刘维尔函数lambda（n）

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这个Liouville lambda函数 ${\displaystyle\lambda（n）=（-1）^{\Omega（n）}}$，其中${\显示样式\Omega（n）}$是素因子数函数（有时称为“大欧米茄”），说明${\显示样式n}$有奇数或偶数个素因子，但不一定是不同的。因此${\显示样式\lambda（n）=-1}$什么时候${\显示样式n}$素数因子为奇数，并且${\显示样式\lambda（n）=1}$如果${\显示样式n}$有偶数个因素。

例如，${\显示样式\lambda（26）=1}$因为26有两个基本因子（2和13），所以${\显示样式\lambda（26）=（-1）^{2}=1}$.${\显示样式\lambda（27）=-1}$因为27有三个基本因子（三倍），所以${\显示样式\lambda（27）=（-1）^{3}=-1}$.

该函数是完全乘法的，这意味着${\显示样式\lambda（mn）=\lambda（m）\lambta（n）}$无论是否${\显示样式\gcd（m，n）=1}$或者没有。使用${\显示样式\lambda（28）=-1}$我们证明该函数是完全乘法的，因为${\displaystyle\lambda（28）=\lambda$。请参阅A008836号获取更多价值。

有时会标记Liouville lambda函数${\显示样式\psi（n）}$.

${\显示样式\脚本样式\ lambda（n），\，1\，\leq\，n\，\leq\，257，\，}$哪里${\显示样式\脚本样式\ lambda（n）\，}$是刘维尔函数lambda（n）(A008836号)

1     ${\显示样式\lambda（n）\，}$
	<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 75*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；bordert-bottom-width:1px；borders-top-width：1px，border-left-width:0；borter-right-width-0；border-bottom-color:black；bounder-top-color:black，borders-left-color:0；border-right-color:0，background-coloror:rgb（201，218，237）；高度： | 75*-1/1 | 二甲苯；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；bordert-bottom-width:1px；borders-top-width：1px，border-left-width:0；borter-right-width-0；border-bottom-color:black；bounder-top-color:black，borders-left-color:0；border-right-color:0，background-coloror:rgb（206，223，242）；高度： | 75*-1/1 | 二甲苯；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div 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style=“position:absolute；border-style:solid；bordert-bottom-width:1px；borders-top-width：1px，border-left-width:0；borter-right-width-0；border-bottom-color:black；bounder-top-color:black，borders-left-color:0；border-right-color:0，background-coloror:rgb（201，218，237）；高度： | 75*-1/1 | 二甲苯；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；bordert-bottom-width:1px；borders-top-width：1px，border-left-width:0；borter-right-width-0；border-bottom-color:black；bounder-top-color:black，borders-left-color:0；border-right-color:0，background-coloror:rgb（206，223，242）；高度： | 75*-1/1 | 二甲苯；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；bordert-bottom-width:1px；borders-top-width：1px，border-left-width:0；borter-right-width-0；border-bottom-color:black；bounder-top-color:black，borders-left-color:0；border-right-color:0，background-coloror:rgb（201，218，237）；高度： | 75*-1/1 | 二甲苯；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 75*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（201，218，237）；高度： | 75*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 75*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（201，218，237）；高度： | 75*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；bordert-bottom-width:1px；borders-top-width：1px，border-left-width:0；borter-right-width-0；border-bottom-color:black；bounder-top-color:black，borders-left-color:0；border-right-color:0，background-coloror:rgb（206，223，242）；高度： | 75*-1/1 | 二甲苯；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；bordert-bottom-width:1px；borders-top-width：1px，border-left-width:0；borter-right-width-0；border-bottom-color:black；bounder-top-color:black，borders-left-color:0；border-right-color:0，background-coloror:rgb（201，218，237）；高度： | 75*-1/1 | 二甲苯；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 75*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（201，218，237）；高度： | 75*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；bordert-bottom-width:1px；borders-top-width：1px，border-left-width:0；borter-right-width-0；border-bottom-color:black；bounder-top-color:black，borders-left-color:0；border-right-color:0，background-coloror:rgb（206，223，242）；高度： | 75*-1/1 | 二甲苯；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（201，218，237）；高度： | 75*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；bordert-bottom-width:1px；borders-top-width：1px，border-left-width:0；borter-right-width-0；border-bottom-color:black；bounder-top-color:black，borders-left-color:0；border-right-color:0，background-coloror:rgb（206，223，242）；高度： | 75*-1/1 | 二甲苯；宽度：4px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>
−1

属性

完全乘法

${\显示样式\脚本样式\ lambda（n）\，}$是一个完全乘法的 算术函数，即。

${\displaystyle\lambda（mn）=\lambda$

定理。Liouville lambda函数是完全乘法的。鉴于${\显示样式\{m，n\}\in\mathbb{Z}^{+}}$，平等${\显示样式\lambda（mn）=\lambda（m）\lambta（n）}$即使在${\显示样式\gcd（m，n）>1}$.

