超4迭代指数函数

添加一+b=一^①b

加法可以看作是一种反复的添加一个的动作：

一+b=一+1+1+1+1。。。

哪里有b副本1在= 标志的右侧。

以下是0到6参数的加法函数表。这是大多数文法学校学生学习的大表的第一部分：

一+b 0 1 2 三 4 5 6

0 0 1 2 三 4 5 6
1 1 2 三 4 5 6 7
2 2 三 4 5 6 7 8
三三 4 5 6 7 8 9
4 4 5 6 7 8 9 10
5 5 6 7 8 9 10 11
6 6 7 8 9 10 11 12

按对角线，这张表是顺序的A3056飞机.

行和列都是A0027型（省略一个或多个初始术语）。

主对角线是A5843型.

超对角线和次对角线都是A5408型.

乘法一×b=一^②b

迭代加法是一种乘法运算。这两个定义相当：

一×b= ((一+一)+一)+...+一

或者：

一×b=一+...+(一+(一+一))

每种情况下都有b副本一在=标志的右侧。

以下是0到 6参数的乘法函数表。这是大多数文法学校学生学习的大表的第一部分：

一×b 0 1 2 三 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 三 4 5 6
2 0 2 4 6 8 10 12
三 0 三 6 9 12 15 18
4 0 4 8 12 16 20 24
5 0 5 10 15 20 25 30
6 0 6 12 18 24 30 36

按对角线，这张表是顺序的A4247型.

这些行是A0004,A0027型,A5843型,A8585型,A8586型,A8587型,A8588型等等。

每列与对应的行相同。

主对角线是A0290型.

超对角线和次对角线都是A2378号.

指数一^b=一↑b=一^②b

求幂是迭代乘法。它是正常书写的一^b但在这一页上，我将使用↑符号，如下所示：一↑b. 这两个定义是等价的：

一↑b= ((一×一)×一)×...×一

或者：

一↑b=一×...×(一×(一×一))

每种情况下都有b副本一在=标志的右侧。

这是一张桌子¹从0到 6的参数的求幂函数：

一^b 0 1 2 三 4 5 6

0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 4 8 16 32 64
三 1 三 9 27 81 243 729
4 1 4 16 64 256 1024 4096
5 1 5 25 125 625 3125 15625
6 1 6 36 216 1296 7776 46656

按对角线，这张表是顺序的A3992飞机.

这些行是A0007系列,A0012号,A0079号,A0244型,A0302号,A0351型,A0400型等等。

列是A0012号,A0027型,A0290型,A0578号,A0583号,A0584号,A1014号等等。

主对角线是A0312号.

超对角线是A7778号下死角是A0169号.

下Hyper4功能一_④b

有两种方法可以将级数扩展到除求幂之外的第四个运算符，具体取决于如何分组这些项². 因此，我需要使用不同的符号来避免混淆，其中一个定义有两个替代符号。为了解释我的 “圆中的数字”符号，我应该指出，在一般讨论这些运算符时，有一组不受限制的运算符符号是有用的。出于这个原因，我有时使用这些替代符号来表示已经讨论过的三个运算符：

一+b=一^①b

一×b=一^②b

一↑b=一^③b

两种类型的定义超4是：

一_④b= ((一↑一)↑一)↑...↑一

以及：

一↑↑b=一^④b=一↑...↑(一↑(一↑一))

每种情况下都有b副本一在右手边。

两个版本的答案相同一↑↑1和一↑↑2(一和a↑a但它们的区别不止于此。它产生较小的值超4另一个是“更高”的hyper4运算符。必要时以区分我使用的两种一_④b和一^④b分别。对于后一个函数，表示法一↑↑b在其他文学作品中更常见。

以下是参数从0到6的“lower”hyper4函数的表：

一_④b 0 1 2 三 4 5 6

0 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 √2 2 4 16 256 65536 4294967296
三 ^三√三三 27 19683 7625597484987 4.434265×10³⁸ 8.718964×10¹¹⁵
4 √2 4 256 4294967296 3.402824×10³⁸ 1.340781×10¹⁵⁴ 3.231701×10⁶¹⁶
5 ⁵√5 5 3125 2.980232×10¹⁷ 2.350989×10⁸⁷ 7.182121×10⁴³⁶ 1.911013×10²¹⁸⁴
6 ⁶√6 6 46656 1.031442×10²⁸ 1.204121×10¹⁶⁸ 3.048039×10¹⁰⁰⁸ 8.019051×10⁶⁰⁵⁰

按对角线，这张表是顺序的邮编：A171881(更多条款在这里).

