格兰维尔数字

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这个格兰维尔数字或

S公司

-完全数是正整数符合特定标准约数。前32个格兰维尔数字列在A118372号.

定义

格兰维尔集合S公司

1996年，安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）提出了以下集合结构

S公司

,涉及真除数之和属于自然数.

让

${\显示样式{\mathcal{S}}_{0}=\{\}，\，}$

和用于

n个∈ ℕ,n个  ≥   1

，如果

${\displaystyle\left\{\sum_{\stackrel{\d\，\in\，{\mathcal{S}}{n-1}}{d\、|\，n}}{d}\right\}\leqn\，}$

然后

${\显示样式{\mathcal{S}}_{n}={\mathcal{S{}_{n-1}\cup\{n\}，\，}$

否则

${\显示样式{\mathcal{S}}_{n}={\mathcal{S{}_{n-1}，\，}$

和格兰维尔布景

S公司

定义为

$显示样式{\mathcal{S}}:=\lim_{n\to\infty}{\matchcal{S}{{n}.\，}$

A？？？？？？格兰维尔套装

S公司

参与定义

S公司

-完美数字。

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, ...}

A181487号补体

S公司

格兰维尔系列

S公司

（包含S公司 -丰富的数字).

{12, 18, 20, 30, 42, 48, 56, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 102, 104, 108, 114, 120, 138, 150, 162, 174, 180, 186, 192, 196, 200, 210, 220, 222, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272, 280, 282, 288, 294, 300, 304, 308, 312, 318, 320, 330, 336, 340, 354, 364, 366, ...}

A？？？？？？特性函数

χS公司

格兰维尔系列

S公司

.

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, ...}

有必要了解

S公司

第一。如果一个数字的和真除数（包括1但不包括数字本身）

S公司

小于或等于数字。为了克服通常用于描述的混乱符号

S公司

，清晰的解释从威廉·马歇尔使用熟悉的数论术语，现将其解释如下（括号中有其他人的详细说明）：

• 全部亏数(A005100型)被强制执行S公司 -亏数因此

  S公司

  .（带有

  n个

  不足，如果我们不能排除它的任何除数

  S公司

  ，他们的总数仍然是小于 

  n个

  本身。）
• 全部2-完全数(A000396号)在中

  S公司

  .（无论是否有

  n个

  在这个关键时刻，可以被排除在外是无关紧要的，因为加入的条件

  S公司

  是小于或等于而不仅仅是小于.)
• 有些丰富的数字在中

  S公司

  如果我们能排除足够多的除数，因为它们不在

  S公司

  这样剩余金额的总和S公司 -约数是小于或等于数字本身。例如，使用12或18，它们的适当除数都在

  S公司

  ，因此它们仍然存在S公司 -丰富的数字，所以这意味着12和18他们自己不在

  S公司

  （这将导致12或18，比如36：自12和18不在中

  S公司

  ，其除数之和

  S公司

  是25而不是55，因此36在中

  S公司

  ).

在这一点上，应该清楚的是，如果数字不是无平方的，即。平方数，检查较小的约数首先，如果我们看较大的约数首先，我们必须看看那些较小的除数，它们将较大的除数除掉。

S公司 -的除数n个

一套S公司 -约数属于

n个

是交叉的集合真除数属于

n个

和格兰维尔布景

S公司

.

的总和S公司 -的除数n个

总额

秒S公司 (n个)

属于

S公司

-的除数

n个,n个  ≥   1,

由提供

$｛\displaystyles_｛\mathcal｛s｝｝（n）=\sum_｛\d\，\in\，｛\mathcal｛s｝｝_｛n-1｝，\d\，|\，n｝｛d｝，\，｝$

或同等

${\displaystyle s_{\mathcal{s}}（n）=\sum_{d\，|\，n，\d\$

哪里

χS公司 (n个)

是Granville集的特征函数S公司.

S公司 -完全数（格兰维尔数）

A类格兰维尔号码或

S公司

-完全数是正整数

n个

其总和S公司 -约数(真除数在集合中

S公司

)等于

n个

（参见A？？？？？？，A181487号用于补足

S公司

)

$s_{\mathcal{s}}（n）=n，\n\geq 1.\，$

A118372号 S公司 -完美数(格兰维尔数字).

