超4迭代指数函数

添加一+b=一^①b

加法可以看作是一种反复的添加一个的动作：

一+b=一+1+1+1+1。。。

哪里有b副本1在=签字。

这是一个从0到6的参数的加法函数表是大多数文法学校学生的第一个大表学习：

一+b 0 1 2 三 4 5 6

0 0 1 2 三 4 5 6
1 1 2 三 4 5 6 7
2 2 三 4 5 6 7 8
三三 4 5 6 7 8 9
4 4 5 6 7 8 9 10
5 5 6 7 8 9 10 11
6 6 7 8 9 10 11 12

按对角线，这张表是顺序的A3056飞机.

行和列都是A0027型（省略一个或多个初始条款）。

主对角线是A5843型.

超对角线和次对角线都是A5408型.

乘法一×b=一^②b

乘法是迭代加法。这两个定义是等价物：

一×b= ((一+一)+一)+...+一

或者：

一×b=一+...+(一+(一+一))

每种情况下都有b副本一在右手边=符号的。

下面是从0到参数的乘法函数表6.大多数文法学校都是大表的第一部分学生学习：

一×b 0 1 2 三 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 三 4 5 6
2 0 2 4 6 8 10 12
三 0 三 6 9 12 15 18
4 0 4 8 12 16 20 24
5 0 5 10 15 20 25 30
6 0 6 12 18 24 30 36

对角线的顺序是A4247型.

这些行是A0004系列,A0027型,A5843型,A8585型,A8586型,A8587型,A8588型等等。

每列与对应的行相同。

主对角线是A0290型.

超对角线和次对角线都是A2378号.

指数一^b=一↑b=一^②b

求幂是迭代乘法。它是正常书写的一^b但在这一页我将使用↑ 符号，像这样：一↑b. 这两个定义是等价的：

一↑b= ((一×一)×一)×...×一

或者：

一↑b=一×...×(一×(一×一))

每种情况下都有b副本一在右手边=符号的。

这是一张桌子¹从0到参数的求幂函数第六章：

一^b 0 1 2 三 4 5 6

0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 4 8 16 32 64
三 1 三 9 27 81 243 729
4 1 4 16 64 256 1024 4096
5 1 5 25 125 625 3125 15625
6 1 6 36 216 1296 7776 46656

按对角线，这张表是顺序的A3992飞机.

这些行是A0007系列,A0012号,A0079号,A0244型,A0302号,A0351型,A0400型等等。

列是A0012号,A0027型,A0290型,A0578号,A0583号,A0584号,A1014号等等。

主对角线是A0312号.

超对角线是A7778号下死角是A0169号.

下Hyper4功能一_④b

有两种方法可以将序列扩展到第四个运算符指数化，取决于你如何分组术语². 因为我需要用不同的符号来避免混淆定义中有两个替代符号。来解释我的“圈中数”符号，我在讨论时应该指出这些运算符一般来说，有一个无限集是有用的操作员符号。出于这个原因，我有时使用这些替代品已经讨论过的三个运算符的符号：

一+b=一^①b

一×b=一^②b

一↑b=一^③b

两种类型的定义超4是：

一_④b= ((一↑一)↑一)↑...↑一

以及：

一↑↑b=一^④b=一↑...↑(一↑(一↑一))

每种情况下都有b副本一在右手边。

两个版本产生相同的答案一↑↑1和一↑↑2(一和一↑一但它们的区别不止于此。第一个一个产生更小的值，所以我称之为“更低”超4运营商”；另一个是“更高”的hyper4运算符。必要时来区分我用的两种一_④b和一^④b分别。对于后一个函数，表示法一↑↑b是在其他文学作品中更常见。

以下是参数从0到6的“lower”hyper4函数的表：

一_④b 0 1 2 三 4 5 6

0 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 √2 2 4 16 256 65536 4294967296
三 ^三√三三 27 19683 7625597484987 4.434265×10³⁸ 8.718964×10¹¹⁵
4 √2 4 256 4294967296 3.402824×10³⁸ 1.340781×10¹⁵⁴ 3.231701×10⁶¹⁶
5 ⁵√5 5 3125 2.980232×10¹⁷ 2.350989×10⁸⁷ 7.182121×10⁴³⁶ 1.911013×10²¹⁸⁴
6 ⁶√6 6 46656 1.031442×10²⁸ 1.204121×10¹⁶⁸ 3.048039×10¹⁰⁰⁸ 8.019051×10⁶⁰⁵⁰

按对角线，这张表是顺序的邮编：A171881(更多条款在这里).