第一行不在OEIS中；第二行是A0012号. 忽略0 列，接下来的四行是A1146型,A55777型,A137840号，和邮编：A137841. 以下行不在OEIS中。

第一列不是整数序列。接下来的三列是A0027年,A0312号，和A2489号；以下列不在OEIS中。

主对角线（没有初始项）是A89210型.

超对角线是A2488号，并且子痛苦不在OEIS中。

一_④b通过恒等式可以很容易地推广到实际甚至复杂的参数一_④b=一↑(一↑(b-1））例如π_④e是3581.875516。。。和e_④π是4979.003621。。。

反问题的精确解一_④b

有人可能想知道如何计算一_④b函数 “向后”，计算相当于₄“对数”或 “根”。更准确地说，考虑到以下等式：

z=十_④是的=十^{十^{(是的-（一）}}

得出一个解决方案是的依据十和z（ “超”₄logatithm”）和十依据是的和z（“超级₄根”）。

第一个（得到是的依据x和z)很直接。从z=十^{(十^{(是的-（一）})}，我们只需要取一个（正常）对数作为基数十两次，然后加1：

z=十^{十^{(是的-（一）}}

日志_十(z) =十^{(是的-（一）}

日志_十（日志_十(z)) =是的-1

是的=1+对数_十（日志_十(z))

这很简单。那个超级的怎么样₄根？

解决十有点棘手，因为我们有十以…的力量十（一个“自指数”或“耦合指数”函数）在标准初等函数中没有闭式根是的=十^十，即使十是负的或复杂的（在这种情况下，根通常是复杂的）。你只要使用朗伯W函数，定义为一=b e公司^b:

一=b e公司^b 当且仅当 b=W(一) （见脚注⁴)

解决z=x_④是的对于十依据是的和z，从定义开始k=是的-1（以后很容易撤销）。这给了我们

z=x^{十^k}

下一步，定义我待在(十)（的对数十)，或相当于十=e^我. 用这个代替十是的，我们得到了

z=（e）^我)^{（e）^我)^k}=e^{（l e）^{k l})}

我们可以取两边的经纬度：

ln公司(z) =洛杉矶^{k l}

比乘以k，给我们

kln公司(z) =k l e^{k l}

这与上面的Lambert W 函数的定义相似，其中一=kln公司(z)以及b=k l. 因此，我们可以继续使用W函数将关系表示为：

k l=W(kln公司(z))

正在替换k和我他们的定义是是的和十我们分别有

(是的-1） ln公司(十) =W((是的-1） ln公司(z))

很容易导致

十=e^{(W((是的-1） ln公司(z)) / (是的-1））}

自从兰伯特W函数定义为（几乎）任何复参数，对数ln也是(一)指数型的e^一，下半身₄函数可以像其他函数一样自由使用。

高功能（“4”）一↑↑b=一^④b

如上所述较高的hyper4运算符定义一↑↑b作为：

一↑↑b=一^④b=一↑...↑(一↑(一↑一))

哪里有b副本一在右手边。

下面是一个值表：

一↑↑b=一^④b 0 1 2 三 4 5 6

0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 4 16 65536 2.003530×10¹⁹⁷²⁸ 10^{6.0312×10¹⁹⁷²⁷}
三 1 三 27 7625597484987 1.26×10^{3638334640024} 10^{6.0×10^{3638334640023}} 10^{10^{6.0×10^{3638334640023}}}
4 1 4 256 1.340781×10¹⁵⁴ 10^{078.10万¹⁵³} 10^{10^{8.0723×10¹⁵³}} 3磅8.0723×10¹⁵³
5 1 5 3125 1.911013×10²¹⁸⁴ 10^{1.335740×10²¹⁸⁴} 10^{10^{1.3357×10²¹⁸⁴}} 3磅1.3357×10²¹⁸⁴
6 1 6 46656 2.659120×10³⁶³⁰⁵ 10^{2.0692×10³⁶³⁰⁵} 10^{10^{2.0692×10³⁶³⁰⁵}} 3磅2.0692×10³⁶³⁰⁵

右栏中有三个以“3pt”开头的值。这是“十的三次幂”的缩写。例如，“3 PT 8.0723×10¹⁵³“是10^{10^{10^{8.0723×10¹⁵³}}}.

