特定数字的显著特性
引言
这些是一些具有显著特性的数字。（大部分较少值得注意的特性是此处列出.）其他人已经编制了类似的列表，但这是我的列表-其中包括数字我思考很重要(-:
我在这个列表中使用的一些规则：
一所典型的本科院校可以理解一切学生。
如果多个数字具有共享属性，则该属性为在一个具有该属性的“代表”编号下进行描述。我试过了选择未被引用的最小代表性示例另一处房产。
当给定数字具有多个属性类型时属性按以下顺序列出：
1.与基的使用无关的纯数学性质10（例如：137是首要的.)
2.Base-10特定数学属性（例如：137为素数；删除“1”：37也是素数；删除"3":7也是质数）
3.与物质世界相关但与人类无关的事物文化（例如：137接近精细结构常数，曾经被认为是准确但后来发现接近137.036…）
4.所有其他属性（例如：经常给出137由于其靠近精细结构常数，最著名的是Eddington）
由于明显的个人偏见，我只给每个复杂的条目一个，虚数、负数和零，剩下的全部投入（约25页面）转换为正实数。我也有一点整数偏差但这并没有产生如此严重的影响。关于复杂的一点数字、四元数等是在这里.
本页旨在抵消穆纳福数学定律.如果你有空间改进，让我知道！
(1+我)/√2= 0.707106... + 0.707106...我
的平方根之一我.
当我大约12岁的时候，我的继母问我一个问题打发时间：如果我是-1的平方根，平方是多少的根我?.我已经看过复平面,所以我用它来寻找有用的模式，很快就注意到了that the powers of我绕一圈。我估计的平方根我约为0.7+0.7我.
我不记得为什么我没有得到确切的答案：我也没有了解三角学或毕达哥拉斯定理，或如何求解多变量方程，或者可能只是厌倦了数学（我很明显，他很受欢迎欧拉公式很有可能思考1的力量+我会一直引导我贯穿底座-我对数和德莫伊夫公式到复指数函数).
但你不需要它来求我.你所需要的一切要做的就是治疗我作为某种未知值任何我2可以更改为-1。您还需要用系数和变量求解方程的想法，以及的平方根我是“a+b”的形式我“.然后你可以求…的平方根我通过求解方程：
（a+b我)2=我
展开（a+b我)2以正常的方式一2+2ab型我+b条2我2，然后更改我2至-1:
一2+2ab型我-b条2=我
然后把真实的部分放在一起：
（a）2-b条2)+2ab我=我
因为左侧的实际坐标必须等于右边的坐标，同样对于虚坐标，我们在两个变量中有两个联立方程：
一2-b条2= 0
2ab=1
从第一个方程式a2-b条2=0，我们得到a=b；替换这个在另一个方程中，我们得到2a2=1，a=±1/√2还有这个也是b的值。因此我是a+b我= (1+我)/√2（或其负面影响）。
（这是唯一的复数有自己的条目收藏，主要是因为这是我唯一感兴趣的中；请参阅上面的“明显的个人偏见”注释：-）。
我
单位为虚数s、 和的平方根之一-1.
（这是唯一一个有自己条目的虚数收藏，主要是因为它在显著性。此外，非-真实的数字似乎没有让我很感兴趣……）
-第7页，共4页
这个数字是第三个“岛屿”时期的“核心”R2F（1/2B1）S在Mandelbrot系列中Mandelbrot的财产迭代公式无法产生一个序列，其中每个项在序列中前面没有出现的分子：
0, -7/4, 21/16, -7/256, -114639/65536, ...
当考虑因素时为：
0, -7/22, 3×7/24, -7/28, -3×7×53×103/216, ...
-7/256项的分子中只有7，而不是引入一个新的素因子。
众所周知，所有整数（除了-2、-1和0）Mandelbrot迭代每次给出带有新素数的序列。它似乎也适用于几乎所有的分数；事实上，只有7/4已知异常。
数字爱好者有一段视频关于这个（以类似的属性开始63).
-1
负数
-1是“第一个”负数，除非您将“第一个“定义为“最低”。。。
在计算机中用于存储的“二的补码”表示法中整数（在固定范围内），数字以2为基数（二进制）存储在寄存器的不同“位”中有单独的以2为基数的数字。负数在寄存器的最高位置有一个1。这个-1的值在所有位置都用1表示，这是相同的如果你写一个程序来计算你会得到什么
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
让它持续足够长的时间溢出。
事实证明，这个级数和可以作为一般级数和
1 +x个+x个2+x个三+x个4+ ...
如条目中所述1/2，和等于1/(1-x个)，但只有在以下情况下才有效|x个| < 1. 然而，如果我们允许x个=2，无论如何使用公式，我们得到1/（1-x个) = 1/(1-2) = -1,这与二者的补语解释相同。
（我没有很多负数条目，因为它们没有太感兴趣了。也许我仍然与数字有关计算诸如“27山上的羊“或”40320拉夫堡钟楼的排列”。）
-0.0833333...= -1/12
著名的正整数和：
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... =1/12
在19第个世纪，新技术(塞萨罗,阿贝尔)是为了驯服一些不正常收敛的无穷级数和。示例显示在的条目中1/4和1/2.但是这些单靠技术还不足以处理无穷级数和：
C类= 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...
这个和单调地发散（向无穷大增加，没有而塞萨罗/阿贝尔不会工作。
欧拉在对执行分析延拓时必须处理它现在称为Riemann zeta函数：
泽塔(秒) = 1-秒+ 2-秒+ 3-秒+ 4-秒+ ...