第一行不在OEIS中；第二是A0012号. 忽略0列，接下来的四行是A1146型,A55777型,A137840号，和邮编：A137841. 以下行不在OEIS中。

第一列不是整数序列。接下来的三列是A0027型,A0312号，和A2489号; 以下各栏不在OEIS中。

主对角线（没有初始项）是A89210型.

超对角线是A2488号，并且子痛苦不在OEIS中。

一_④b可以很容易地推广到实际甚至复杂通过身份证明一_④b=一↑(一↑(b-1））。例如，π_④e是3581.875516。。。和e_④π 是4979.003621。。。

反问题的精确解一_④b

有人可能想知道如何计算一_④b功能“向后”，计算相当于一个超₄“对数”或“根”。更准确地说，考虑到以下等式：

z=十_④是的=十^{十^{(是的-（一）}}

得出一个解决方案是的依据十和z（在“超级₄logatithm”）和十依据是的和z（“超级₄根”）。

第一个（得到是的依据十和z)很漂亮直截了当。从z=十^{(十^{(是的-（一）})}，我们只是需要取一个（正常）对数作为基数十两次，然后加1：

z=十^{十^{(是的-（一）}}

日志_十(z) =十^{(是的-（一）}

日志_十（日志_十(z)) =是的-1

是的=1+对数_十（日志_十(z))

这很简单。那个超级的怎么样₄根？

解决十有点棘手，因为我们有十致权力十（“自指数”或“耦合指数”函数）它在标准初等函数中没有闭式根。然而，总有一个根是的=十^十，即使十是否定的或者复杂（在这种情况下，根通常是复杂的）。你只是有使用朗伯W函数，它被定义为相反的属于一=b e公司^b:

一=b e公司^b 当且仅当 b=W(一) (见脚注⁴)

解决z=十_④是的对于十依据是的和z，开始通过定义k=是的-1（以后很容易撤销）。这给了我们

z=十^{十^k}

下一步，定义我待在(十)（的对数十)，或等价地十=e^我. 用这个代替十的，我们得到了

z=（e）^我)^{（e）^我)^k}=e^{（l e）^{k l})}

我们可以取两边的经纬度：

ln公司(z) =洛杉矶^{k l}

比乘以k，给我们

kln公司(z) =k l e^{k l}

这与Lambert W的定义非常相似以上功能，使用一=kln公司(z)以及b=k l. 所以我们可以继续用W表示函数：

k l=W(kln公司(z))

正在替换k和我他们的定义是是的和十我们分别有

(是的-1） ln公司(十) =W((是的-1） ln公司(z))

很容易导致

十=e^{(W((是的-1） ln公司(z)) / (是的-1））}

自从兰伯特W函数定义为（几乎）任何复杂的参数，对数ln也是(一)指数型的e^一，的下半身₄函数可以像每个函数一样自由使用其他功能。

更高的Hyper4功能（“四分体”）一↑↑b=一^④b

如上所述较高的hyper4运算符定义一↑↑b作为：

一↑↑b=一^④b=一↑...↑(一↑(一↑一))

哪里有b副本一在右手边。

下面是一个值表：

一↑↑b=一^④b 0 1 2 三 4 5 6

0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 4 16 65536 2.003530×10¹⁹⁷²⁸ 10^{6.0312×10¹⁹⁷²⁷}
三 1 三 27 7625597484987 1.26×10^{3638334640024} 10^{6×10^{3638334640023}} 10^{10^{6×10^{3638334640023}}}
4 1 4 256 1.340781×10¹⁵⁴ 10^{8.0723×10¹⁵³} 10^{10^{8.0723×10¹⁵³}} 第3部分8.0723×10¹⁵³
5 1 5 3125 1.911013×10²¹⁸⁴ 10^{1.335740×10²¹⁸⁴} 10^{10^{1.3357×10²¹⁸⁴}} 3磅1.3357×10²¹⁸⁴
6 1 6 46656 2.659120×10³⁶³⁰⁵ 10^{2.0692×10³⁶³⁰⁵} 10^{10^{2.0692×10³⁶³⁰⁵}} 3号零件2.0692×10³⁶³⁰⁵

右栏中有三个以“3pt”开头的值。这是一个“十的三次幂”的缩写。例如，“3磅8.0723×10¹⁵³“是10^{10^{10^{8.0723×10¹⁵³}}}.

