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| A000312号 |
| a（n）=n ^n；从n点到自身的标记映射数（内函数）。
（原名M3619 N1469）
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572
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1, 1, 4, 27, 256, 3125, 46656, 823543, 16777216, 387420489, 10000000000, 285311670611, 8916100448256, 302875106592253, 11112006825558016, 437893890380859375, 18446744073709551616, 827240261886336764177, 39346408075296537575424, 1978419655660313589123979
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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还有n个节点上标记的尖根树（或脊椎动物）的数量。
对于n>=1，a（n）也是n X n（0,1）矩阵的数量，其中每行正好包含一个等于1的条目Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年4月21日
此外，（n+1）节点上标记的根树的数量，使得根低于其子节点。此外，（n+1）节点上交替标记的根有序树的数量，使得根低于其子节点塞德里克·乔夫（Chauve（AT）lacim.uqam.ca），2002年3月27日
其中p（n）=n的整数分区的数量，p（i）=n的第i个分区的部分的数量，d（i）=n的第i个分区的不同部分的数量，p（j，i）=n的第i个分区的第j个部分，m（i，j）=n的第i个分区的第j个部分的多重性，有：a（n）=Sum_｛i=1..p（n）｝（n！/（Product_｛j=1..p（i）｝p（i，j）！））*（（n！/（n-p（i）））/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！））-托马斯·维德2005年5月18日
a（n）是以0为根的{0,1,2，…，n}上所有（n+1）^（n-1）棵树的叶子总数。例如，如果边指向远离根的方向，则{0,1,2}上的树是{0->1,0->2}、{0->1->2}、{0->2->1}，并且总共包含（2）=4个叶子-大卫·卡伦2007年2月1日
极限{n->infinity}A000169号（n+1）/a（n）=经验（1）。收敛速度较慢，例如，需要n>74才能得到一个小数位的正确值，并且需要n>163才能得到其中的两个-阿隆索·德尔·阿特，2011年6月20日
也是最小的k，使得二项式（k，n）可以被n^（n-1）整除，n>0-米歇尔·拉格诺2013年7月29日
对于n>=2，a（n）以n为基数表示为“1后面跟着n个零”-R.J.卡诺2014年8月22日
n个字母的字母表中长度为n的单词的数量-乔格·阿恩特2015年5月15日
满足本福德定律【Miller，2015年】-N.J.A.斯隆2017年2月12日
除了第一项（1，-4，-27，256，3125，-46656，…）之外，这个序列的有符号版本具有以下性质：对于每个素数p==1（mod 2n），（-1）^（n（n-1）/2）*n^n=A057077号（n） *a（n）总是模p的第2次幂剩余-宋嘉宁2018年9月5日
n^n都是和{i=0..n}二项式（n，i）*（n-1）^（n-i）
和和{i=0..n}二项式（n，i）*（n-1）^（n-i）*i。
前者是常见的n面骰子掷数的二项式分布，根据所需面出现的次数0到n。后者是相同的，但每个项都乘以其数量。这意味着，如果银行为每个拥有所选方的骰子向玩家支付1个代币，那么如果玩家支付1个代币进入，这总是一场公平的游戏——银行和玩家平均都没有获胜。
示例：
双面骰子（2枚硬币）：4=1+2+1=1*0+2*1*2（从现在开始省略0）；
三面骰子（3个长三角棱镜）：27=8+12+6+1=12*1+6*2+1*3；
四边骰子（4个长方形棱镜或4个四面体）：256=81+108+54+12+1=108*1+54*2+12*3+1*4；
五边形骰子（5个长五边形棱镜）：3125=1024+1280+640+160+20+1=1280*1+640*2+160*3+20*4+1*5；
六面骰子（6个方块）：46656=15625+18750+9375+2500+375+30+1=18750*1+9375*2+2500*3+375*4+30*5+1*6。
（结束）
对于每个n>=1，在一个（n）顶点上有一个图，其最大独立集的大小为n，其独立集序列是常数（具体来说，对于每个k=1,2，…，n，该图有n^n个大小为k的独立集）。没有具有此特性的小阶图（Ball等人2019）-大卫·加尔文，2019年6月13日
对于n>=2和1<=k<=n，a（n）*（n+1）/4+a（n。。。长度为n的w（n）在以下数量的字母{1，2，…，n}上：和{i=1..w（k）}w（i）。灵感来自AMM中的问题12432（参见链接）-塞拉·弗里德2023年12月10日
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参考文献
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F.Bergeron、G.Labelle和P.Leroux，《组合物种和树状结构》，剑桥，1998年，第62、63和87页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第173页，#39。
A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992，等式（4.2.2.37）