纵观每一行，很容易看出，一次b每增加一次就足够大了b其价值一↑↑b增加到10^一↑↑b. 当然，应该是的一^一↑↑b，不是10^一↑↑b. 事实上价值观是不同的是，它们非常接近，“电力塔”顶部数字的前几个数字是相同的。这是由于电力塔悖论如下所述。

按对角线，这张表是顺序的邮编：A171882(更多条款在这里).

前四排是A0035型,A0012号,A14221号，和A14222号；以下行不在OEIS中。

前四列是A0012号,A0027型,A0312号，和A2488号；以下列不在OEIS中。

更高的超4运算符不能在任何明显的自洽计算方法（例如，π^④e). 对这个问题进行了详细的讨论在下面，以及可能的解决方案。

我的扩展超4函数到实值参数

超指数（也称为“四分体”或 ”签字权")十^④是的为整数定义是的>0依据：

十^④1=十
十^④是的=十↑(十^④(是的-1））适用于是的>1

符号^④如上所述；另请参见这个描述)的海普兰操作员家族。

有好几次，有人问我：怎么定义十^④是的真的吗是的? 例如，什么是π^④e)?

还有三个其他的功能已经扩展到了reals 似乎很有前途：the阶乘通过伽马函数,超因子由K函数，以及低层（Simon and Plouffe 1995）超级工厂通过巴恩斯G函数. 所有这些都是用积分或无穷积定义的，它们都有一个类似伽玛的“递归关系”(十+（一）=十伽马射线(十).

定义十^④是的就无穷积而言，甚至是无穷积的无穷积，似乎不起作用，因为它需要表现得更像一个无限指数的“塔”。对hyper4函数使用这种方法可能需要使用一个类似x的积分^是的一条渐近线中的函数，与另一条渐近线中的函数相似。

丹尼尔·盖斯勒在他的网站上收集了很多与这个问题相关的信息，tetration.org网站. 到目前为止，我发现的最好的解决方案是由一、 N.加利达基^三. 它使用指数逐渐增长的电力塔的概念，例如，它定义x^④0.8分=十^0.8,十^④9.0点=十^0.9,十^④1.0款=x¹=十^十⁰,十^④1.1条=十^{x^0.1},十^④1.2条=十^{十^0.2}，等此函数为连续函数时，其1^st，2^nd公司，等除1^st当十=e.

下面是我对这个问题的尝试：

从想象一个无限的电力塔开始：

十^④是的=十↑(十↑(一↑(b↑(c↑…↑（1↑（1↑（1））…））

其中底部有有限个x，顶部有无限个1。1可以被完全忽略，你需要看的是十和特殊条款一,b,c, ... 在中间。这些术语的值介于1和之间十被称为“过渡条款”。（Galidakis的方法适用于此模型，但只有一个过渡项。）

现在想象一下十底部的实际上比十，顶部的1实际上比1大一点。事实上，每一个输电塔的期限在1 到十. 条款显示为十只是非常非常接近十.