纵观每一行，很容易看出，一次b变大了够了，每增加一次b其价值一↑↑b增加到10^一↑↑b. 当然，应该是的一^一↑↑b，不是10^一↑↑b. 事实价值观是不同，但它们非常接近“电力塔”顶部的数字是相同的。这是因为这个电力塔悖论如下所述。

按对角线，这张表是顺序的邮编：A171882(更多条款在这里).

前四排是A0035型,A0012号,A14221号，和A14222号; 以下行不在OEIS中。

前四列是A0012号,A0027型,A0312号，和A2488号; 以下列不在OEIS中。

更高的超4运算符不能在任何明显的自洽通往现实的道路（例如计算，π^④e). 讨论这个问题最后在下面，以及可能的解决方案。

我的扩展超4函数到实值参数

超指数（也称为“四分体”或"签字权")十^④是的为整数定义是的>0依据：

十^④1=十
十^④是的=十↑(十^④(是的-1））对于是的>1

符号^④如上所述；另请参见这个描述)的海普兰家庭操作员。

有好几次，有人问我：怎么定义十^④是的真的吗是的? 例如，什么是π^④e)?

还有三个其他功能已经扩展到reals在一些看起来很有前途的方面：阶乘通过这个伽马函数,超因子由K函数以及下层（西蒙和普劳夫）1995年）超级工厂通过巴恩斯G函数. 所有这些都在中定义积分或无穷积的项，它们都有一个类似伽马的“递归关系”(十+（一）=十伽马射线(十).

定义十^④是的以无穷乘积的形式，或即使是无穷积分积的无穷积，看起来也像它不会工作，因为它需要表现得更像一个无限指数“塔”。对hyper4函数使用此方法将可能需要使用一个像x的积分^是的功能在一条渐近线中，而在另一条渐近线中类似于一个较低的函数。

丹尼尔·盖斯勒收集了很多与此相关的信息发布在他的网站上，tetration.org网站. 这个到目前为止，我发现的最好的解决方案是由一。N。加利达基斯^三.它采用了指数逐渐增长的电力塔的概念-例如，它定义十^④0.8分=十^0.8,十^④0.9=十^0.9,十^④1.0款=十¹=十^十⁰,十^④1.1条=十^{十^0.1},十^④1.2条=十^{十^0.2}等等。当这个函数是连续的，它的1^st，2^nd公司等等。除1外，导数不是^st当十=e.

下面是我对这个问题的尝试：

从想象一个无限的电力塔开始：

十^④是的=十↑(十↑(一↑(b↑(c↑...↑(1↑(1↑(1）））…）））

其中底部有有限个x，还有一个无穷大上面的数字是1。可以完全忽略1你需要看看十和特殊条款一,b,c,... 在中间。这些术语的值介于1和之间十而且是称为“过渡条款”(Galidakis的方法适合这个模型，但只适用于有一个过渡项。）

现在想象一下十底部的实际上只是一点点小于十，顶部的1实际上是一点点大于1。事实上，每一个电力塔的期限在1和十. 条款显示为十只是非常非常接近十.