Euler有秒=-1，这表示泽塔(秒) = 1 + 2 + 3 + 4 + ...欧拉的方法是将其表示为自身的线性组合使用现有的Cesaro或Abel-summable系列，即1-2+3-4+=1/4系列，但Euler的更容易鉴别法:
C类= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...
= 1 + (4-2) + 3 + (8-4) + 5 + (12-6) + 7 + ...
= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + ... + 4 (1 + 2 + 3 + ...)
Cesaro/Abel和Euler的方法都给出了和1/（1+1）2=1/4第一部分；所以我们有
C类=1/4+ 4C类
-3个C类=1/4
C类=-1/12
参数为-1的Riemann Zeta函数的值为-1/12如约翰·贝兹所述100:
数字12和24在数学中起着核心作用一系列刚刚开始的“巧合”理解。这一事实的最初迹象之一是欧拉的怪诞“证据”
1 + 2 + 3 + 4 + ... =-1/12
他在亚伯宣布“发散级数是魔鬼的发明”。欧拉的公式现在可以理解了严格地说是黎曼-泽塔函数，而在物理上则是解释了为什么玻色弦在26=24+2维中工作得最好。
贝兹在他“24小时”演讲的最后指出属于24与以下事实有关：在具有旋转对称的平面上构造晶格：一个具有4倍旋转对称和另一个6倍旋转对称-4×6=24。ζ（-1）=-1/12与从Zeta函数的性质来看，这个平面更有意义为一般复杂参数计算。此外，最不常见的4和6的倍数是12。
另请参见zeta值1.202056...和1.644934....
Ramanujan的-1/12总额
Srinivasa Ramanujan也解释了1+2+3+4+=-1/12，但以一种比欧拉更普遍的方式。他用了一个新的黎曼-泽塔函数的解析延拓。
在拉马努扬1913年写给G.H.哈代的信中，没有发现印度数学天才列出了他的许多发现和衍生产品。他在第十一节中指出：
我有发散级数的定理，计算与发散级数相对应的收敛值，即。
1 - 2 + 3 - 4 + ... =1/4,
1 - 1! + 2! - 3! + ... = .596... ,
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12,
1三+ 2三+ 3三+ 4三+ ... =1/120,
计算任何给定系列的此类值的定理（例如：1-12+22- 32+ 42- 52+ ...), 以及这些价值观的含义。
在现代记数法中，我们附加(ℜ) 直到这一系列总和的末尾，意味着Ramanujan总和:
1-1！+2! - 3! + ... = .596... (ℜ)
Ramanujan和定义了一个函数（f）(x个)其整数值x个是正在汇总的系列中的术语。然后
1+2+3+4+。。。n个(ℜ)
=西格玛k个=1n个 （f）(k个)
=积分x个=0n个 （f）(x个)+西格玛k个=1∞ B类k个/k个!(（f）(k个-1)(n个)-（f）(k个-1)(0)) +R（右）
其中“（f）(k个-1)“是(k个-1)第个的导数（f）（）。哈代Ramanjuan认为这只是其中不依赖的部分n个:
西格玛k个=1∞ B类k个/k个! (-（f）(k个-1)(0))
对于收敛级数，（f）(x个)将接近极限x个接近无穷大，这将给出一个等于无穷级数的和。在我们的案例中（f）(x个)发散，以及级数和是无限的，但哈代-拉马努扬和不是无限的。（f）（0）是0和1标准导数是常数（f）'(x个)=1，且均较高导数为零，所以它简化为
B类2/2! （-1）
B类2是第二个伯努利数是1/6，所以我们得到-1/12.
0
单词“zero”是英语中唯一可以追溯到阿拉伯语ʂ如果“无”、“密码”；它变成了泽菲罗意大利语，后来通过删除菲). 单词与符号一起出现，大约在同一时间出现了西方阿拉伯语数字传到了欧洲。44,105
用一个符号代替另一个数字的做法当该位置没有值时（例如中的0107表示没有10秒）返回到5秒第个-世纪印度，在那里它被称为顺亚或西德尼亚特107.
（这是唯一一个有自己条目的零数收藏，主要是因为领域可以有只有一种添加剂身份.)
5.390×10-44
这是以秒为单位的普朗克时间；它与量子有关力学。根据维基百科的文章普朗克时间,“在我们理解的物理定律的框架内今天，相隔不到一个普朗克时间的时间，我们都不能测量或检测任何变化”人们可以把它想象成“最短的可测量时间”，以及现实世界（如果一个人相信量子力学)，任意两个事件间隔时间小于此值的可以考虑同时进行。
它需要光线（以光速)这么长的旅行时间普朗克长度单位，其中它本身比质子、电子或任何大小已知。
另请参阅1.416833(85)×1032.
1.616229(38)×10-35
这是以米为单位的普朗克长度；它与量子有关力学。对大多数人来说，最好的解释是普朗克长度是可测量的最小长度，或与我们可以观察到的事件有任何关联。这使用CODATA2014年价值50。另请参阅5.390×10-44和299792458.
1.0554571800（13）×10-34
“减少的”普朗克常数以焦耳-秒为单位，来自CODATA 2014值50.
6.626070040(81)×10-34
这是普朗克常数以焦耳-秒为单位，来自CODATA 2014值50这给出了光子能量之间的比例和波长。
6.62607015×10-34
自1起标准2019年5月普朗克常数（焦耳-秒）为定义为该值，以便定义公斤就自然界的可观察属性而言。定义如下：
千克，符号kg，是国际单位制质量单位通过取普朗克常数的固定数值来定义小时为6.62607015×10-34当以J s表示时，其中等于kg m2秒-1，米和秒在哪里定义为c（c）和δν铯.
