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q系列标识

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有很多美丽的身份q个-系列，其中一些直接遵循q个-模拟标准组合恒等式，例如q个-二项式定理

总和（n=0）^infty（（a；q）_nz^n）/（（q；q）-n）=（（az；q）_infty）/（z；q）_ infty
(1)

(|z |<1,|q |<1；安德鲁斯1986年，第10页），欧拉身份的特例

（aq；q）_infty=sum_（k=0）^infty（（-1）^kq^（k（k+1）/2）a^k）/（（q；q）_k）
(2)

（Gasper和Rahman，1990年，第9页；Leininger和Milne，1999年），以及q个-范德蒙德总和

_2phi_1（a，q^（-n））；c；q、 q）=（a^n（c/a，q）n）/（（c；q）n，
(3)

哪里_2phi_1（a，b；c；q，z）是一个q个-超几何函数.

其他q个-系列身份，例如雅可比恒等式,Rogers-Ramanujan恒等式、和q个-超几何的身份

_2phi_1（a，b；c；q，z）=（（b；q）_infty（az；q）_infty）/（（c；q）_infty（z；q）_infty）_2phi_1（c/b，a；az；q，b），
(4)

似乎突然出现了。另一个这样的例子是

sum_（n=0）^infty（（-q；q^2）_nq^（n（n-1））z^n）/（z；q^ 2）_n）=sum_
(5)

（Gordon和McIntosh，2000年）。

Hirschorn（1999）赋予了美丽的身份

（q） _十五^5=（q^5）_infty（第5版）
(6)
=1+4q^5+4q^（10）+q^。。。（第5版）
(7)

（组织环境信息系统A098445号). 其他涉及q个-系列 （q） _（_F）包括

（q） _第^3页=sum_（n=0）^（infty）（-1）^n（2n+1）q^（n（n+1）/2）（mod 5）
(8)
=X+2qY（mod 5）
(9)

（Hardy和Wright，1979年，Hirschorn，1999年），其中

X（X）=产品（n=1）^（infty）（1-q^（25n-15））
(10)
=总和_（n=-infty）^（infty）（-1）^nq^（（25n^2-5n）/2）
(11)
Y（Y）=产品（n=1）^（infty）（1-q^（25n-20））
(12)
=总和_（n=-infty）^（infty）（-1）^nq^（（25n^2-15n）/2）
(13)

（Hirschorn 1999）。

Zucker（1990）定义了有用的符号

（n）=产品_（k=1）^（infty）（1-q^（kn））
(14)
=（q^n；q^n）
(15)
[无]=q^（n/24）产品_（k=1）^（infty）（1-q^，kn））。
(16)

M.Trott（pers.comm.，2000年12月19日）发现了一组可以用这种符号表示的美丽身份，

0=-5(1)(2)^2(5)^4+4(2)^5(5)(10)+(1)^5(10)^2
(17)
0=-9(1)(2)^4(3)^8+8(2)^9(3)^3(6)+(1)^9(6)^4
(18)
0=-25（1）^2（2）^2（5）^7+16（2）^8（5）（10）^2+5（1）^6（5）^3（10）^2
(19)
+4(1)^5(2)^3(10)^3
(20)
0=-4(1)^2(3)^2(4)^8+3(2)^8(6)^4+(1)^8(4)^2(12)^2
(21)
0=-2(1)^4(4)^(14)+(2)^(14)(8)^4+(1)^8(2)^2(4)^4(8)^4.
(22)

这些与模方程身份。例如，方程式(◇) 是沈（1994）方程的一种优雅形式（3.12），使用身份获得

θ4（q）=((1)^2)/((2))
(23)
θ4（q^5）=（10） 产品_（k=1）^（infty）（1-q^（10k-5））^2
(24)
θ_4^3（q^5）=（5）^4）/（10））产品（k=1）^（infty）（1-q^（10k-5））^2
(25)

（组织环境信息系统A002448号,A089803号、和A089804号). 类似地，方程(◇)实际上是经典的表达

θ_3^2（q）+θ_4^2（q）=2θ_3 ^2（q^2）
(26)

对于雅可比θ函数以下是从

θ3（q）=((2)^5)/((1)^2(4)^2)
(27)
θ4（q）=((1)^2)/((2))
(28)