我们想要的是行为端正、连续、流畅的东西。那个基本上意味着，十>一>b>c>1和as是的增加，值属于一,b,c逐渐增加直到最终一=十. 到为了达到这个效果我决定用误差函数电流变液(z) =(²/_√π)积分_{（0。。。z)}[e^-(z²)日期]

电力塔中的术语需要从十平滑到1具有两条渐近线和指数偏差的方式。这是由功能完成：

g(十,z) =十^{（1+erf（2z-1））/2）}

此函数从1单调增加到z<<0至十对于z>>1，以及从1到十在范围内发生0<z<1.以下是十=2和十=3:

g（2，-1.0）=1.00001 g（3，-1.0）=1.00001
g（2，-0.8）=1.00008 g（3，-0.8）=1.00013
g（2，-0.6）=1.0006 g（3，-0.6）=1.0010
g（2，-0.4）=1.0037 g0.0，-4.0）=
g（2，-0.2）=1.017 g（3，-0.2）=1.027
g（2，0.0）=1.056 g（3，0.0）=1.090
g（2，0.2）=1.147 g（3，0.2）=1.243
g（2，0.4）=1.309 g（3，0.4）=1.533
g（2，0.6）=1.528 g（3，0.6）=1.957
g（2，0.8）=1.743 g（3，0.8）=2.413
g（2，1.0）=1.894 g（3，1.0）=2.752
g（2，1.2）=1.967 g（3，1.2）=2.922
g（2，1.4）=1.992 g（3，1.4）=2.982
g（2，1.6）=1.9987 g（3，1.6）=2.9969
g（2，1.8）=1.99984 g（3，1.8）=2.99961
g（2，2.0）=1.99998 g（3，2.0）=2.99996

全部术语最终在1和之间十，但没有正好等于1或等于十. 但是，他们会武断地接近。

然后我定义一个有限的近似发电塔：

T(十,是的,n) =g(十,是的) ↑ (g(十,是的-（一）↑ (g(十,是的-（二）↑ (... ↑ (g(十,是的-n+1））））

例如：T(十,是的，3）=g(十,是的)↑(g(十,是的-（一）↑g(十,是的-2））

最后，实值超4或“四分体”的第一近似操作员是：

十^④是的≈ H(十,是的)=限制_{(n->无穷大）}T(十,是的,n)

以下是一些示例：

近似使用
十^④是的十^{一^{b^c¹}}
2^④2 2^{1.894^{1.056^1.00001¹}}
2^④2.2 2^{1.967^{1.147^1.00008¹}}
2^④2.4 2^{1.992^{1.309^1.0006¹}}
2^④2.5 2^{1.997^{1.414^1.002¹}}
2^④2.6 2^{1.9987^{1.528^1.0037¹}}
2^④2.8 2^{1.99984^{1.743^1.017¹}}
2^④3 2^{1.99998^{1.894^{1.056^1.00001}}}

注意，当是的有两个整数和一个891（在本例中为1.056）几乎相当于十. (但不是精确：1.894^1.056小于2；稍后将对此进行详细说明。）

还要注意，当是的是一个半整数，其中一个项是的平方根十和另外两个（本例中为1.997和1.002）只是“取消”。

最后，注意2的例子^④3和那个一样对于2^④2，除了所有的值都向上移动了一步电力塔。

此函数的计算机实现产生以下值：

H（2，1.0）=1.962860044952 H（3，1.0）=3.01484034768
H（2，1.2）=2.173179457529 H（3，1.2）=3.792914579042
H（2，1.4）=2.466135238417 H（3，1.4）=5.340372413507
H（2，1.6）=2.885294328336 H（3，1.6）=8.646517688235
H（2，1.8）=3.385703944243 H（3，1.8）=15.08586176829
H（2，2.0）=3.898340329384 H（3，2.0）=27.44381034902
H（2，2.2）=4.510162634986 H（3，2.2）=64.5178910787
H（2，2.4）=5.525615740224 H（3，2.4）=353.1873877405
H（2，2.6）=7.388565694475 H（3，2.6）=13348.65068561
H（2，2.8）=10.45197695863 H（3，2.8）=15768315.29971
H（2，3.0）=14.9113640203 H（3，3.0）=1.241724436834×10¹³
H（2，3.2）=22.78737180478 H（3，3.2）=6.065367827881×10³⁰
H（2，3.4）=46.06553106953 H（3，3.4）=3.259939872799×10¹⁶⁸
H（2，3.6）=167.5636835838 H（3，3.6）=8.41325266884×10⁶³⁶⁸
H（2，3.8）=1400.743379664 H（3，3.8）=2.4022047×10^7523398
H（2，4.0）=30815.4026169 H（3，4.0）=2.43×10^{5924531213185}

