Ω（n），n的素因子个数（带重数）

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功能${\displaystyle\scriptstyle\Omega（n）\，}$计算n的素因子（带重数），其中${\displaystyle\scriptstyle n\，}$是一个正整数，每个n的异素因子被计算为它的正能量分裂的次数的倍${\displaystyle\scriptstyle n\，}$.

从正则素分解属于${\displaystyle\scriptstyle n\，}$

$n=\prod{i=1}^{\omega（n）}{p{i}}^{\alpha{i}}，\，$

哪里${\displaystyle\scriptstyle\omega（n）\，}$是n的不同素因子个数每个人${\displaystyle\scriptstyle\alpha{i}\，=\，\nu{p{i}（n）\，}$，其中${\displaystyle\scriptstyle\nu{p{i}}（n）\，}$是${\displaystyle\scriptstyle p{i}\，}$-adic命令${\displaystyle\scriptstyle n\，}$，我们有

${\\显示样式\欧米加（n）欧米加（n）的欧米茄（n）的\其主要\当量的{i=1}}{欧米加（n）的}{阿尔法{i{i}}{i=1}{{\欧米加（n）}{\nu{p{p{i{i}}（n）}}}{{p{p\中间n中间n}}{中中中D n}}{{{总理本{}（n），\，}$

哪里${\displaystyle\scriptstyle\nu{p}（n）\，}$是p-adic命令属于${\displaystyle\scriptstyle n\，}$，即最高指数${\displaystyle\scriptstyle\nu\，}$质数的${\displaystyle\scriptstyle p\，}$就这样${\displaystyle\scriptstyle p^{\nu}\，}$分水岭${\displaystyle\scriptstyle n\，}$.

例如，对于${\displaystyle\scriptstyle n\，=\，44100\，=\，（3\cdot 7）^{2}\cdot（2\cdot 5）^{2}\，=\，2^{2}3^{2}5^{2}7^{2}\，}$我们有${\displaystyle\scriptstyle\Omega（44100）\，=\，\Omega（2^{2}3^{2}5^{2}7^{2}）\，=\，8\，}$，作为${\displaystyle\scriptstyle n\，}$是2、2、3、3、5、5、7和7。

显然${\displaystyle\scriptstyle\Omega（1）\，=\，0\，}$因为1是素数，以及${\displaystyle\scriptstyle p\，}$我们拥有的精华${\displaystyle\scriptstyle\Omega（p）\，=\，1\，}$因为素数只有一个素数因子（本身）。

公式

代数上，我们可以定义${\displaystyle\scriptstyle\Omega（n）\，}$对于复合材料${\displaystyle\scriptstyle n\，}$作为

${\displaystyle\Omega（n）=\sum{i=1}^{\pi（\lfloor{\sqrt{n}}\rfloor）}\sum{j=1}^{\lfloor\log{p{i}}n\rfloor}[{p{i}}{j}n]，\，}$

或者更有效地使用短路求值避免计算${\n脚本样式}$不必要的，如

${\展示风格\欧米茄（n）的最大成（n）为=\sum{i=1}{{i=1}}{pi（\LFFLOOR{\sqrt{n}}\RFFLOOR）}[p{{i}{1{1+\sum{j=2}{{j=2}{LFFoor\log{p{i}}i}}}n\RFFLOOR}{p{p{i{i{i}}{j{j{j{j | n]{\Bigg）}，\，}$

哪里${\displaystyle\scriptstyle\pi（n）\，}$是素数计数函数,${\displaystyle\scriptstyle[\cdot]\，}$是艾弗森支架,${\scripti}样式$是${\displaystyle\scriptstyle i\，}$^第 首要的. 当然，计算素因式分解属于${\displaystyle\scriptstyle n\，}$然后从中确定${\displaystyle\scriptstyle\Omega（n）\，}$.

属性

${\displaystyle\scriptstyle\Omega（n）\，}$是一个完全加性 算术函数，即。

${\displaystyle\Omega（mn）=\Omega（m）+\Omega（n），\m\，\geq\，1，\n\，\geq\，1.\，}$

如果${\displaystyle\scriptstyle n\，}$是一个平方自由数，那么${\displaystyle\scriptstyle\Omega（n）\，=\，\Omega（n）\，}$，否则${\displaystyle\scriptstyle\Omega（n）\，>\，\Omega（n）\，}$（因此大写字母代表素数因子（有重复）函数和不同素数因子数功能）。

相关算术函数

刘维尔函数

刘维尔函数，表示${\displaystyle\scriptstyle\Omega（n）\，}$,

${n\n等同于}\n$

是+1时${\displaystyle\scriptstyle\Omega（n）\，}$是偶数和-1当${\displaystyle\scriptstyle\Omega（n）\，}$很奇怪。

超过n

${\displaystyle\scriptstyle\Omega（n）\，-\，\Omega（n），\n\，\geq\，1，\，}$ 超过n=n的素数（带重数）-n的素数（无重数）. （参见A046660号.)

{0，0，0，1，0，0，0，2，1，0，0，1，0，0，0，3，0，1，0，0，2，1，0，2，1，0，0，0，4，0，0，0，2，0，0，0，2，0，0，0，1，0，0，1，0，0，3，1，1，0，0，1，2，0，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，…}

非平方数特征数

补语${\displaystyle\scriptstyle{\bar{q}}（n）\，=\，1\，-\，q（n）\，}$的正交函数 ${\displaystyle\scriptstyle q（n）\，}$,${\displaystyle\scriptstyle{\bar{q}}（n）\，\equiv\，\chi{nonsquarefree\}（n）\，\equiv\，\operatorname{sgn}[\Omega（n）\，-\，\Omega（n）]，\n\，\geq\，1，\，}$是非方数的特征函数,${\displaystyle\scriptstyle\operatorname{sgn}（n）\，}$成为符号函数.

