话题
搜索

Weierstrass西格玛函数

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本
Weierstrass-SigmareIm公司Weierstrass-Sigma等高线

这个拟周期函数由定义

d/（dz）lnsigma（z；g2，g3）=ζ，
(1)

哪里zeta（z；g2，g3）是Weierstrass zeta函数和

lim（z->0）（σ（z））/z=1。
(2)

（与其他Weierstrass椭圆函数一样，不变量第二代和g3级通常会因紧凑性而被抑制。）然后

西格玛（z）=zproduct_（m，n=-infty）^infty^'[（1-z/（欧米茄_（mn）））exp（z/（奥米茄_，
(3)

其中，带有m=n=0从产品中删除，并且欧米伽_（mn）=2momega_1+2nomega_2.

令人惊讶的是，西格玛（1|1，i）/2，哪里σ（zω1，ω2）是Weierstrass sigma函数半衰期 ω_1和ω_2，在以下方面具有闭合形式圆周率，e（电子）、和伽马（1/4）。这个常数被称为魏尔斯特拉斯常数.

此外，西格玛（z）满足

西格玛（z+2omega_1）=-e^（2eta_1（z+omega_1））σ（z）
(4)
西格玛（z+2omega2）=-e^（2eta_2（z+omega_2））σ（z）
(5)

和

σr（z）=（e^（-eta_rz）σ（z+omega_r））/（σ（omega_r））
(6)

对于r=1，2、3。该功能在沃尔夫拉姆语言作为Weierstrass西格玛[u个，{第二组，第三组}].

西格玛（z）可以用雅可比θ函数使用表达式

西格玛（z |ω_1，ω_2）=（2omega_1）/（pitheta_1^'）exp（-（nu^2theta_1（“”））/（6theta _1^’））theta _1（nu|（ω_2，
(7)

哪里nu=piz/（2omega_1），和

eta_1=-（pi^2theta_1^（“”））/（12omega_1theta_1）
(8)
埃塔_2=-（pi^2omega_2theta_1^（''））/（12omega_1^2theta_1’）-（pii）/（2omega_1）。
(9)

有一个美丽的系列扩展西格玛（z），由双系列

西格玛（z）=总和（m，n=0）^inftya（mn）（1/2g_2）^m（2g_3）^n（z^（4m+6n+1））/（（4m+6n+1）！），
(10)

哪里a_（00）=1，a_（mn）=0对于任一下标为负，其他值由重现关系

a（mn）=3（m+1）a（m+1，n+1）+（16）/3（n+1）a-1/3（2m+3n-1）（4m+6n-1）a（m-1，n）
(11)

（Abramowitz和Stegun，1972年，第635-636页）。下表给出了a（锰）小的系数米和n个.

n=0n=1n=2n=3
a_（0n）1-3-5414904
a_（1n）-1-184968502200
a_（2n）-9513257580162100440
a_（3n）693358820019960-9465715080
a_（4n）3212808945-376375410-4582619446320
a_（5n）160839-41843142-210469286736-1028311276281264

另请参见

Weierstrass常数，Weierstrass椭圆函数，魏尔斯特拉斯Zeta函数

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassSigma/，http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassSigma4/

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《Weierstrass椭圆函数及相关函数》第18章手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第627-671页，1972年。勃列日涅夫，Y.V。“统一化：关于Burnside曲线y^2=x^5-x”，2001年12月9日。http://arxiv.org/abs/math.CA/0111150.克诺普，K.“示例：Weierstrass’s西格玛-功能。“第2d条理论功能第一部分和第二部分，两卷合订为一，第二部分。纽约：多佛，第27-30页，1996年。Tölke，F.“Spezielle WeierstraßscheSigma-Funktionen公司。“第9章英寸Praktische公司Funktitonenlehre，滴带：Jacobische elliptische Funktitionen，Legendresche elliptische正规积分和spezielle Weierstraßsche Zeta和Sigma Funktitonen。柏林：Springer-Verlag，第164-180页，1967年。E.T.惠塔克。和G.N.Watson。“功能西格玛（z）”第20.42节A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第447-448、450-452和458-4611990页。

参考Wolfram | Alpha

Weierstrass Sigma函数

引用如下：

埃里克·W·韦斯坦。“Weierstrass Sigma函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/WeierstrassSigmaFunction.html

主题分类