您应该立即注意到H（3,1）、H（2,3）等没有应为整数值。这是因为由g（）功能不会以需要，并且对于足够低的值是的，第一学期不是十. 为了弥补这一点，我们使用了两种技术。

第一种技术依赖于预期的属性

十^④(是的-1） =对数_十(十^④是的)

技术是计算十^④y2年对于y2年=是的，或y2年=是的+1个，或y2年=是的+2，使用y2年高度足以确保电力塔至少有一项等于十，然后记录结果的适当次数。更正式地说：

氢气(十,是的，0）=H(十,是的),
H2(十,是的,n)=对数_十（H2）(十,是的+1个，n-1））的n>0
和
十^④是的≈ H3型(十,是的)=限制_{(n->信息）}氢气(十,是的,n)

第二个需要做的调整是增加一个恒定的偏差到是的:

H4型(十,是的)=H3(十,是的+K_十)

偏见K_十取决于十但不是开的是的; 它纠正了事实上，过渡条款并没有完全“取消”。到计算K_十任何价值是的可使用，为简便设置是的=1找到K_十使H4(十,是的)=十.

结果

应用这些技术可以得到以下结果：

H4（2，0.5）=1.455433238907 H4（3，0.5）=1.719569993279

H4（2，1.0）=2 H4（3，1.0）=3
H4（2，1.2）=2.220044044808 H4（3，1.2）=3.767454385038
H4（2，1.4）=2.535796688385 H4（3，1.4）=5.286052796168
H4（2，1.6）=2.976545041727 H4（3，1.6）=8.533218056394
H4（2，1.8）=3.48226088408 H4（3，1.8）=14.87566955748
H4（2，2.0）=4 H4（3，2.0）=27
H4（2，2.2）=4.659076583142 H4（3，2.2）=62.73827352165
H4（2，2.4）=5.798970054811 H4（3，2.4）=332.7270753606
H4（2，2.6）=7.870989644306 H4（3，2.6）=11786.360106
H4（2，2.8）=11.17544894536 H4（3，2.8）=12516938.66315
H4（2，3.0）=16 H4（3，3.0）=7.625597484988×10¹²
H4（2，3.2）=25.26514549836 H4（3，3.2）=8.585464199454×10²⁹
H4（2，3.4）=55.67547493765 H4（3，3.4）=5.638449242549×10¹⁵⁸
H4（2，3.6）=234.1013825216 H4（3，3.6）=3.33366805307×10⁵⁶²³
H4（2，3.8）=2312.838710271 H4（3，3.8）=3.02141334×10^5972097
H4（2，4.0）=65536 H4（3，4.0）=4.89×10^{3638334640024}
H4（2，4.2）=40324281.68316 H4（3，4.2）=10^{4.096307451195×10²⁹}
H4（2，4.4）=5.754240098335×10¹⁶ H4（3，4.4）=10^{2.690223977285×10¹⁵⁸}
H4（2，4.6）=2.961680223745×10⁷⁰ *
H4（2，4.8）=1.713274395209×10⁶⁹⁶ *
H4（2，5.0）=2.003529934×10¹⁹⁷²⁸ *

*在第二列中，用*代替数字表示大于10的值^{2^2¹⁰}≈10^10³⁰⁸.我的程序有多大计算以10为底的对数；10³⁰⁸是极限IEEE双精度浮点。

其他特殊值：

H4型(e，0.5）=1.654052630799

H4型(e,e)=3713.155056406

H4型(e,π) = 4341201053.37

H4型(π,0.5）=1.750536646695

虽然这个函数定义似乎很好用，但更多的工作是在被认为是十↑↑是的:

对于任意大的限制，需要明确规定是的.误差函数很快收敛，但是用于电力塔中的术语，它的收敛速度可能不够快如果电力塔很高。因此，即使“偏见”是很好地调整到一个很小的值是的同样的偏见会没有产生预期的结果是的. 但是对于我测试过的值，公式似乎表现良好都在1范围内<十^④是的<10岁^10³⁰⁸.