{6, 24, 28, 96, 126, 224, 384, 496, 1536, 1792, 6144, 8128, 14336, 15872, 24576, 98304, 114688, 393216, 507904, 917504, 1040384, 1572864, 5540590, 6291456, 7340032, 9078520, 16252928, 22528935, 25165824, 33550336, 56918394, 58720256, ...}

1996年12月，在安德鲁·格兰维尔的建议下，数学家Jean-Marie De Koninck和Aleksandar Ivić首次考虑了这些数字。

定理。

任意偶数

n个

那是一个2-完全数也是

S公司

-完美。

证明。从欧拉对这个命题的证明来看2-完全数必须是这样的形式

(2 第页 −  1)  ⋅  2 第页  − 1

，使用

第页

首要的和

q个= 2 第页 −  1

一梅森素数，如下所示：

a） 素除数

q个

属于

n个

有缺陷（存在准-1-完美的，自

σ (q个) =q个+ 1,秒 (q个) =σ (q个)  − q个= (q个+ 1)  − q个= 1

)在中

S公司

;

b） 的二次幂,

2 米, 0   ≤  米  ≤  第页 −  1

，这道鸿沟

n个

也有缺陷几乎-2-完美的，自

σ (2 米) = 2 米 +1 −  1,秒 (2 米) =σ (2 米)  −  2 米= (2 米 +1 −  1)  −  2 米= 2 米 −  1

); 和

c） 那些真除数

d日= 2 米 q个, 0 <米<第页 −  1,

是2的正幂与梅森素数

q个= 2 第页 −  1

也有不足（因为

σ (d日) =σ (2 米 q个) =σ (2 米)σ (q个) = (2 米 +1 −  1) (q个+ 1) = (2 米 +1 −  1) 2 第页< (2 第页 −  1) 2 第页= 2d日

，自

1 <米+ 1 <第页

)

因此，所有

n个

的适当除数在

S公司

，因为它们加起来

n个

自身，

n个

因此是

S公司

-完美。 □

例如，使用496，一个即使2-完全数那是2 4和31，我们看到它的素除数，2和31，都明显不足，因为它们准（准）-1-完美的，（因此在

S公司

); 的权力2（即1, 2, 4, 8, 16)是几乎-2-完美的因此也在

S公司

; 以及31乘以下面每两个正幂16(62, 124, 248)其真除数之和为34, 100, 232。我们已经确定496是一个2-完美数，现在我们已经确定它的所有适当除数都在

S公司

，因此496是

S公司

-完美。更有趣的也许是那些丰富的数字

S公司

-完美，因为排除的除数加起来就是这个数字的丰富性。一些这样的数字是24, 96, 126, 224, 384, 1536, 1792, 6144。请参阅A118372号对于格兰维尔数字，包括也在A000396号.鉴于没有古怪的2-完全数是已知的，有奇数Granville数，例如28第个:22528935.之后36，丰富但

S公司

-不足的数字继续存在40, 54, 60, 100, 112, 132, 140, 144, 156, 160, 168, 176, 198, ...

S公司 -亏数

根据Granville集的定义

S公司

，一个元素

S公司

它不是

S公司

-完全数是一个

S公司

-数量不足，因为

S公司

-丰富的数字是补语的成分

S公司

格兰维尔的场景。

S公司

-缺数就是数

n个

这样的话

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{S_{S}（n）<n，\n\geq1.}\end{arrays}}}$

A？？？？？？

S公司

-数量不足。

{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, ...}

这个亏数(A005100型)是

S公司

-数量不足。在

S公司

-数量不足亏数(A005100型)（以下以黑色显示）构成一个子集

S公司

-构成稀疏子集的亏数（A？？？？？？）（以红色显示）

{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35,36, 37, 38, 39,40, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53,54, 55, 57, 58, 59,60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, ...}

S公司 -丰富的数字

这个S-富足数是补语的成分

S公司

格兰维尔系列

S公司

.