我们想要的是行为端正、连续、流畅的东西。这意味着，本质上，十>一>b>c>1和as是的增加，值一,b,c逐渐增加直到最终一=十. 为了达到这个结果，我决定使用误差函数电流变液(z) = (²/_√π)积分_{（0。。。z)}[e^-(z²)日期]

电力塔中的术语需要从十以平滑的方式，用两条渐近线和一个指数偏差将其设为1。这是通过以下功能实现的：

g(十,z) =十^{（1+erf（2z-1））/2）}

此函数从1单调增加到z<<0至十对于z>>1，以及从1到x在 0范围内发生<z<1。以下是十=2和十=3:

g（2，-1.0）=1.00001 g（3，-1.0）=1.00001
g（2，-0.8）=1.00008 g（3，-0.8）=1.00013
g0006.0，-1.0节） g（3，-0.6）=1.0010
g（2，-0.4）=1.0037 g（3，-0.4）=1.006
g（2，-0.2）=1.017 g（3，-0.2）=1.027
g（2，0.0）=1.056 g（3，0.0）=1.090
g（2，0.2）=1.147 g（3，0.2）=1.243
g（2，0.4）=1.309 g（3，0.4）=1.533
g（2，0.6）=1.528 g（3，0.6）=1.957
g（2，0.8）=1.743 g（3，0.8）=2.413
g（2，1.0）=1.894 g752.0分）=
g（2，1.2）=1.967 g（3，1.2）=2.922
g（2，1.4）=1.992 g（3，1.4）=2.982
g（2，1.6）=1.9987 g（3，1.6）=2.9969
g（2，1.8）=1.99984 g（3，1.8）=2.99961
g（2，2.0）=1.99998 g（3，2.0）=2.99996

全部术语最终在1和之间十，并且没有精确等于1或到十. 但是，它们会任意接近。

然后我定义有限的近似发电塔：

T(十,是的,n) =g(十,是的) ↑ (g(十,是的-1） ↑(g(十,是的-2） ↑（。。。↑ (g(十,是的-n+1））））

例如：T(十,是的，3）=g(十,是的)↑(g(十,是的-1） ↑g(十,是的-2））

最后，实值hyper4或“四分体”算符的第一个近似值是：

十^④是的≈小时(十,是的)=限制_{(n->无穷大）}T(十,是的,n)

以下是一些示例：

近似使用
十^④是的十^{一^{b^c¹}}
2^④2 2^{1.894^{1.056^1.00001¹}}
2^④2.2 2^{1.967^{1.147^1.00008¹}}
2^④2.4 2^{1.992^{1.309^1.0006¹}}
2^④2.5 2^{1.997^{1.414^1.002¹}}
2^④2.6 2^{1.9987^{1.528^1.0037¹}}
2^④2.8 2^{1.99984^{1.743^1.017¹}}
2^④3 2^{1.99998^{1.894^{1.056^1.00001}}}

注意，当是的是一个整数，有两个项（在本例中为1.894和 1.056）几乎等价于十. （但不准确：1.894^1.056略小于2；稍后将对此进行详细说明。）

还要注意，当是的是一个半整数，其中一项是十还有另外两个（在本例中是1.997和1.002）只是“取消”。

最后，注意2的例子^④3等于2的1^④2，除了所有的数值都向上移动了一步。

此函数的计算机实现产生以下值：

H（2，1.0）=1.962860044952 H（3，1.0）=3.01484034768
H（2，1.2）=2.173179457529 H（3，1.2）=3.792914579042
H（2，1.4）=2.466135238417 H（3，1.4）=5.340372413507
H（2，1.6）=2.885294328336 H（3，1.6）=8.646517688235
H（2，1.8）=3.385703944243 H（3，1.8）=15.08586176829
H（2，2.0）=3.898340329384 H（3，2.0）=27.44381034902
1626.632小时=162.632小时 H（3，2.2）=64.5178910787
H（2，2.4）=5.525615740224 H（3，2.4）=353.1873877405
H（2，2.6）=7.388565694475 H（3，2.6）=13348.65068561
H（2，2.8）=10.45197695863 H（3，2.8）=15768315.29971
H（2，3.0）=14.9113640203 H（3，3.0）=1.241724436834×10¹³
小时478.732 H（3，3.2）=6.065367827881×10³⁰
H（2，3.4）=46.06553106953 H（3，3.4）=3.259939872799×10¹⁶⁸
167.586小时=36833小时 H（3，3.6）=8.41325266884×10⁶³⁶⁸
H（2，3.8）=1400.743379664 H（3，3.8）=2.4022047×10^7523398
H（2，4.0）=30815.4026169 H（3，4.0）=2.43×10^{5924531213185}