对于不同的值，偏差是不同的十. 为十更大的比2.834左右的偏差为正，否则为负。除了确定这个交叉点e=2.71828。。。我没有进一步调查。也许有个“更好的”g(十,z)会涉及一个类似错误函数的函数但形状稍有不同，所以不需要偏差。如果偏见是不可避免的，这是一个令人信服的论据是需要的。

需要进一步扩展才能处理是的<1，十<1或复杂的十和是的.

电力塔悖论

这一部分主要是基于我之前写的解释专门针对高钙血症有资格的非直觉的处理大量数据时的结果.

在他1948年的文章中大量 ⁵，约翰·E。小树林定义序列N₁=10¹⁰,N₂=10^10¹⁰,N_三=10^{10^10¹⁰}等等，并指出N₂“实际上是”没有改变“被平方”，而且N_三“可能是公平的“不变的”被提升到美国=10⁷⁹（一）对宇宙中粒子数量的当代估计）。他称之为“粗鲁原则”：

“我们可以把这些考虑归纳为‘粗野原则’：实际结果是在估计一个数时一^{b^{c^...}}值得费心去削减最高指数，但我们可以对于那些只影响最低级的人的事情，我们要像我们喜欢的那样粗鲁。”

如果你花一点时间去探索一↑↑b使用无限范围程序高钙血症，你会的可能开始注意到一些矛盾的结果，甚至可能开始认为计算器给出了错误的答案。

例如，我将使用超钙质计算27到力量谷歌公司:

去吧--试着让我喘不过气来！ _ _|_| . . ._ _ ._ _ ._ | _| | | | | ) (-` | ( ,-| | (~~7 | ~~'~~` `~~-' 输入表达式，或键入“help”以获取帮助。 C1=古戈=10^100 R1=古戈：1 x 10^100 C2=古高乐普乐=10^googol R2=googolplex:10^（1 x 10^100） C3=27^googolplex公司 R3=10^[10^（1 x 10^100）]

显然高钙血症认为

27^{10^10¹⁰⁰}=10^{10^10¹⁰⁰}

这显然是错误的，而且似乎也不好近似值。发生什么事？

首先，请注意高钙血症，就像任何普通的计算器一样试图以一种形式显示所有答案，包括使用10作为基地。像10这样的标准表格^{10^{...^十}}是有用的，因为它使不同类型的计算很容易比较。用户可能想知道哪个更大：100！或4^4⁴. 100！是关于9.33×10¹⁵⁷. 比4大吗^4⁴? 我们也需要转换100！换成4的一些幂，或者转换成4^4⁴以某种力量10.如果你有一个足够高的计算器，它会告诉你那4个^4⁴大约是1.34×10¹⁵⁴.

假设HyperCalc不可信，然后计算我们自己回答正确。为了比较两者，我们需要用同一个基来表达它们。我们用10为基数，因为1数字中有10个^{10^10¹⁰⁰}，已表示为基数为10。所以我们需要确定A和B因此：

27^{10^10¹⁰⁰}=10^{10^{A×10^B}}

第一步是将27的幂表示为10的幂指数中的乘积，使用公式十^是的=10^{（日志₁₀(十)×是的)}:

27^{10^10¹⁰⁰}=10^{（日志₁₀27×10^10¹⁰⁰)}

日志₁₀27等于1.4313637641589，所以我们有

27^{10^10¹⁰⁰}=10^{1.4313637641589×10^10¹⁰⁰)}

现在我们有了一个10的基数，但是指数还需要计算。下一个步骤是将乘积表示为下一个更高指数的和；这次我们使用的公式是十×是的=10^{（对数（x）+对数（y））}:

10^{1.4313637641589×10^10¹⁰⁰}=10^{10^{（日志₁₀1.4313637641589+10¹⁰⁰)}}

日志₁₀1.4313637641589等于0.1557500185891，如果我们加上这个到10¹⁰⁰我们得到了

10^{10^{（0.1557500185891+10¹⁰⁰)}}
= 10^{10^{1000…000.1557500185891}}
= 10^{10^{（1.000…0001557500185891）×10¹⁰⁰)}}

还有94个0代替了“…”中的每一个。现在我们有：

27^{10^10¹⁰⁰}=10^{10^{000155.5万…1.855万×10¹⁰⁰)}}

又有94个缺了0。

现在我们表达了27的值^谷歌公司精确到足以看见高钙血症的错误-看看这个错误有多小！这个错误显示为“1.000…000155”中的数字“155”。平分要想看到这个“155”，我们需要使用104位数字的精度因为“1.000…000155”的长度是104位数。在最初的计算中给予27^{10^10¹⁰⁰}=10^{10^10¹⁰⁰},高钙血症习惯于默认精度，即系统的本机精度，通常是16位数的准确度。那16个数字是被1和前15个0所占据-所以当它加0.155到1.0的步骤×10¹⁰⁰，它只是圆的不回答1.0×10¹⁰⁰.