S公司 -多完全数

在S公司 -丰富的数字，作为

S公司

-完全数是

S公司

-多重完全数

${\显示样式s_{s}（n）=kn，\k\geq 2，\n\geq 1.\，}$

序列

完美的S公司 -完美数

这个偶数完美数(A000396号)存在

{6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216, ...}

偶数完美数构成了

S公司

-完全数

{6, 24,28, 96, 126, 224, 384,496, 1536, 1792, 6144,8128, 14336, 15872, 24576, 98304, 114688, 393216, 507904, 917504, 1040384, 1572864, 5540590, 6291456, 7340032, 9078520, 16252928, 22528935, 25165824,33550336, 56918394, 58720256, ...}

如果奇数完全数碰巧存在，根据它们的形式，可以是

S公司

-数字不足或

S公司

-完美数字。。。

丰富S公司 -完美数

S公司 -完美数哪些不是完美数是丰富的数字（自不足的数字构成

S公司

-不足的数字）。A？？？？？？丰富

S公司

-完美数字。

{24, 96, 126, 224, 384, 1536, 1792, 6144, 14336, 15872, 24576, 98304, 114688, 393216, 507904, 917504, 1040384, 1572864, 5540590, 6291456, 7340032, 9078520, 16252928, 22528935, 25165824, 56918394, 58720256, ...}

在丰富的数字(A005101号)，的S公司 -完美数（A

{12, 18, 20,24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90,96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120,126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 222,224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, ...}

缺乏的S公司 -亏数

A005100型 数量不足.

{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, ...}

完美的S公司 -亏数

没有偶数完美数哪些是

S公司

-亏数（偶完美数是

S公司

-完美数字）。如果奇数完全数碰巧存在，根据它们的形式，可以是

S公司

-数字不足或

S公司

-完美数字。。。

丰富S公司 -亏数

A？？？？？？丰富

S公司

-数量不足。

{36, 40, 54, 60, 100, 112, 132, 140, 144, 156, 160, 168, 176, 198, ...}

在丰富的数字(A005101号)，的S公司 -不足的数字（A

{12, 18, 20, 24, 30,36, 40, 42, 48,54, 56,60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96,100, 102, 104, 108,112, 114, 120, 126,132, 138,140, 144, 150,156, 160, 162,168, 174,176, 180, 186, 192, 196,198, ...}

程序

的程序S公司 -完美数

C程序S公司 -完美数

//R.J.Mathar（Mathar（AT）strw.leidenuniv.nl）的贡献，2010年10月28日。#包括<stdlib.h>#包括<stdio.h>#定义MAX_SIZE_SSET 1000000int main（int argc，char*argv[]）{int集[MAX_SIZE_Sset]；int集大小=1；Sset[0]=1；对于（int n=2；n<MAX_SIZE_SSET；n++）{整数dsum=0；对于（int i=0；i<Ssetsize；i++）{如果（n%Sset[i]=0&&Sset[i]<n）dsum+=Sset[i]；如果（dsum>n||Sset[i]>=n）中断；}如果（dsum<=n）{如果（dsum==n）打印f（“%d\n”，n）；Sset[Ssetsize++]=n；} } }

Haskell程序S公司 -完美数

--来自Reinhard Zumkeller（Reinhard.Zumkeller-（AT）gmail.com）的贡献，2010年10月28日。完美：：整数->[整数]->[整数]s完美n ss=案例比较（总和$过滤器（（==0））。mod n）$takeWhile（<n）ss）n第页，共页LT->sPerfect（n+1）（n:ss）EQ->n:sPerfect（n+1）（n:ss）GT->sPerfect（n+1）ssa118372_list=sPerfect 1[]--人。

Mathematica程序S公司 -完美数

使用搜索最大值如果设置为一万，这些计算只需几秒钟。

（*阿隆索·德尔·阿特（Alonso.delarte（AT）gmail.com，2010年11月3日）的贡献*）searchMax=10001；S={1}；对于[i=2，i<searchMax，i++，如果[（Plus@@Table[Divisors[i][[n]]*Boole[MemberQ[S，Divisors[i][[n]]]，{n，1，Length[Divisor[i]]-1}]）<=i，S=压扁[附加[S，i]]]];取[S，100]SPerfect=选择[Range[searchMax-1]，（加@@表[Divisors[#][[n]]*Boole[MemberQ[S，Divisors[#][[n]]]，{n，1，长度[Divisor[#]]-1}]）==#&]

工具书类

• Jean-Marie De Koninck，那些迷人的数字，由作者翻译。美国数学学会（2008）第40页。