竞赛矩阵及其对应的有向图都是作为循环赛成绩记录。一个$n×n$复矩阵$A$是如果存在复数或实非零列向量$h$，使得$a+a^*=hh^*−I$，则称为$h$-伪锦标赛。这类矩阵是经过充分研究的矩阵的推广类竞赛矩阵，如$h$-超竞赛矩阵、广义竞赛矩阵、竞赛矩阵和椭圆矩阵。我们讨论本征特性一个$h$-伪转角矩阵，当该矩阵专门化时，获得新的结果到一个类似比赛的矩阵。此外，在前面的文章被证明是这里得出的结论的推论。

对于时间分数阶微分，导出了一个紧致的有限差分格式受Neumann边界条件约束的方程。该方案在时间上具有二阶精度，在空间上具有四阶精度。此外，对于二维情况，还构造了一个高阶交替方向隐式（ADI）格式。利用矩阵形式分析了这些格式的稳定性和收敛性。

提出了一些求解一维问题的有效数值格式（1D）和二维（2D）多项时间分数次扩散方程，结合空间离散的紧致差分方法和多项时间Caputo分数导数的$L1$近似。从理论上证明了这些差分格式的稳定性和收敛性。实现了几个数值例子，证明了它们的有效性并确认了它们的收敛阶。

基于Krylov子空间的子空间投影方法矩阵$A$在许多领域通常是解决大型矩阵计算的标准应用程序的。最近，基于扩展Krylov子空间的投影方法使用$A$和$A^｛−1｝$的幂引起了人们的注意，特别是对于矩阵的函数乘以向量和矩阵方程。在本文中，我们提出了一种有效的算法用于构造扩展Krylov子空间的正交基。数字的实验表明，该算法具有较小的计算量和近似与传统算法的精度相同。

本文探讨破产概率的递归和积分方程具有齐次马尔可夫链的利率下的广义风险过程索赔和同质马尔可夫链保费。我们假设索赔和保险费取一个可数的非负值。广义Lundberg不等式这些过程的破产概率是通过递归技术推导出来的。递归有限时间破产概率方程和最终破产的积分方程给出了概率，从中可以得到相应的概率不等式和上得到了边界。讨论了一个示例性的数值例子。