证明。记住${\显示样式\欧米茄（mn）=\欧米加（m）+\欧米伽（n）}$是否${\显示样式\gcd（m，n）=1}$是否（而不同素因子函数的个数情况并非如此）。因此，如果${\显示样式\Omega（m）}$是均匀的，并且${\显示样式\Omega（n）}$也是偶数，那么也是偶数${\显示样式\Omega（mn）}$因此$｛\displaystyle\lambda（mn）=\lambda（m）\lambda（n）=（-1）^｛\Omega（m）｝（-1）^｛\Omega（n）｝=1\times 1=1｝$.如果${\显示样式\Omega（m）}$是偶数但${\显示样式\Omega（n）}$那就奇怪了${\显示样式\Omega（mn）}$很奇怪，因此${\显示样式\lambda（mn）=1\次-1=1}$.但如果两者兼而有之${\显示样式\Omega（m）}$和${\显示样式\Omega（n）}$那就怪了${\显示样式\Omega（mn）}$是均匀的，因此${\显示样式\lambda（mn）=-1\次-1=1}$.防终结标记

除数求和${\显示样式d\，}$属于${\显示样式n\，}$属于${\显示样式\lambda（d）\，}$

${\displaystyle\sum_{d|n}\lambda（d）={\begin{案例}1&{\mbox{if}}n{\mbax{是一个正方形，}}\\\0&{\mbox{否则。}}\；\结束{cases}}\，}{案例}1&{\mbox{if}}n{\mbax{是一个正方形，}}\\\0&{\mbox{否则。}}\；\结束{cases}}\，}$

Dirichlet生成函数

这个Dirichlet生成函数属于${\显示样式\脚本样式\ lambda（n）\，}$是

${\displaystyle D_{\{\lambda（n）}}（s）\equiv\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lampda（n$

哪里${\显示样式\脚本样式\泽塔\，}$是黎曼-泽塔函数.

刘维尔求和函数L（n）

作为Mertens函数是到莫比乌斯函数Liouville求和函数也是$显示样式L（n）=sum_{i=1}^{n}\lambda（i）}$（请参见A002819号). 请参见Pólya猜想.

Liouville函数的部分和${\显示样式\脚本样式\ lambda（n）\，}$给刘维尔求和函数L（n）

${\显示样式L（n）\equiv\sum_{k=1}^{n}\lambda（k）=\sum_{k=1}^{n}（-1）^{\Omega（k）}\，}$

序列

刘维尔函数 ${\displaystyle\scriptstyle\lambda（n），\n\geq 1}$(A008836号)给出序列

{1, −1, −1, 1, −1, 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, 1, 1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, 1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, −1, 1, −1, −1, 1, −1, 1, −1, −1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}

部分总和${\displaystyle\scriptstyle L（n）\equiv\sum_{i=1}^{n}\lambda（i），\n\geq 1}$(A002819号)给出顺序

{1, 0, −1, 0, −1, 0, −1, −2, −1, 0, −1, −2, −3, −2, −1, 0, −1, −2, −3, −4, −3, −2, −3, −2, −1, 0, −1, −2, −3, −4, −5, −6, −5, −4, −3, −2, −3, −2, −1, 0, −1, −2, −3, −4, −5, −4, −5, −6, −5, −6, −5, −6, −7, −6, −5, ...}

另请参见

• A026424美元素数除数（以重数计算）为奇数；Liouville函数lambda（n）(A008836号)为负值。
• A028260型对n进行计数，使n的素除数（以重数计算）为偶数；Liouville函数lambda（n）(A008836号)是积极的。

• A056912号素数除数为奇数的奇数无平方数。
• A056913号奇数平方树数，其素数为偶数。

• 刘维尔求和函数L（n）
• A002819号Liouville函数L（n）=的部分和A008836号.

• Omega（n），素数总数除以n