是1.4313637641589，所以我们有

27^{10^10¹⁰⁰}= 10^{1.4313637641589×10^10¹⁰⁰)}

现在我们有一个10的基数，但指数仍然需要计算步骤是将乘积表示为下一个更高指数中的和；这次我们使用的公式是x个×年= 10^{（对数（x）+对数（y））}:

10^{1.4313637641589×10^10¹⁰⁰}= 10^{10^{（日志₁₀1.4313637641589 + 10¹⁰⁰)}}

日志₁₀1.4313637641589约为0.1557500185891，如果我们加上这个到10¹⁰⁰我们得到

10^{10^{(0.1557500185891 + 10¹⁰⁰)}}
= 10^{10^{1000...000.1557500185891}}
= 10^{10^{(1.000...0001557500185891×10¹⁰⁰)}}

其中每个“…”的位置还有94个0。现在我们有：

27^{10^10¹⁰⁰}= 10^{10^{(1.000...0001557500185891×10¹⁰⁰)}}

又是94个0。

现在我们已经表示了27的值^{googolplex公司}精确到足以看见超计算器的错误-看看这个错误有多小！这个错误显示为“1.000…000155”中的数字“155”。到偶数要看到这个“155”，我们需要使用104位精度因为“1.000…000155”是104位数字长。在原始计算中给予27^{10^10¹⁰⁰}= 10^{10^10¹⁰⁰},超级计算习惯于默认精度，即系统的本机精度，这通常是16位数的精度。这16位数字是被1和前15个0占据-所以当它添加到0.155到1.0×10的步骤¹⁰⁰，它只是圆的偏离1.0×10的答案¹⁰⁰.

R3=10^[10^（1x10^100）]

超计算器也可以使用任意决定公元前做数学题在更高精度下，通过设置特殊变量访问规模。我们可以用它来得到27分的更准确答案^{googolplex公司}。结果如下：

C1=刻度=120 C1=27^（10^（10 ^ 100）） R1=10^（1.43136376415898731186 x 10^10000000000000000000000000000\000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 )

这里发生了两件事：因为120位精度明确规定，超计算器现在可以表达古戈尔确切地说，所以它显示为1后跟100个零。这意味着反过来我们不再得到我们想要的值A类和B类，但取而代之的是中间结果1.4313637641589×10^10¹⁰⁰我们在上述推导过程中遇到。

要获得所需的实际值A类，我们可以取对数以10为基数两次。继续上述课程：

R1=10^（1.43136376415898731186 x 10^10000000000000000000000000000\000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ) C2=对数（%） R2=1.43136376415898731186 x 10^100000000000000000000000000000\00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 C3=对数（%） R3=1000000000000000000000.000000000000000000000000000000000000000\00000000000000000000000000000000.1557500185891198647

这里我们用120位精度来得到答案非常接近最初的自相矛盾的答案。这需要公平计算工作量，如果原始问题陈述如果更大，则需要更多的工作。解决27之间的差异^{10^{10^1000000}}和10^{10^{10^1000000}}将占用超过1000000位数的计算，并解析27之间的差异^{10^{10^{1000000000000}}}和10^{10^{10^{1000000000000}}}需要超过100000000000位数字。很明显，如果我们再增加一个10向那些指数塔致敬，避免舍入误差的所有希望都破灭了。对这一点进行了探讨在我的大数字页面作为的一部分无法承受的更大讨论。

使用模运算求最终数字

如果您只对最后几个数字感兴趣X↑↑Y（Y）可以更容易地进行计算。对算法进行了解释在我的页面上OEIS序列a092188。如果您想要最后的N个数字，则可能需要大约10^N个计算步骤电力的价值A类^{B类^{C类^...}}，但通常是稍微快一点。这里有一张小桌子：

x^^y的最后6位数字，对于2<=x<=27和1<=y<=91 2 3 4 5 6 7 8 92^^ 000002 000004 000016 065536 156736 428736 748736 948736 948736 3^^ 000003 000027 484987 739387 355387 595387 195387 195387 195387 4^^ 000004 000256 084096 392896 208896 328896 728896 728896 728896 5^^ 000005 003125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 6^^ 000006 046656 878656 438656 238656 238656 238656 238656 238656 7^^ 000007 823543 132343 172343 172343 172343 172343 172343 172343 8^^ 000008 777216 126656 449856 945856 825856 225856 225856 225856 9^^ 000009 420489 177289 865289 945289 745289 745289 745289 745289 10^^ 000010 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 11^^ 000011 670611 906611 066611 666611 666611 666611 666611 666611 12^^ 000012 448256 094016 596416 172416 412416 012416 012416 012416 13^^ 000013 592253 549053 325053 645053 045053 045053 045053 045053 14^^ 000014 558016 651136 510336 782336 302336 502336 502336 502336 15^^ 000015 859375 859375 859375 859375 859375 859375 859375 859375 16^^ 000016 551616 255616 015616 415616 415616 415616 415616 415616 17^^ 000017 764177 229777 125777 485777 085777 085777 085777 085777 18^^ 000018 575424 542976 395776 315776 315776 315776 315776 315776 19^^ 000019 123979 459179 483179 363179 963179 963179 963179 963179 20^^ 000020 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 21^^ 000021 124421 492421 452421 652421 652421 652421 652421 652421 22^^ 000022 723584 785856 092096 608896 784896 104896 504896 504896 23^^ 000023 910567 988647 606247 078247 918247 718247 718247 718247 24^^ 000024 843776 014976 734976 734976 734976 734976 734976 734976 25^^ 000025 265625 265625 265625 265625 265625 265625 265625 265625 26^^ 000026 203776 203776 203776 203776 203776 203776 203776 203776 27^^ 000027 892803 403683 450083 242083 002083 802083 802083 802083