哪里c（c）是现有光速（自1967年以来）定义（参见299792458)和δν铯是平静的吗铯-133的地面超精细跃迁频率（参见9192631770).
9.10938356(11)×10-31个
The mass of an电子以千克为单位，来自CODATA 2014值50。另请参阅206.786。。。
1.672621898(21)×10-27
a的质量质子以千克为单位，来自CODATA 2014值50.
1.674927471(21)×10-27
a的质量中子以千克为单位，来自CODATA 2014值50.
5.77×10-24
所需的大致时间（秒）光到横穿宽度质子.
1.38064852(79)×10-23个
的值玻尔兹曼常数由老年人（2019年前）CODATA 2014中给出的定义50。此值基于实验观察以及开尔文的定义，通过测量水的三相点并定义开尔文，使三元组点温度达到273.16K.对于电流（2019年及以后）定义见1.380649×10-23个.
1.380649×10-23个
这个玻尔兹曼常数（单位：焦耳/开尔文）重新定义，内容如下：
开尔文，符号K，是国际单位制热力学温度。它是通过采用固定数值来定义的玻尔兹曼常数的值k个为1.380649×10-23个什么时候单位为J K-1，等于kg m2秒-2K（K）-1，其中千克、米和秒的定义为小时,c（c）和δν铯.
哪里小时是新定义的普朗克常数（参见6.62607015×10-34),c（c）是现有光速（自1967年起）定义（参见299792458)和δν铯是未扰动的地面状态超精细过渡频率铯-133（参见9192631770).
5.340588736（33）×10-20
电荷量（库仑）电子电荷），基于CODATA 2014值50.质子第页，电子s和夸克所有的电荷都是（正电荷或负）此值的整数倍。
1.6021766208(98)×10-19
这个基本电荷或“单位费用”，指电子库仑，来自CODATA 2014值50.这不是更长时间被认为是最小的电荷量，现在物质是已知主要由夸克有费用的量子的倍数正好是这个值的1/3。
自1起标准2019年5月，基本电荷未在库仑项；相反，它是定义确切地说1.602176634×10-19库仑；换句话说库仑现在是用基本电荷来定义的。
1.602176634×10-19
The reciprocal value of the库仑以元素为单位按照新的（2019年）定义，收费。
2019年，国际单位制（SI）进行了更新，以定义它的七个基本单位以一种定义所有七个单位的方式自然的可观测性质，这些性质是任意的以基本单位表示的数值：
安培，符号A，是电的国际单位制电流。它是通过取基本电荷e（电子）为1.602176634×10-19当表达时单位为C，等于A s，其中第二个定义为以δν表示铯.
式中δν铯是未扰动地态超精细跃迁铯-133的频率（参见9192631770).
1.75×10-15（质子的大小）
质子的近似“大小”71，单位为米（基于其0.875飞米的“电荷半径”）。“大小”相当模糊粒子的概念，需要不同的定义不同的问题。请参见1040.
8.8541878176204…×10-12
这个真空电容率常数，单位为每米法拉，使用旧的（2019年前）真空渗透率定义（参见4π/107)和（当前）的定义光速（见299792458）。在旧时代，这被称为“自由空间的介电常数”。由于标准的组合定义，尤其是光速，此常数正好等于107/(4 π 2997924582)=625000/22468879468420441π法拉每米。
2019年及以后，真空介电常数需要根据测量结果进行计算。最大的不确定性对其价值的贡献在于精细结构常数.
6.67408(31)×10-11个
这个引力常数单位：立方米/千克秒平方，来自CODATA 2014值50。这是其中一个物理学中重要的物理常数，尤其是宇宙学和努力将相对论与量子力学统一起来。它也是最难测量的常数。另请参阅1.32712442099(10)×1020.
2.176470(51)×10-8
这个普朗克质量单位为千克，使用CODATA 2014值。这个普朗克质量与光速，的普朗克常数、和引力常数根据公式百万英镑=√碳氢化合物/2πG公司.
1.2566370614359×10-6
常数4π/107出现在旧版本中（2019年前）“磁性常数”或真空磁导率的定义。它是与安培的旧定义有关，该定义指出一安培的电流在两条平行的直线导体中流动无限长，相距1米，产生的力为2×10-7个牛顿每米长。这源于一个旧的定义说明一厘米间距的电线的类似设置会产生2的力达因s每厘米长度（一达因为10-5个 牛顿s） ●●●●。
0.0072973525664(17)
这个精细结构常数，由CODATA给出2014年（参见50). “（17）”是误差范围。请参阅137.035...历史记录和详细信息页面。
0.007874015748...= 1/127
关于1的倍数，有一些“巧合”/127:
e（电子）/π = 0.865255... ≈ 110/127 = 0.866141...
√三= 1.732050... ≈ 220/127 = 1.732283...
π = 3.141592... ≈ 399/127 = 3.141732...
√62= 7.874007... ≈ 1000/127 = 7.874015...
e（电子）π= 23.140692... ≈ 2939/127 = 23.141732...
还有一些用于1/7.√62巧合是在中讨论√62进入、π和e（电子）π一个放在一起（参见e（电子）π).