您应该立即注意到H（3,1）、H（2,3）等没有期望的整数值。这是因为g（）函数不会以他们需要的方式取消，并且对于足够低的值是的，第一学期不是x. 为了弥补这一点，我们使用了两种技术。

第一种技术依赖于预期的属性

十^④(是的-1） =对数_十(十^④是的)

技术是计算十^④y2年对于y2年=是的，或y2年=是的+1，或y2年=是的+2，使用y2年足够高，以确保电力塔至少有一项等于十，然后记录结果的适当次数。更正式地说：

氢气(十,是的，0）=H(十,是的),
氢气(x,是的,n)=对数_十（H2）(十,是的+1个，n-1））的n>0
和
十^④是的≈H3(十,是的)=限制_{(n->信息）}氢气(十,是的,n)

需要做的第二个调整是在是的:

H4型(十,是的)=H3(十,是的+K_十)

偏见K_十取决于十但不是开的是的它纠正了一个事实，即过渡条款并没有完全“取消”。计算K_十任何价值是的可使用，为简便设置是的=1 ，然后求K_十使H4(十,是的)=十.

结果

应用这些技术可以得到以下结果：

H4（2，0.5）=1.455433238907 H4（3，0.5）=1.719569993279

H4（2，1.0）=2 H4（3，1.0）=3
H4（2，1.2）=2.220044044808 H4（3，1.2）=3.767454385038
H4（2，1.4）=2.535796688385 H4（3，1.4）=5.286052796168
H4（2，1.6）=2.976545041727 H4（3，1.6）=8.533218056394
H4（2，1.8）=3.48226088408 H4（3，1.8）=14.87566955748
2小时4小时 H4（3，2.0）=27
H4（2，2.2）=4.659076583142 H4（3，2.2）=62.73827352165
H4（2，2.4）=5.798970054811 H4（3，2.4）=332.7270753606
H4（2，2.6）=7.870989644306 H4（3，2.6）=11786.360106
36小时448.452小时 H4（3，2.8）=12516938.66315
H4（2，3.0）=16 H4（3，3.0）=7.625597484888×10¹²
H4（2，3.2）=25.26514549836 H4（3，3.2）=8.585464199454×10²⁹
H4（2，3.4）=55.67547493765 H4（3，3.4）=5.638449242549×10¹⁵⁸
H4（2，3.6）=234.1013825216 H4（3，3.6）=3.33366805307×10⁵⁶²³
H4（2，3.8）=2312.838710271 H4（3，3.8）=3.02141334×10^5972097
H4（2，4.0）=65536 H4（3，4.0）=4.89×10^{3638334640024}
H4（2，4.2）=40324281.68316 H4（3，4.2）=10^{4.096307451195×10²⁹}
H4（2，4.4）=5.754240098335×10¹⁶ H4（3，4.4）=10^{2.690223977285×10¹⁵⁸}
H4（2，4.6）=2.961680223745×10⁷⁰ *
H4（2，4.8）=1.713274395209×10⁶⁹⁶ *
H4（2，5.0）=2.003529934×10¹⁹⁷²⁸ *

*在第二列中，带有*而不是数字的条目表示大于10的值^{2^2¹⁰}≈10个^10³⁰⁸这是我的计算机程序的限制，它通过计算大数字的对数以10为基数来处理大数字；10³⁰⁸IEEE双精度浮点的极限。

其他特殊值：

H4型(e，0.5）=1.654052630799

H4型(e,e)=3713.155056406

H4型(e，π）=4341201053.37

H4（π，0.5）=1.750536646695

虽然这个函数定义似乎工作得很好，但是在它被认为是真正的扩展之前，还需要做更多的工作十↑↑是的:

对于任意大的限制，需要明确规定是的。误差函数收敛速度很快，但由于它是用于发电塔中的项，因此如果电力塔很高，它可能收敛得不够快。因此，即使“偏差”被完美地调整为一个小值是的相同的偏差不会产生更大的预期结果是的. 然而，对于我测试过的值，公式似乎表现良好，它们都在1范围内<x^④是的<10岁^10³⁰⁸.