R3=10^[10^（1 x 10^100）]

高钙血症也可以使用任意精度公元前去做它的数学在较高的精度下，通过设置特殊变量来访问规模. 我们可以用它来得到更准确的答案^谷歌公司. 结果如下：

C1=刻度=120 C1=27^（10^（10^100）） R1=10^（1.43136376415898731186 x 10^100000000000000000000000000000\000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000）

这里发生了两件事：因为120位精度明确规定，高钙血症现在可以表达古戈没错，所以它显示为1，后跟100个零。这意味着我们不再得到我们想要的值A和B，但却得到中间结果1.4313637641589×10^10¹⁰⁰我们在上述推导过程中遇到。

得到我们想要的实际价值A，我们可以取对数以10为基数两次。继续上述会议：

R1=10^（1.43136376415898731186 x 10^100000000000000000000000000000\000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000） C2=对数（%） R2=1.43136376415898731186 x 10^1000000000000000000000000000000000000\00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 C3=对数（%） R3=1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\00000000000000000000000000000000.1557500185891198647

我们用120位数的精度得到答案非常接近原始的自相矛盾的答案。那需要公平计算工作量，如果原始问题陈述如果再大一点，那就需要更多的工作。解决27之间的差异^{10^{10^1000000}}和10^{10^{10^1000000}}将占用超过1000000位的计算，并解析27之间的差异^{10^{10^{1000000000000}}}和10^{10^{10^{1000000000000}}}需要超过100000000000个数字。很明显如果我们再加一个10对于那些指数塔，避免舍入误差的所有希望都破灭了。探讨这一点在我的大量页面作为大得惊人讨论。

用模运算求末位

如果只对最后几个数字感兴趣，则十↑↑是的可以更容易地计算。对算法进行了说明在我的页面上OEIS序列a092188. 如果你想最后的N数字，那么可能需要10个^N计算步骤电力塔的价值A^{B^{C^...}}，但通常快一点。这是一张小桌子：

x^y的最后6位数字，表示2<=x<=27和1<=y<=91 2 3 4 5 6 7 8 92^^000002 000004 000016 065536 156736 428736 748736 948736 9487363^^000003 000027 484987 739387 355387 595387 195387 195387 195387 1953874^^000004 000256 084096 392896 208896 328896 728896 728896 7288965^^000005 003125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 2031256^^000006 046656 878656 438656 238656 238656 238656 238656 238656 2386567^000007 823543 132343 172343 172343 172343 172343 172343 172343 1723438^^000008 777216 126656 449856 945856 825856 225856 225856 225856 2258569^^000009 420489 177289 865289 945289 745289 745289 745289 745289 74528910^^00001000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011^^000011 670611 906611 066611 666611 666611 666611 666611 666611 66661112^^000012 448256 094016 596416 172416 412416 012416 012416 012416 01241613^^000013 592253 549053 325053 645053 045053 045053 045053 045053 04505314^^000014 558016 651136 510336 782336 302336 502336 502336 502336 50233615^^000015 859375 859375 859375 859375 859375 859375 859375 859375 85937516^^000016 551616 255616 015616 415616 415616 415616 415616 415616 41561617^^000017 764177 229777 125777 485777 085777 085777 085777 085777 08577718^^000018 575424 542976 395776 315776 315776 315776 315776 315776 31577619^^000019 123979 459179 483179 363179 963179 963179 963179 96317920^^00002000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000021^^000021 124421 492421 452421 652421 652421 652421 652421 652421 652421 65242122^^000022 723584 785856 092096 608896 784896 104896 504896 504896 50489623^^000023 910567 988647 606247 078247 918247 718247 718247 71824724^^000024 843776 014976 734976 734976 734976 734976 734976 734976 73497625^^000025 265625 265625 265625 265625 265625 265625 265625 265625 26562526^^000026 203776 203776 203776 203776 203776 203776 203776 203776 203776 20377627^^000027 892803 403683 450083 242083 002083 802083 802083 802083 802083