例如，查找9的最后6位↑↑4 = 9^{9^{9^{9))),看9号^第个行和4^第个列，并查找数字865289

交互式探索

我的LWFI公司游戏（基于LNGI）提供了用于探索超4（和超5）值的界面。选择右上角标有“*^↑↑”的按钮，然后调整滑块A类,B类,C类、和D类控制表达D类↑↑(C类^{A类×B类)).

终身兴趣超4

童年时对并元算子家族的痴迷（增量，加法、乘法等……）始于1973年或1974年，当时我9岁或10岁旧的。12岁或13岁时，我开始研究“较低的超4函数”（我称之为“powerlog”²)由左联词定义指数重复：x个_④年=(((x个↑x个)↑x个)↑...)↑x个-左联词的选择来自一本使用左撇子的高中数学教科书用括号定义重复乘法的指数运算。我想做一个滑尺来计算这个函数，然后最初的几次尝试都没有成功。我算出了公式x个_④年=x个↑(x个↑(年-1））14岁时工作滑尺几个月后。在我生命中的那一部分（我称之为“古典时期”）可以破解右相关的“高级超4功能”这种痴迷最终消失了。1985年Mandelbrot集合取代它成为我最主要的数学痴迷。

“higher”hyper4函数的真正扩展仍在在我的脑海中，到了30多岁的时候，我已经看到了其他一些广义函数伽马射线（用于阶乘),巴恩斯G函数（用于低超因子)、和K函数（用于超阶乘).

最后，我决定把这些假设写在纸上手动构造一个满足所有这些条件的函数。我做了什么如上所述并不完全令人满意，因为需要不同的偏见K（K）_x个每个底座x个.

另请参见

hyper4函数也在我的大数字第页。

A171881:0，1，1，2，1，3，4，1，4，27，16，1，5，256，19683, 256, 1, 1, 6, 3125, 4294967296, 7625597484987, 65536, 1, 1, 7, 46656,298023223876953125, 340282366920938463463374607431768211456,443426488243037769948249630619149892803, 4294967296, 1, 1, 8, 823543, ...

A171882:1，1，0，1，1，1，1，2，1，0，1，3，4，1，1，1，4，27，16, 1, 0, 1, 5, 256, 7625597484987, 65536, 1, 1, 1, 6, 3125,13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084096,（下学期是3^{7625597484987}≈1.26*10^{3638334640024}), ...

脚注

1 : 与大多数文法学校的学生不同，我不仅仅满足于学习加法和乘法表。我继续学习“指数表”，包括此处显示的所有值，以及前几行和前几列中的每一行都有更多的内容。我参加了第4个^第个等级。

2 : 在厌倦了指数函数之后，我继续前进我发明了“powerlog”这个名字。因为7^第个-我在一年的数学教科书中被定义为：一^b条=(..(一×一)×一...)×一，我决定使用相同的类型的定义超4结果我最终工作了使用较低的hyper4函数。我是8号选手^第个等级（中等学校）当我获得身份一_④b条=一^{一^(b条-1)}；同年晚些时候，我创建了习俗滑动尺用于计算该函数。

三： I.N.Galidakis，以前被一些人称为Yiannis（或Ioannis），一直在探索一些相关问题年。有很多与Lambert W函数相关的工作在涉及耦合指数的任何情况下都很重要，例如x个^x个和X射线^x个或它们的倒数。的当前版本实值hyper4函数描述位于http://ingalidakis.com/math/exponents4.html，但我找到了由于颜色选择不当而难以辨认。较旧、清晰的版本可以在web.archive.org上找到，请输入URLhttp://users.fortnet.gr/ath/jgal/math/exponents4.html（看着2003年或2004年）和http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/exponents4.html（看着2006或2007年）。

4 : 当且仅当。。。：实际上，有多个值b条这样的话英国^b条等于给定值一，但前提是你愿意一和b条是复数。

5 : John E.Littlewood，《大数字》。数学公报 32#300（1948年7月），163-171。重印并在J.E.中添加。利特伍德，数学家杂记（1953年），第100-116页。

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第30节