对于不同的值，偏差是不同的十. 为十大于约2.834偏差为正，否则为负e=2.71828… 我没有进一步调查。也许有个“更好的”g(十,z)会涉及一个与误差函数相似的函数，但形状稍有不同，因此不需要偏差。如果偏差不可避免，则需要对该事实进行令人信服的论证。

需要进一步扩展才能处理是的<1，十<1或对于复杂十和是的.

电力塔悖论

这一部分主要是基于我之前写的一个解释高钙血症有资格的处理大量数据时的非直观结果.

在他1948年的文章中大量 ⁵，John E.Littlewood 定义了系列N₁=10¹⁰,N₂=10^10¹⁰,N_三=10^{10^10¹⁰}等等，并指出N₂“被平方“几乎没有改变”，而且N_三“可以公平地称之为‘不变的’，被提升到美国=10⁷⁹（当代对宇宙中粒子数量的估计）。他称之为“粗鲁原则”：

“我们可以把这些考虑归纳为‘粗略原则’：实际结果是在估计一个数字时一^{b^{c^...}}我们值得费心去削减最高指数，但对于那些只影响最低指数的东西，我们可以随心所欲地粗暴对待。”

如果你花一点时间去探索一↑↑b使用无限范围程序，如高钙血症，你可能会开始注意到一些矛盾的结果，甚至可能开始认为计算器给出了错误的答案。

例如，我将使用高钙血症计算27使…的力量谷歌公司:

去吧--试着让我喘不过气来！ _ _ |_| . . ._输入表达式，或者键入“help”寻求帮助。 C1=GOGOGOL=GOGOL=10 ^10 ^100 C2=GOGOPLPLPLEX=10 ^ GOGOGOL R2=GOGOGOL 10 ^（1×10 ^100） ; C3=27 ^ GOGOGOGOGOGOPLPLEX 8195; ; ^ 100）]

显然高钙血症认为

27^{10^10¹⁰⁰}=10^{10^10¹⁰⁰}

这显然是错误的，而且似乎不是一个好的近似值。发生什么事？

首先，请注意超钙质，就像任何普通的计算器一样，试图以10为基数来显示所有答案。像10这样的标准表格^{10^{...^十}}很有用，因为它使不同类型的计算更容易比较。用户可能想知道哪个更大：100！或4^4⁴. 100！约9.33×10¹⁵⁷. 比4大吗^4⁴? 我们要么转换100！换成4的一些幂，或者转换成4^4⁴大约10的幂次。如果你有一个足够高的计算器，它会告诉你4^4⁴大约是1.34×10¹⁵⁴.

假设HyperCalc不可信，我们自己计算正确答案。为了比较两者，我们需要用相同的基数来表示它们。我们用10为基数，因为其中一个数字是10^{10^10¹⁰⁰}，已用基数10表示。所以我们需要确定A和B因此：

27^{10^10¹⁰⁰}=10^{10^{A×10个^B}}

第一步是用指数中的积表示27的幂次，使用公式十^是的= 10^{（日志₁₀(十)×是的)}:

27^{10^10¹⁰⁰}=10^{（日志₁₀27×10个^10¹⁰⁰)}

日志₁₀27等于1.4313637641589，所以我们有

27^{10^10¹⁰⁰}=10^{1.4313637641589×10^10¹⁰⁰)}

现在我们有了一个10的基数，但是指数还需要计算。下一步是将乘积表示为下一个更高指数的和；这次我们使用的公式是十×是的=10^{（对数（x）+对数（y））}:

10^{1.4313637641589×10^10¹⁰⁰}=10^{10^{（日志₁₀1.4313637641589+10¹⁰⁰)}}

日志₁₀1.4313637641589等于0.1557500185891，如果我们把这个加上10¹⁰⁰我们得到了

10^{10^{（0.1557500185891+10¹⁰⁰)}}
=10^{10^{1000…000.1557500185891}}
=10^{10^{（1.000…0001557500185891×10¹⁰⁰)}}