例如，查找9的最后6位↑↑4=9^{9^{9^{9））），看看9^第row和4^第列，然后找到数字865289

终身兴趣超4

儿时对并矢算符家族的痴迷（增量，加法、乘法等）始于1973年或1974年，那时我才9岁或10岁老的。在12岁或13岁的时候，我就开始尝试用滑动法则来计算“下hyper4函数”由指数：十_④是的= (((十↑十)↑十)↑...)↑十-以及最初几次尝试都没有成功。我发现了这个公式十_④是的=十↑(十↑(是的-1））在14岁的时候工作尺几个月后。在我生命中的那部分（我称之为“我的古典时期”）我从来没有可以破解正确的关联“高级超4函数”，并且痴迷最终消失了。这个曼德尔布罗特最后它取代了我对数学的痴迷。

到我30多岁的时候，我已经看到了其他人之间的共同点广义函数伽马射线（用于阶乘),巴恩斯G函数（用于下超工厂)，以及K函数（用于超因子).

最后我决定把这些假设写在纸上手动构造一个满足所有这些条件的函数。我所拥有的现在并不完全令人满意，因为它需要调整基地。）

另请参见

hyper4函数也在my上进行了广泛的讨论大量第页。

A171881:0，1，1，2，1，1，3，4，1，1，4，27，16，1，1，1，5，256，19683，256，1，1，6，3125，4294967296，7625597484987，65536，1，1，7，46656，298023223876953125、340282366920938463463374607431768211456，443426488243037769948249630619149892803、4294967296、1、1、8、823543。。。

A171882:1，1，0，1，1，1，1，2，1，0，1，3，4，1，1，1，4，27，16，1，0，1，5，256，7625597484987，65536，1，1，1，6，3125，1340780792994259709957402499820584612747936582059239337777235614437217644030073546976801874298166903476900318581864860508537753882811946569946433649006084096,（下学期是3^{7625597484987}≈1.26*10^{3638334640024}), ...

脚注

1号文件： 与大多数文法学校的学生不同，我不仅仅满足于学习加法和乘法表。我继续学习“指数表”，包括这里显示的所有值，加上前几行和列中的每一行都有更多内容。我在里面4^第等级。

第二章： 在厌倦了求幂函数之后，我继续前进我发明了“powerlog”这个名字。因为7^第-我在一年的数学教科书中，把求幂定义为：一^b=(..(一×一)×一...)×一，我决定用同样的型号的定义超4，结果我最终工作了具有较低的hyper4功能。我参加了8场比赛^第等级（中等学校）当我得到身份的时候一_④b=一^{一^(b-（一）}; 同年晚些时候，我创建了一个习俗计算尺用于计算此函数。

三：一。N。Galidakis，以前被一些人称为Ioannis几年来探讨了一些相关问题。有很多与Lambert W函数有关的功，这在任何涉及耦合指数的东西，比如十^十和xe公司^十,或者他们的反面。他实值hyper4函数的旧版本可在web.archive.org的URL下找到说明http://users.forthnet.gr/ath/jgal/math/exponents4.html.

第四章： 当且仅当。。。：实际上，有多个值b就这样b e公司^b等于给定值一，但前提是你愿意拥有一和b是复数。

第五章： 约翰·E。小树林，“大数字”。数学公报 32#第300页（1948年7月），163-171页。在J。E。利特尔伍德，数学家的杂集（1953年），第100-116页。

这个页面是用“令人难堪的可读性”标记语言编写的RHTF公司，最后更新时间为2020年3月26日。

s、十一

超4迭代指数函数

目录

添加一+b=一①b

乘法一×b=一②b

指数一b=一↑b=一②b

下Hyper4功能一④b

反问题的精确解一④b

更高的Hyper4功能（“四分体”）一↑↑b=一④b