（J.Zucker，pers.comm.，2003年11月11日）。

M.Trott（pers.comm.，2009年7月8日）发现的另一组身份由

（-1；q）_infty-2（-q；q）_ infty=0q（q^2；q）_infty-（q^1；q）_ infty+（q；q）__ infty=02q（-q^2；q）_infty+2q（-q^2；q）_infty+q（q^（-1））；q^2）_infty-q（q；q^2q（-q^（-1））；q^2）_infty-q（-q；q^2（q；q^2）_infty+q-（q^3；q）_infty+（q^2；q）_infty+q^2（q^3；q）_infty=0-（-q；q^2）_infty+q（-q^3；q）_infty-q（q^（-1））；q^3）_infty-q（q^2；q^3（q；q^3）_infty+q^2（q^（-2））；q^3）_infty-q^2（q；q^3-（-q；q^3）_infty+q^2（-q^（-2））；q^3）_infty-q^2（-q；q^3q（q^（-1）；q^4）_infty-q（q^3；q^4q（-q^（-1））；q^4）_infty-q（-q^3；q^4（q；q^4）_infty+q^3（q^（-3））；q^4）_infty-q^3（q；q^4-（-q；q^4）_infty+q^3（-q^（-3））；q^4）_infty-q^3（-q；q^4（q^3；q^5）_infty+q^2（q^（-2））；q^5）_平方-q^2（q^3；q^5）_平方=0-（-q^3；q^5）_infty+q^2（-q_（-2））；q^5）_infty-q^2（-q^3；q^5q^3（q^（-3））；q^5）_infty+（q^2；q^5q^3（-q^（-3））；q^5）_infty-（-q^2；q^5（q；q^5）_infty+q^4（q^（-4））；q^5）_infty-q^4（q；q^5-（-q；q^5）_infty+q^4（-q^（-4））；q^5）_infty-q^4（-q；q^5q^3（q^（-3））；q^6）_infty-q^3（q^3；q^6q^3（-q^（-3））；q^6）_infty-q^3（-q^3；q^6q^4（q^（-4））；q^6）_infty+（q^2；q^6q^4（-q^（-4））；q^6）_infty-（-q^2；q^6（q；q^6）_infty+q^5（q^（-5））；q^6）_平方-q^5（q；q^6）_平方=0-（-q；q^6）_infty+q^5（-q^（-5））；q^6）_infty-q^5（-q；q^6q^4（q^（-4））；q^7）_infty+（q^3；q^7q^4（-q^（-4））；q^7）_infty-（-q^3；q^7q^5（q^（-5））；q^7）_infty+（q^2；q^7q^5（-q^（-5）；q^7）_infty-（-q^2；q^7（q；q^7）_infty+q^6（q^（-6））；q^7）_infty-q^6（q；q^7-（-q；q^7）_infty+q^6（-q^（-6））；q^7）_infty-q^6（-q；q^7q^5（q^（-5））；q^8）_infty+（q^3；q^8q^6（-q^（-6））；q^8）_平方-（-q^2；q^8）_平方-q^6（-q^2；q^8）_平方=0（q；q^8）_infty+q^7（q^（-7））；q ^8）_infty-q ^7（q；q^8）_ infty=0-（-q；q^8）_infty+q^7（-q^（-7））；q^8）_infty-q^7（-q；q^8q^8（-q^（-8））；q^（11））_infty-（-q^3；q^-（-q；q^（16））_infty+q^；q^（16））_infty-q^。
(29)

另请参见

雅可比恒等式,q个-超几何函数,q个-系列,q个-范德蒙德总和,Ramanujan Theta函数,Rogers-Ramanujan标识

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工具书类

安德鲁斯，G.E。q系列：它们在分析、数论、组合数学、物理学、，和计算机代数。罗得岛普罗维登斯：美国。数学。Soc.，1986年。伯恩特，公元前。“3、5和7阶模方程及相关的Theta-Function身份。“第19章英寸拉马努扬的笔记本，第三部分。纽约：Springer-Verlag，第220-324页，1985年。煤气炉，G.和Rahman，M。基本超几何级数。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。戈登，B.和McIntosh，R.J。“一些八阶模拟Theta函数。”J。伦敦数学。Soc公司。 62, 321-335, 2000.G.H.哈代。和赖特，E.M。一个数字理论导论，第5版。英国牛津：克拉伦登出版社，1979年。医学博士Hirschorn。“拉马努扬的另一个简短证明Mod 5分区同余等。"阿默尔。数学。每月 106,580-583, 1999.雷宁格，V.E。和Milne，S.C。“一些的新无限族埃塔-功能标识。"方法应用。分析。 6,225-2481999年。Shen，L.-C.“关于Theta的加法公式与模方程有关的函数和Lambert级数集合5级。”事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。 345, 323-345, 1994.斯隆，新泽西州。答：。序列A002448号,A089803号,A089804号、和A098445号在“整数序列在线百科全书”中祖克，J.“无限系列和产品之间的进一步关系。II.评估三维格和的。"《物理学杂志》。A： 数学。消息。 23,117-132, 1990.

参考Wolfram | Alpha

q系列标识

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“q-系列标识。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/q-SeriesIdentities.html

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