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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泰勒·鲍尔（Taylor Ball）、大卫·加尔文（David Galvin）、凯蒂·海瑞（Katie Hyry）和凯尔·温加特纳（Kyle Weingartner），独立集与匹配排列，arXiv:1901.06579[math.CO]，2019年。
H.J.Brothers和J.A.Knox，对数常数e的新闭式逼近《数学智能》，第20卷（4），1998年，第25-29页。（序列如公式（8）所示）
C.Chauve、S.Dulucq和O.Guibert，一些标记树的枚举《FPSAC/SFCA 2000会议录》（莫斯科），施普林格出版社，第146-157页。
E.Vigren（投标人），问题12432阿默尔。数学。《月刊》第130期（2023年），第953页。
迪米特里·茨万金，幂级数代数。。。，arXiv:math/0403092[math.AG]，2004年。
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配方奶粉
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a（n-1）=-和{i=1..n}（-1）^i*i*n^（n-1-i）*二项式（n，i）.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月28日
例如：1/（1+W（-x）），W（x）=兰伯特函数的主分支。
关于分母为a（n）的幂级数的注记：设f（x）=1+Sum_{n>=1}x^n/n^n。然后作为x->infinity，f（x）~exp（x/e）*sqrt（2*Pi*x/e）-菲利普·弗拉乔莱2008年9月11日
例如：1-exp（W（-x）），偏移量为1，其中W（x）=Lambert函数的主分支-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年9月15日
偏移量为1时，例如f.是组成逆（（x-1）*log（1-x））^（-1）=x+x^2/2！+4*x^3/3！+27*x^4/4！+-彼得·巴拉2011年12月9日
a（n）=（n-1）^（n-1，n-1）*（2*n）+和{i=1..n-2}二项式（n，i）*（i^i*（n-i-1，n-i-1）），n>1，a（0）=1，a（1）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年11月28日
log（a（n））=lim{k->infinity}k*（n^（1+1/k）-n）-理查德·福伯格2015年2月4日
Limit_{n->oo}（a（n+1）/a（n）-a（n）/a（n-1））=e（请参阅Brothers/Knox链接）-哈兰·J·兄弟2021年10月24日
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例子
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G.f.=1+x+4*x^2+27*x^3+256*x^4+3125*x^5+46656*x^6+823543*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数学
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表[Sum[StirlingS2[n，i]i！二项式[n，i]，{i，0，n}]，{n，0，20}](*杰弗里·克雷策2009年3月17日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，n^n]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[1/（1+LambertW[-x]），{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！系列系数[Nest[1/（1-x/（1-积分[#，x]））&，1+O[x]，n]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=n+1}，m！SeriesCoefficient[Inverse Series[级数[（x-1）Log[1-x]，{x，0，m}]]，m]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n^n}；
（PARI）是（n）=我的（b，k=功率（n，&b））；如果（k，对于（e=1，估值（k，b），如果（k/b^e==e，返回（1）））；n==1\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月14日
（PARI）{a（n）=my（a=1+O（x））；如果（n<0，0，for（k=1，n，a=1/（1-x/（1-intformal（a）））；n！*polcoeff（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2014年5月24日*/
（哈斯克尔）
a000312 n=n ^n
a000312_list=zipWith（^）[0..][0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月7日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000107号,A000169号,A000272号,A001372号,A007778号,A007830号,A008785号-A008791号,A019538年,A048993美元,A008279号,A085741号,A062206型,A212333型.
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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