时间分数次扩散方程的数值解考虑二维空间中的无界区域，其中圆形人工引入边界将无界区域划分为有界计算区域域和无界外部域。局部人工边界条件在圆形人工边界上设计分数次扩散方程联合拉普拉斯变换和傅里叶级数展开，以及一些辅助变量在人工边界条件中引入以规避高阶导数。因此，定义在无界域上的原始问题被简化为初始问题有界计算域上的边值问题。有限差分和L1近似用于空间变量和Caputo时间分数导数。两个数值示例演示了提出的方法。

提出了创新扩散的非线性数学模型。这个常微分方程组包含可变的外部影响（营销工作的累积密度）、可变内部影响（累积口碑密度）和逻辑上不断增长的人口（变量潜在消费者）。人口密度的变化是由于不同的人口统计学内在增长率、移民、死亡率等过程涉及两个动态变量，即非采纳者人口密度和采纳者人口密度。使用稳定性理论对模型进行定性分析微分方程，借助于系统。对于所有时间延迟，内部平衡点都可以稳定到临界值，除此之外，系统变得不稳定，一秒钟内发生霍普夫分岔临界值。应用范式理论和一个中心流形定理对于泛函微分方程，我们导出了确定分支周期解的稳定性、方向等性质。我们的数字仿真表明，系统行为可能变得极其复杂随着时间延迟的增加，一个稳定的内部平衡点会导致一个极限每个循环有一个局部最大值和最小值的循环（Hopf分支），然后极限每个循环具有更多局部极大值和极小值的循环，最后是混沌解。

求解三阶类牛顿方法的半局部收敛性考虑非线性方程组。在弱条件下（所谓的γ条件）关于非线性算子的导数，我们建立了一个新的半局部收敛性定理，并提供了误差估计。一些数字实例表明，与其他结果相比，我们的结果具有适用性和效率半局部收敛定理。

我们提出了一个基于JASMIN的二维并行实现自适应组合预处理器$B^α{co}$用于求解单群和多群辐射扩散方程的有限体积离散。我们首先提出二维单层细胞的斑块相关属性基于贴片的无悬挂分段矩形结构网格JASMIN的层次结构，通过属性对这些单元格进行分类和重新排序，并导出细胞突变的转化。使用两个细胞突变，然后我们构建一些并行不完全LU分解和替换算法，以借助HYPRE库中的默认BoomerAMG提供我们的并行$B^α{co}$-GMRES解算器。数值结果表明，我们提出的并行不完全LU预处理器（ILU）比Euclid库中的对应项效率更高，并且所提出的并行$B^α{co}$-GMRES解算器比默认解算器更健壮、更高效BoomerAMG GMRES解算器。

提出了一种基于残差的鲁棒后验误差估计方法二维和三维Stokes问题的Galerkin有限元方法。估计量由两个项组成，其中第一项表示差异在单元界面上速度近似的$L^2$-投影和相应的数值轨迹，第二个与速度的跳跃有关相邻元素之间的近似值。我们证明了该估计器是可靠的并且通过全局上限和全局下限的两个估计来有效，最多两个源项和非齐次Dirichlet引起的数据振荡项边界条件。在常数因子上下限与粘度系数无关。数字的结果验证了理论结果。

我们讨论了一种有效的预条件和迭代数值方法来求解形式为$（W+iT）u=c$的大型复杂线性代数系统，其中$W$和$T$是对称矩阵，并且其中至少一个是非奇异的。当实部$W$比虚部$T$强或弱时，我们提出一个块乘法（BM）预处理器或其变体（VBM）。BM和VBM就特征值而言，预处理迭代方法是无参数的预处理矩阵的分布。此外，当$W$和$T$之间的关系不明确时，我们提出了一种新的预处理BM方法（PBM）来克服这个困难。这些新迭代方法的收敛性和谱讨论了相应预处理矩阵的性质。最佳确定了PBM方法的迭代参数值。数值实验包含亥姆霍兹方程和其他一些应用表明了其有效性以及所提出的预条件和相应迭代方法的鲁棒性。

解解耦正演的各种数值方法的误差估计倒向随机微分方程（FBSDE）的收敛速度一个变量通常小于另一个变量。在略微加强的平滑度下假设，我们证明了完全离散的Euler格式允许一阶速率为两个变量的收敛性。

采用自适应有限元方法模拟稳态用小参数耦合薛定谔方程。我们使用阻尼牛顿迭代法求解非线性代数系统。当解域为椭圆时，我们的Dirichlet或Neumann边界条件的数值结果与之前的理论结果。对于具有Dirichlet的哑铃域和圆环域在边界条件下，我们得到了一些新的结果，可以与将来的结果进行比较理论分析。

我们在求解非对称特征值时提供了一些可计算的误差估计问题的一般协调有限元方法在一般网格。基于在互补方法中，我们首先给出了这两种方法的可计算误差估计原始特征函数和相应的伴随特征函数，然后我们介绍广义瑞利商，用于推导可计算的误差估计特征值近似。给出了一些数值例子来说明我们的理论结果。

美国回望期权的定价模型可以描述为二维自由边界问题。这个问题的主要挑战是免费边界，这也是金融投资者最关心的问题。我们使用标准技术将定价模型简化为一维线性互补问题并得到相应的变分不等式。不平等通过时间和空间方向上的有限差分和有限元离散化，分别是。通过使用强制执行与选项相关的不等式约束拉格朗日乘子，离散的变分不等式被重新表示为一组半光滑方程组，用原始-对偶活动集方法求解。什么之中的一个我们算法的主要优点是可以获得选项值和同时自由边界，数值模拟表明我们的方法与与其他一些方法一样有效。

如果具有莫比乌斯带形状的肥皂膜的闭合线框被拉开并逐渐变形为一个平面圆，肥皂膜就会发生变化进入双面可定向表面。在有限时间扭曲奇异点的存在下，它改变了电影高原边界和中心线的连接数导线，拓扑变换涉及薄膜向导线方向的塌陷。在与其他地方报道的这一过程的实验研究相比，我们使用了一个数值基于浸没边界法的方法，将肥皂膜视为Navier-Stokes流体中的无质量膜。除了已知的效果外，我们还发现拓扑变化完成后薄膜的振动运动，类似圆形薄膜的振动。

被污染纹理图像恢复的混合变分模型我们考虑的模糊和高斯噪声结合了总变化规律和分数阶并通过交替最小化方向算法进行求解。数值实验表明该模型优于自适应模型图像质量和计算时间的分数阶变分模型。