0.01（百分比）
1/100或“百分之一”。
0.01671123（地球轨道偏心率）
这是地月重心轨道的偏心率在J2000纪元；该值目前正在以大约的速度减少每年0.00000044，主要是由于其他行星的影响。这个月球的质量和距离足以使地球自身发生几次移动距离重心一千公里。另请参阅0.054900.
0.01720209814
Simon计算的高斯引力常数的版本1895年纽康。
0.01720209895
“高斯引力常数”k个，按最初计算由高斯，与高斯年Δt吨由公式Δt吨= 2π/k个。该值后来被替换为纽科姆值0.01720209814，但在1938年（又是在1976年）IAU采用了原始高斯值。
另请参阅354710.
0.054900（月球轨道偏心率）
月球轨道的平均偏心率-月球在近地点（离地球最近的点）的距离，以及远地点。由于太阳引力的影响偏心率变化很大，低至0.047左右高达0.070左右；椭圆每隔9进动一整圈年（参见27.554549878). 离心率最大当近地点和远地点与新月和满月重合时。在这种情况下月球距离变化的倍数总计为14%当比较远地点的大小时，大小（天空中的面积）变化30%到近地点的大小。这意味着月亮在一年中变化30%。2004年最明亮满月是在七月二日第; 由于轨道的进动2006年最明亮的满月是几个月后的10月6日第个.
尺寸的变化对人们来说太小了不经意的观测（日食时除外，那时月亮有时覆盖了整个太阳，但有时会产生日环食）。但偏心率足够大，导致月亮每天在天空中移动的速度。当月球接近近地点，一天可以移动16.5度；当接近远地点时，它只移动12度；平均值为13.2。这个其累积效应是月球可能出现多达22个如果轨道是循环，足以使阶段发生多达1.6天在理想圆轨道预测之前或之后。它还影响平动（月球明显的“摆动”这样我们就能看到月球的远侧取决于你看的时间）。
另请参阅0.01671123.
0.065988...=e（电子）-e（电子）= (1/e（电子）)e（电子）
这是的最小值z（z）为之而建的无限动力塔
z（z）z（z）z（z）z（z）z（z）...
收敛到有限值（其收敛到的值为1/e（电子）). 这种功率消耗的最高值收敛是1.444667...; 更多信息请参阅该条目。
另请参阅0.692200。。。.
0.0833333...=1/12
请参见-1/12.
0.11494204485329620070104015746959...
这是开普勒–布坎普常数，与几何图形相关同心内接圆和多边形的构造。从开始单位圆（半径为1的圆）。内接等边在圆圈内刻一个三角形，然后在三角形。较小圆的半径为cos（π/3）=1/2。现在在那个圆内刻一个正方形，在方形；这个更小的圆的半径为cos（π/3）×cos（∏/4）= √1/8继续用五边形、六边形和每一个连续正多边形。圆圈变小了，但不会消失一直降到零；上限是这个数字，大约是10/87。
0.142857...= 1/7
分数1/7是带有具有有趣模式的重复小数。请参阅7文章的一些有趣属性。
读者C.Lucian指出已知常数的近似值为1/7的倍数：
伽马射线= 0.5772156... ≈ 4/7 = 0.571428...
e（电子）/π = 0.865255... ≈ 6/7 = 0.857142...
√2= 1.414213... ≈ 10/7 = 1.428571...
√三= 1.732050... ≈ 12/7 = 1.714285...
e（电子）= 2.7182818... ≈ 19/7 = 2.714285...
π = 3.1415926... ≈ 22/7 = 3.142857...
e（电子）π= 23.140692... ≈ 162/7 = 23.142857...
这些都是巧合，没有任何其他解释，除非以下条目中另有说明√2和e（电子）π。另请参阅127年1月.
0.1868131868131...=17/91(法国天然气公司)
康威的第一个分数法国天然气公司程序([152]第147页）首要的数字。完整的程序是17/91,78/85,19/51,23/38,29/33,77/29,95/23,77/19,1/17,11/13,13/11,15/2,1/7,55/1。要“运行”程序：从开始X（X）=2，查找第一个分数N个/D类按其顺序XN公司/D类是一个整数。使用此值西北/D类作为的新价值X（X），然后重复。每一次X（X）设为2的幂，你就找到了一个素数，它们将依次发生：22，第2页三，第2页5，第2页7，第2页11等等。虽然效率不高，但需要19步才能找到第一个素数，第二个素数69，然后是281、710、2375。。。（斯隆的A7547型).
0.20787957635...=e（电子）-π/2=我我
这是e（电子）-π/2，也等于我我.（因为e（电子）九=cos(x个) +我罪(x个),e（电子）我π/2=我、和因此我我= (e（电子）我π/2)我=e（电子）我2π/2=e（电子）-π/2.)
0.25= 1/4
这个塞萨罗总和交替发散无穷级数和：
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
可用于导出Euler/Ramanujan“臭名昭著”的和1+2+3 + 4 + ... =-2012年1月.
一阶Cesaro方法如条目所示1/2。在这里，我们将应用该方法两次。我们从无穷级数的项：
A类-1(n个) : 1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, ...
这是部分总和：
A类o个(n个) : 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, ...
这些函数在上下都是发散的且是无界的。The sum of the第一n个该系列的术语是：
A’(n个) : 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ...
第一次的平均值n个A的条款o个(n个)是A'(n个)/n个:
(C类，1）-总和=A'(n个)/n个: 1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, ...
这并没有融合，但在这方面带来了希望（比如1-1+1-...)它设法至少保持从上到下的界限以及以下内容。偶数项均为0，奇数项接近1/2.