还有94个0代替了“…”中的每一个。现在我们有：

27^{10^10¹⁰⁰}=10^{10^{（1.000…0001557500185891×10¹⁰⁰)}}

又有94个缺了0。

现在我们表达了27的值^谷歌公司精确到足以看到高钙血症的错误-看看这个错误有多小！错误显示为“1.000…000155”中的数字“155”。为了能够看到这个“155”，我们需要使用104位精度，因为“1.000…000155”的长度是104位。在最初的计算中给出27^{10^10¹⁰⁰}=10^{10^10¹⁰⁰},高钙血症精度通常为本机数字的精度其中10是本机数字的精度。这16个数字被1和前15个0所占据，所以当它达到0.155到1.0×10的步进时¹⁰⁰，只需将答案四舍五入到1.0×10¹⁰⁰.

R3=10^[10^（1 x 10^100）]

高钙血症也可以使用任意精度公元前以更高精度进行计算，通过设置特殊变量访问规模. 我们可以用它来得到更准确的答案^谷歌公司. 结果如下：

C1=比例=120 C1=27^（10^（10^100）） R1=10^（1.43136376415898731186 x 10^100000000000000000000000000000\ 000000000000000000000000000000000）

这里发生了两件事：因为指定了120位精度，高钙血症现在可以表达古戈是的，所以它显示为1后跟100个零。这意味着我们不再能得到我们想要的值A和B，而是得到中间结果1.4313637641589×10^10¹⁰⁰我们在上面的推导过程中遇到的。

得到我们想要的实际价值A，我们可以将对数取两次以10为底。继续上述会议：

R1=10^（1.43136376415898731186 x 10^10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000） C2=log（%） R2=1.43136376415898731186x 10^1000000000000000000000000000000000000\ C3=log（%） R3=100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001557500185891198647

在这里，我们用120位数的精度得到了一个答案，这个答案非常接近原始的自相矛盾的答案。这需要相当数量的计算工作，如果原来的问题陈述更大，它将需要更多的工作。解决27^{10^{10^1000000}}和10^{10^{10^1000000}}将使用超过1000000位的计算，并解决27之间的差异^{10^{10^{1000000000000}}}和10^{10^{10^{1000000000000}}}需要超过100000000000个数字。显然，如果我们再加一个10对于那些指数塔，避免舍入误差的所有希望都破灭了。这一点在我的大量页面作为大得惊人讨论。

用模运算求末位

如果只对最后几个数字感兴趣，则十↑↑是的可以更容易地计算。算法在我的页面上有解释OEIS序列a092188. 如果你想要最后一个N数字，那么可能需要10个^N计算铁塔价值的步骤A^{B^{C^...}}，但通常会快一点。这是一张小桌子：

195836年<=1958年8月26日728896？5^^000005 003125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 203125 203125？6^^000006 046656 878656 438656 238656 238656 238656 238656 238656 238656 7^^000007 823543 132343 172343 172343 172343 172343？8^^000008 777216 126656 449856 945856 825856 225856 225856 225856 225856 22586？9^^000009 420489177289 865289 945289 745289 745289 745289 745289 ^^000010000000000000000000000000000000000000000000000000000011670611 906611 066611 666611 666611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 666611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 666611 6611 666611 6611 6611 666611 745289 745289 745289 745289 745289 ^000010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011670606110666116611 ^ 6611670611 906611 6611 6611 6611 6611 6611 6611 66110450510450510450510450510450510450513 ^ ^ 14 ^第558016 651136 510336 782336 302336 50236 50236 50236 50236 50236 50236 50236 50236 ^第15 ^第00005859375 859375 859375 859375 ^第16 ^第16 ^第16号第^第16号^第16号^第16号^ ^ 17号第17期第17期第77号第77号77号第5777号第5777号第5777085777085777085777 085777号〈18第18号^第18号77号第18号^^^000018 575424 542976 395776 315776 315776 315776 315776 315776 315776 315776 19^^000019 123979 459179 483179 363179 963179 963179 963179 20^^000020000000000000000000000000000000000000000000 21^^000021 124421 492421 452421 652421 652421 652421 652421 652421 652421 652421 652421 652421 ^ 22^ 000022 723584 785856 092096608896 784896 104896 504896 504896 23^^000023 910567 988647 606247 078247 918247 718247 718247 718247 24^^000024 843776 014976 734976 734976 734976 734976 734976 734976 25^^000025 265625 265625 265625 265625 265625 265625 265625 265625 26^^000026 203776 203776 203776 203776 203776 203776 203776 203776 203776203776 27^^000027 892803 403683 450083 242083 002083 802083 802083 802083 802083