无平方数的特征函数

这个正交函数 ${\displaystyle\scriptstyle q（n）\，\equiv\，1\，-\，{\bar{q}}（n）\，\equiv\，\chi{squarefree\}（n）\，\equiv\，1\，-\，\operatorname{sgn}[\Omega（n）\，-\，\Omega（n）]，\n\，\geq\，1\，}$是无平方数的特征函数,${\displaystyle\scriptstyle\operatorname{sgn}（n）\，}$成为符号函数.

序列

${\displaystyle\scriptstyle\Omega（n），\n\，\geq\，1，\，}$ 欧米茄（n）,n的素数（带重数）. （参见A001222号.)

{0，1，1，2，2，1，3，2，2，1，3，1，2，2，4，1，1，3，2，2，1，4，2，2，3，3，3，1，5，2，2，4，1，2，2，2，4，1，3，1，1，5，2，2，2，2，3，1，5，2，2，2，3，4，2，2，…}

${\displaystyle\scriptstyle\sum{i=1}^{n}\Omega（i），\n\，\geq\，1，\，}$ 求和欧米茄函数,n的素数！（具有多重性）. （参见A022559号${\displaystyle\scriptstyle（n），\，n\，\geq\，1\，}$.)

{0，1，2，4，5，7，8，11，13，15，16，19，20，22，24，28，29，32，33，36，38，40，41，45，47，49，52，55，56，59，60，65，67，69，71，75，76，78，80，84，85，88，89，92，95，…}

刘维尔函数 ${\displaystyle\scriptstyle\lambda（n）\，\equiv\，（-1）^{\Omega（n）}，\n\，\geq\，1\，}$. （参见A008836号.)

{1、-1、-1、-1、1、-1、-1、1、1、-1、-1、1、1、1、-1、-1、-1、1、1、-1、1、1、1、-1、-1、-1、-1、-1、1、1、1、1、1、1、1、1、-1、-1、-1、-1、-1、-1、-1、-1、-1、-1、-1、-1、-1、-1、1、1、-1、-1、-1、1、1、1、…}

部分和${\displaystyle\scriptstyle L（n）\，\equiv\，\sum{i=1}^{n}\lambda（i）\，=\，\sum{i=1}^{n}（-1）^{\Omega（i）}，\ n\，\geq\，1，\，}$ 求和刘维尔函数. （参见A002819号对于${\displaystyle\scriptstyle n\，\geq\，1\，}$.)

{1，0，-1，0，-1，0，-1，-2，-1，0，-1，-2，-3，-2，-1，0，-1，-2，-3，-3，-2，-1，0，-1，-2，-3，-4，-5，-6，-2，-3，-2，-1，0，-1，-2，-3，-4，-4，-5，-5，-5，-5，-6，-7，-6，-5，…}

${\displaystyle\scriptstyle\omega（n），\n\，\geq\，1，\，}$ n的素数（无重数）,n的不同素因子个数. （参见A001221型.)

{0，1，1，1，1，2，1，1，1，2，1，1，2，2，1，1，2，2，2，1，2，1，2，1，2，1，2，1，2，2，1，2，2，2，2，2，2，2，2，1，3，1，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，1，1，2，2，1，2，2，1，2，2，1，2，2，3，1，2，…}

${\displaystyle\scriptstyle{\bar{q}}（n）\，\equiv\，\chi{nonsquarefree\}（n）\，\equiv\，\operatorname{sgn}[\Omega（n）\，-\，\Omega（n）]，\n\，\geq\，1，\，}$（0，或1，如果n有非均匀素数,)非正交函数,非方数的特征函数. （参见A107078电话.)

{0，0，0，1，0，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，1，1，0，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，1，1，0，0，1，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，1，0，0，…}

${\displaystyle\scriptstyle q（n）\，\equiv\，1\，-\，{\bar{q}}（n）\，\equiv\，\chi{squarefree\}（n）\，\equiv\，1\，-\，\operatorname{sgn}[\Omega（n）\，-\，\Omega（n）]，\n\，\geq\，1，\，}$（0，或1，如果n有酉素数只有，）正交函数,无平方数的特征函数. （参见A008966号.)

{1，1，1，0，1，1，1，0，0，1，1，0，1，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，1，0，1，1，0，1，1，1，0，1，1，1，0，1，1，1，0，1，1，1，0，1，1，0，1，1，1，0，0，0，1，1，1，1，0，1，1，1，0，1，1，…}

另请参见

• n的异素因子或n的素因子（无重数）
  • {{独特的素因子}}或{{dpf公司}}算术函数模板
• n的不同素因子个数或n的素数（无重数）（Ω（n））
  • {{不同素数因子数}}或{{小欧米茄}}算术函数模板
• n的不同素因子和（标准操作程序（n））
  • {{不同素数因子之和}}或{{硫酸钾}}（素数和）算术函数模板
• n的异素因子乘积（rad（n），n的根或无平方核）
  • {{异素因子乘积}}或{{拉德}}算术函数模板

• n的素因子（带重数）
  • {{素数因子（带多重性）}}或{{强积金}}算术函数模板
• n的素数（带重数）（ω（n））
  • {{素数因子（带多重性）}}或{{大欧米茄}}算术函数模板
• n的素因子之和（带重数）（标准操作规程（n））
  • {{素数因子之和（带重数）}}或{{索夫}}（素数与重复之和）算术函数模板
• n的素因子乘积（带重数）（正整数）

外部链接

• 韦斯坦，埃里克W。,素因子和，来自Wolfram网络资源MathWorld。[http://mathworld.wolfram.com/SumofPrimeFactors.html]