让我们取的连续平均值这顺序：塞萨罗总和塞萨罗总和。第一个的总和n个上述条款"(C类，1）-sum“为
1, 1, 5/3, 5/3, 34/15, 34/15, 298/105, ...
而连续的平均值刚好超过这些n个:
1, 1/2, 5/9, 5/12, 34/75, 34/90, 298/735, ...
它们在1/4处会聚，尽管这里可能有点难看到。这实际上不是塞萨罗定义2的方式第个订单法。相反，他把第一个n个A'条款(n个)在中分子：
A“”(n个) : 1, 1, 3, 3, 6, 6, 10, ...
和二项式系数n个C类2（三角形数字），称为“E”(n个)“，在分母中：
E“(n个) : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35, ...
Cesaro方法的二阶平均值为：
(C类，2）-总和=A''(n个)/C类(n个,2) : 1, 1/3, 3/6, 3/10, 6/15, 6/21, 10/28, ...
而这些也会聚在一起1/4。添加此方式使其更容易去看，因为例如为了偶数n个我们可以让小时是n个/2，我们得到：
A“”(n个)/C类(n个，2）=小时C类2/2小时C类2
= (小时(小时-1)/2) / (2小时(2小时-1)/2)
= (小时2-小时)/(4小时2-2小时)
= (1/2) (2小时2-小时-小时2)/(2小时2-小时)
= (1/2) ((2小时2-小时)/(2小时2-小时)-小时2/(2小时2-小时))
=1/2-1/2(小时2/(2小时2-小时))
该部分“小时2/(2小时2-小时)“明显收敛于1/2，因此整个过程收敛到1/2-1/4。
这个总数1/4显示为“1/（1+1）2“在Ramanujan家笔记本。这可以通过注意1-1+1-1+1-1+。。。有1标准-订单Cesaro sum1/2，然后执行以下操作：
(1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...)2
= (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...)×(1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...)
= 1 + (-1×1 + 1×-1) + (1×1 + -1×-1 + 1×1)+ (-1×1 + 1×-1 + -1×1 + 1×-1) + ...
= 1 - 2 + 3 - 4 + ...
所以1-2+3-4+5-6+7-的和。。。必须是的平方1-1+1-1+1-…之和。。。，其为1/2的平方，这是1/4。
欧拉方法
还有另一种可能更容易获得相同答案的方法。从开始这个无穷级数和，并假设它有一个值，这里称为C类:
C类= 1 +x个+x个2+x个三+x个4+ ...
乘以x个:
抄送= x个+x个2+x个三+ ...
第一个减去第二个：
C类-抄送= 1
C类(1-x个) = 1
C类= 1/(1-x个)
如果x个大约是1/2，很容易看出总和1+1/2+1/4 + 1/8 + ... 为2和1/（1-x个)=1/（1-1/2）也是2，所以推导是有效的。但如果x个比方说，如果是-1，那么我们将得到1-1+1- 1 + 1 - ... = 1/2，在条目中讨论了1/2.欧拉并不担心严格的收敛，只是继续：
1 +x个+x个2+x个三+x个4+ ... = 1/(1-x个)
让我们区分双方！
1 + 2x个+ 3x个2+ 4x个三+ ... = 1/(1-x个)2
如果x个=-1我们得到了所需的总和：
1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1/(1-(-1))2
答案还是1/4。
0.267949...= 2-√三=棕褐色（15o个)
另请参阅3.732050
0.288788095086602421278899721929...=1/2×3/4×7/8× 15/16 × 31/32 × ... × 1-2-N个× ...
这是（1-2）的无穷乘积-N个)为所有人N个。这是也是（1）的乘积-x个N个)与x个=1/2. Euler在在一般情况下，这个无限乘积可以减少到更容易计算无穷大总和1 -x个-x个2+x个5+x个7-x个12-x个15+x个22+x个26-x个35-x个40+ ... 其中指数是五边形的数字N个（3）N个-1） /2（正负两用N个)，斯隆的A1318型.30
0.329239474231204...=a什（平方（2+sqrt（2+4））/2）=ln（2+√三)/4
这是戈特弗里德·赫尔姆斯的卢卡斯·莱默常数”卢克雷";看见1.38991066352414...获取更多信息。
0.333333...= 1/3
1/3是最简单的非-二元有理数，最简单的是以10为基数的非终止小数。
1/3是非收敛无穷级数和的“Ramanujan和”第页，共2页n个:
1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + ...
即使我们不被允许，我们也可以尝试应用级数和公式：
1 +x个+x个2+x个三+ ... = 1/(1-x个)
它仅在-1时以正常方式收敛<x个< 1. 如果我们这样做，我们会的x个=-2，并且总和将是1/（1-（-2））=1/3。
0.3678794411714= 1/e（电子）
在秘书问题也被称为“未婚妻”、“苏丹的“嫁妆”、“挑剔的求婚者”或“咕咕”问题，面试官是一次提供一个职位的多个候选人，以及只能选择一个。我们认为他们可以以某种方式候选人比任何特定的候选人都好或差早些时候看到的。如果他们通过了一个候选人，他们就不能回去了稍后发送给该候选人；一旦做出选择，他们就不能选择下一个。候选人数在前进。最大化最终找到最佳候选人如果他们采用这种策略，最终会找到最好的候选人？
最佳策略是传递第一个1/e（电子）候选人，或约37%；然后选择下一个比前37%强（或者如果他们一路杀进决赛候选人，选择一个。）如果使用此策略，则会出现1/e（电子）他们最终可能会得到最好的。
0.3739558136192022...