例如，要查找9↑↑4=9^{9^{9^{9^{9））的最后6位数字，请查看9^第row和4^第列，然后找到数字 865289。

终身兴趣超4

从1973年或1974年开始，我9岁或10岁时就开始迷恋并元运算符家族（increment、add、multiply等）。在12岁或13岁时，我开始尝试用滑动法则来计算由左联想重复指数定义的 “下hyper4函数”：十_④是的= (((十↑十)↑十)↑...)↑十-最初几次尝试都没有成功。我发现了这个公式十_④是的=十↑(十↑(是的-1））在14岁的时候工作尺几个月后。在我生命的那一部分（我称之为“我的古典时期”），我永远无法破解正确的关联“高阶超4函数”，这种痴迷最终消失了。这个曼德尔布罗特集最终，它取代了我对数学的痴迷。

到我30多岁的时候，我已经看到了其他一些广义函数之间的共同线程伽马射线（用于阶乘),巴恩斯G函数（用于下超工厂)，以及K函数（用于超因子).

最后，我决定把这些假设写在纸上，手工构造一个能满足所有假设的函数。我现在的情况并不完全令人满意，因为它需要调整底座。）

另请参见

hyper4函数也在my上进行了广泛的讨论大量第页。

A171881:0，1，1，2，1，1，3，4，1，1，4，27，16，1，1，1，5，256，19683，256，1，1，6，3125，4294967296，7625597484987，65536，1，1，7，46656， 298023223876953125，340282366920938463463374607431768211456， 4434264882243037769948249630619149892803，4294967296，1，1，8，823543。。。

1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，16，1，0，1，5，256，7625597484987，65536，1，1，1，6，3125，1340780792994259709957402499820584612747936582059239337777235614437217644030073546976801874298166903476900318581864860508537753882811946569946433649006084096，（下学期为3^{7625597484987}≈1.26*10^{3638334640024}), ...

脚注

1号文件： 与大多数文法学校的学生不同，我不仅仅满足于学习加法和乘法表。我接着学习了 “求幂表”，包括这里显示的所有值，再加上前面几行和列中的每一个值。我在4号楼^第等级。

第二章： 在厌倦了求幂函数之后，我转而使用hyper4，为此我发明了“powerlog”这个名字。因为一个7^第-我在一年的数学教科书中，把求幂定义为：一^b=(..(一×一)×一...)×一，我决定对超4，结果我最终使用了较低的hyper4函数。我参加了8场比赛^第当我得到身份时的年级（中学）一_④b=一^{一^(b-（一）}同年晚些时候，我创建了一个计算尺用于计算此函数。

三：一、 N.Galidakis，以前被一些人称为Ioannis，几年来一直在探索一些相关的问题。关于Lambert W函数，有很多工作要做，这在涉及耦合指数的任何事情中都很重要，比如十^x和xe公司^十或它们的倒数。他的实值hyper4函数的旧版本描述可以在web.archive.org的URL下找到http://users.forthnet.gr/ath/jgal/math/exponents4.html.

第四章： 当且仅当。。。：实际上，有多个值b就这样b e公司^b等于给定值一，但前提是你愿意一和b是复数。

第五章： 约翰·E·利特尔伍德，“大数字”。数学公报 32#第300页（1948年7月），第163-171页。在J.E. Littlewood中转载，数学家的杂集（1953年），第100-116页。

这个页面是用“令人难堪的可读性”标记语言编写的RHTF公司，最后更新时间为2020年3月26日。

s、十一

超4迭代指数函数

目录

添加一+b=一①b

乘法一×b=一②b

指数一b=一↑b=一②b

下Hyper4功能一④b

反问题的精确解一④b

高功能（“4”）一↑↑b=一④b