这是“阿廷常数”(1-1/2)(1-1/6)(1-1/20)...(1-1/(对(对-1） ）对于所有素数对.它与猜想关于素数的“密度”对其中1/对有一作为一个基元根，其中一满足OEIS序列条件A85397。这包括10个，这意味着大约30%的素数具有十进制展开式的倒数对-1位数；前两个是7和17.
0.3926990816987241...= π/8
奇怪的是，积分
¦Β0..∞cos（2x个)π1..•科斯(x个/n个)dx公司
其值非常接近π/8，但并不完全如此。发件人Bernard Mares，Jr.通过Bailey等人。[194]; 关于MathWorld的更多信息在无穷余弦积积分.
另请参阅0.3926990816987.
0.412454...
如果你取一个由1和0组成的字符串，然后跟它的补码（带1的同一字符串切换为0，反之亦然）字符串的长度是原来的两倍。如果你永远重复这个过程（从0作为初始字符串）获得序列
011010011001011010010110...
如果你把它变成二进制分数0.0110100110010110。。。2这个以10为基数的等值为0.41245403364…，称为Thue-Morse常数或奇偶常数。其值已给定按无穷乘积的比率：
4 K=2-乘积[22n个-1] /产品[2]2n个]
= 2 - (1 × 3 × 15 × 255 × 65535 × ...)/(2 × 4 × 16 × 256 × 65536 × ...)
0.5= 1/2
这个塞萨罗总和最简单的Cesaro-summable无穷级数和：
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...
Cesaro求和技术是对无穷级数和作为其部分和的极限。为了说明原则上，让我们考虑一个无限和以正常方式收敛：
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
这是部分总和：
1, 3/2, 7/4, 15/8, ...
可以很容易地看出（并通过数学归纳法证明）收敛到2。塞萨罗考虑了一系列平均值（算术手段）N个部分总和：
1, (1 + 3/2)/2, (1 + 3/2 + 7/4)/3, (1 + 3/2 + 7/4 + 15/8)/4, ..
即：
1, 5/4, 17/12, 49/32, 129/80, 321/128, 769/448, ...
它也收敛于2，尽管速度较慢。这种技术平均第一个n个部分和可以得到无穷大的答案其部分和单独取值而不收敛的级数。开始具有：
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...
部分总和为：
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...
这不收敛，但让我们取第一个的平均值n个属于这些。第一个的总和n个（对于n个=1, 2, 3, ...) 是：
1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, ...
所以第一次的平均值n个部分总和为：
1, 1/2, 2/3, 1/2, 3/5, 1/2, 4/7, ...
其收敛于1/2。请参见1/4例如2第个阶Cesaro求和，以及-1/12去看Ramanujan的扩展。
Ramanujan的笔记本在讨论-1/12系列时使用"1/(1+1)2“，这表明他认为总和是1-1+1-1+1- 1 + 1 - ... 为“1/（1+1）”。这可以从级数和的推广：
1 +x个+x个2+x个三+ ... = 1/(1-x个)
只有当|x个| < 1; 但如果我们考虑x个=-1，我们得到“1-1+1-1+1-1+1-=1/（1）-x个)=1/（1+1）”。因此，值1/2可以用两种方式“调整”。
0.5040670619069283...
这是sin（1/*x）从0到1的积分。Mathematica或Wolfram Alpha将提供更多数字：0.5040670619069283719898561177411482296249850282126391708714331675557800743661836160517915604457297012...
0.5294805... + 3.342716...我（汉金斯的亿万美元）
一个读者[213]向我建议一些人可能会将“zillion”定义为“1后面跟着无数个零”。这是有点像googolplex公司但是自相矛盾，无论你选择什么价值X（X）,10X（X）大于X（X）.
然而，只有当我们限制X（X）为整数（或实数）。如果X（X）允许为复数，则方程式10X（X）=X（X）有无限多的解决方案。
使用Wolfram Alpha[227]，输入“10^x=x”，您将得到：
x个≈ -0.434294481903251827651W公司n个(-2.30258509299404568402)
带有描述W公司k个作为“产品日志功能”，它是与Lambert W函数相关（请参见2.50618...). 这个函数也可以在WolframAlpha（或Mathematica）中使用名称“产品日志[k个,x个]“其中k个是任意整数，并且x个是论点。所以如果我们输入“-0.434294481903251827651*ProductLog[1，-2.30258509299404568402]“，我们得到：
0.529480508259063653364... - 3.34271620208278281864...我
最后，输入“10^（0.529480508259063653364-3.34271620208278281864*i）“并获得：
0.52948050825906365335... - 3.3427162020827828186...我
如果我们使用-2作为的初始参数产品日志[]，我们得到0.5294805+3.342716我，通常所有解决方案都是作为复共轭对。其他解决方案包括x个=-0.119194...±0.750583...我和x个=0.787783...±6.083768...我.
鉴于-十亿数字都是1000，另一位读者建议[218]那个应该从10开始执行上述操作（3）X（X）+3)=X（X）。这导致类似的结果，其中一个第一根是：
-0.88063650680345718868…-2.103950020077170002545。。。我
0.543643312100524...
输掉一场机会游戏的几率。掷硬币：如果你得到头部，你的分数增加π，如果你得到尾部，您的分数减少1。重复你想要的次数-但是如果你的分数一旦消极，你就会失败。假设玩家继续玩无限期地（受到越来越高的诱惑分数），失败的几率是多少？
答案由级数和给出：1/2+1/25+ 4/29+22/213+ 140/217+ 969/221+ 7084/225+53820/2个29+420732/234+ ..., （斯隆的分子A181784号)其中总计0.5436433121。。。
使用有理数进行更复杂的分析，如355/113更快地收敛于答案，给出0.54364331210052407755147385529445…（参见[202]).
我的页面上的更多信息序列A181784.
另请参阅368.
0.567143290409783872999968662210355549753815787186512508135131...（该欧米茄常数)
这是Omega常数，它满足以下每个简单的条件方程式（全部等效）：
|
|
e（电子）x个= 1/x个 | | x个=ln（1/x个)=-英寸(x个) | |
e（电子）-x个=x | | -x个=英寸(x个) | |
x e（x e）x个= 1 | | x个+在(x个) = 0 | |
x个1/x个= 1/e（电子） | | x个/在(x个) = -1 | |
x个-1/x个= (1/x个)（1）/x个)=e（电子） | | 在(x个)/-x个= 1 | |
因此，它有点像黄金比率.在上面方程式，如果e（电子）替换为任何大于1的数字（和“ln”通过相应的对数），得到另一个“Omega”常数。例如：
如果2x个=1/x个，然后x个=0.6411857445...
如果πx个=1/x个，然后x个=0.5393434988...
如果4x个=1/x个，然后x个=1/2
如果10x个=1/x个，然后x个=0.3990129782...
如果27x个=1/x个，然后x个=1/3
如果10000000000x个=1/x个，然后x个=1/10
0.5772156649...
（该Euler-Mascheroni常数)
这是Euler-Mascheroni常数，通常由希腊字母伽马射线定义如下。考虑一下总和：
S公司n个= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1个/n个
序列开始于1、1.5、1.833333…、2.083333…等接近无穷大，和接近ln(n个) +伽马射线.数字爱好者有一段关于此常数的视频：0.577的奥秘.
以下是一些不明显的近似值伽马射线:
1/(√π- 1/25) = 0.5772159526...
伽马射线= 0.5772156649...
1/（1+1/√10)2= 0.5772153925...
0.596...
拉马努扬1913年写给G.H.哈代的信中的无限金额之一，第十一节：
1 - 1! + 2! - 3! + ... = .596... ,
看见-1/12为了一个更简单的例子。
该金额有差异，但可以考虑部分金额：
0 + 1 + 2 + ... +n个
=总和我在[0..中。。n个] （f）(我)
（其中（f）(x个)=x个)
= -（f）(0)/2 +我完整的0..∞(（f）(它)-（f）(-它)) / (e（电子）2πt吨- 1)日期
在这个特定的示例中，我们得到
-2积分{{0..∞}1/(e（电子）2πt吨-1)日期
0.604898...
无穷级数和的值
1/1 - 1/√2+ 1/√三- 1/√4+1/√5- ...
它是（1-√2)乘以1/2的Riemann zeta函数。更多数字：0.604898643421630370247265914…（斯隆序列A113024号).奇怪的是，虽然级数和收敛到一个相当小的有限值，如果将序列和平方：
(1/1 - 1/√2+1/√三- 1/√4+ 1/√5- ...)2
并按所需顺序求和：
1/1 - (1/1×√2+ 1/1×√2)+ (1/1×√三+ 1/√2×√2+1/√三×√1)- (1/1×√4+ 1/√2×√三+ 1/√三×√2+ 1/√1×1)+ ...
= 1/1 - (1/√2) + (2/√三+ 1/2) - (2/√4+ 2/√6) + ...
括号中部分的数量在不断增加，因此该系列总和发散。然而，很明显有一个总数，以及诸如Cesaro总和（参见条目1/4)可用于对它进行评估，得到正确的答案切萨罗的总结是非常必要的。（案例1/4是有点更难辩解。）
0.618033...= (√5- 1) / 2
（黄金比率倒数）
黄金比率（倒数形式）：参见1.618033。。。.
0.636619...= 2/π
这个布冯氏针问题涉及估计概率给定长度的随机铺设线段将穿过一条线段间隔一定距离的一组平行线。如果线段的长度与线间距相同，概率为2/π。
另请参阅0.773239....
0.692200。。。= (1/e（电子）)(1/e（电子）)
这是函数中的最低点年=x个x个。另请参阅1.444667....
0.693147...=ln（2）
2的自然对数，写为“ln（2）”。请参见69.3147。。。和72.
ln（2）是这个无穷级数和的值：
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ...
= 1/2 + 1/12 + 1/30 + 1/56 + ...
这被称为“条件收敛级数”，因为级数如果按上述方式相加，则会收敛，但如果重新排列条款：
1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)
然后有两个不收敛的级数和一个未定义的级数“无穷减去无穷”。
0.709803...
这个兔子常数
您可以使用“substitution”创建1和0的长字符串规则”并从一个小的起始字符串（如0或1）迭代。如果你使用规则：
0→ 1
1→ 10
从0开始，得到1、10、101、10110、10110101、1011010110，…其中每个字符串是前一个字符串，后跟前一个那个（斯隆的A36299型或A61107型). 这个的极限是一个无限的字符串1和0的值，您可以将其转换为二进制分数：0.1011010110110...2，你得到这个常数（0.709803…以10为基数）它被称为兔子常数.它有一些特别的与的关系斐波那契数列:
- 在上述迭代中，每个迭代中的位数字符串是斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21。。。
- 表示为连分数，常数为0+1/(20+ 1/(21+ 1/(21+ 1/(22+ 1/(2三+ 1/(25+1/(28+ ...))))))) 其中2的指数是斐波那契数字。
- 如果你把黄金比率的倍数都取出来0.618033将它们四舍五入为整数，得到1，3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, ...: 这些数字告诉你1在哪里二进制分数为。
如果去掉前两个二进制数字（10），则会得到110101101101011010110110101…，由图灵生成的位模式机器的末尾图灵机器谷歌涂鸦作为分数（0.1101011…）是0.8392137714451.
0.739085...
的值x个这样的话x个=cos(x个)，使用弧度作为单位角度。你可以用科学计算器找到数值，只需输入任意合理接近的数字并按下余弦键一次又一次。这里还有几个数字：0.7390851332151606416553120876738734040134117589007574649656...26
0.76393202250021...
这是3-√5，与以下序列相关嫁接数量由马特·帕克发现。还有更多精度，它是：0.76393202250021030359082633126872376455938164038847...
取小数点后的奇数位数，加1获取嫁接号码。例如，76393+1=76394. The以这种方式导出的数字序列开始于：8764、76394、7639321、，763932023, 76393202251, 7639320225003, ...
0.7724538509055...= √π- 1
对“无限”的答案的一种极其有趣的近似中的“电阻网络”问题xkcd 356码，其中向世界介绍"书呆子狙击".请参见里斯和0.773239....
0.7732395447351。。。= 4/π - 1/2
一个极具吸引力的“无限电阻网络”的答案中的问题xkcd 356码，介绍了世界运动"书呆子狙击"90。另请参阅0.636619...和0.772453。。。.
0.7734
这个数字在一个早期的7段显示计算器上显示为“hello”当看到上下颠倒时：
→
另请参阅71077345.
0.783430510712...
这是INTEGRAL0..1 x个x个d日x个，奇怪地等于-SIGMA公司i.基础设施(-n个)-n个Bernoulli证明了这一点。还有更多数字，是0.78343051071213440705926438652697546940768199014股份（与1.291285...昵称"大二学生的梦想".
0.839213771445...
这是0.11010110110101101011011010110101011011011010101011010110110110110……英寸二进制文件，是兔子常数由生成图灵机器谷歌涂鸦自2012年6月起。更多数字：0.8392137714451652585671495977783023880500088230714420678280105786051...
0.8507361882018672603677977605320666044113994930...
“常规折纸顺序”的十进制值1 1 0 1 100 11100100 1 110110001100100 1 1101100111001000110110001100100 ...转换为二进制分数。这个1和0的序列给出了沿着龙形曲线。它是8的总和2k个/(22k个+2-1） 为所有人k个≥0，级数和每增加一个术语，数字就会增加一倍。
0.885603194410...
的最小值Gamma函数具有积极的实数参数。Gamma函数是连续模拟的阶乘的功能。这是伽马射线（1.461632144968…）。（有关两者的更多数字，请参阅OEIS序列A30171型和A30169型.)
0.886226925452...
这是π平方根的1/2。它是伽马射线（3/2），有时也称为（1/2）！，这个阶乘的第1/2页。
另请参阅0.906402...和1.329340....
0.906402477055477077982671288...
这是伽马射线（5/4），或“1/4的阶乘”。而一些Gamma函数值，如0.886226...和1.329340...，有只涉及π到a的简单公式理性权力，这一点要复杂得多。它是π到3/4的幂除以（√2+4√2)，乘以椭圆函数的无穷级数。
0.906163678643...
这是（4+4√2)/(5+4√2)，是可达到的最佳密度通过在平面中填充相等大小的规则八边形。值得注意的是，这是一个位小于0.906899...，可达到的密度圈子。
0.906899682117...
这是π/12，即通过等尺寸包装可达到的密度平面上的圆圈。另请参阅0.906163....
0.915965594177...
加泰罗尼亚常数，可以定义为：
G=∑(0,1)[反弧（x）/x dx]
或
G=1-1/32+ 1/52- 1/72+ 1/92- ...
如果你有2n个× 2n个棋盘和2个n个2多米诺骨牌刚好能覆盖棋盘，有多少种方法可以覆盖整个棋盘多米诺骨牌？对于大型n个，答案近似于
f’n个=e4千兆2/ π
0.922276847117579694535372498...
这是的立方根(5√27-5√2).高斯珀发现了以下身份，这很了不起因为左边只有2和3的幂，而右边分母的幂为5108:
(5√27-5√2)(1/3)= (5√8 5√9+5√4-5√2 5√27+5√三) /三√25
或以其原始形式：
（3）(3/5)-2(1/5))(1/3)= (- 2（1/5）三(3/5)+ 2(3/5)三(2/5)+ 3(1/5)+ 2(2/5)) / 5(2/3)
另请参阅1.554682...
. . .转发至第2页. . .最后一页（第25页）
快速索引：如果您要查找特定的数字，请从以最接近的为准： 0.065988... 1 1.618033... 3.141592... 4 12 16 21 24 29 39 46 52 64 68 89 107 137.03599... 158 231 256 365 616 714 1024 1729 4181 10080 45360 262144 1969920 73939133 4294967297 5×1011 1018 5.4×1027 1040 5.21...×1078 1.29...×10865 1040000 109152051 101036 101010100 — — 脚注另外，请查看我的大数字和整数序列页。
此页面是用“令人尴尬的可读性”标记语言编写的右侧TF，部分章节上次更新时间为2024年4月8日。 
第27条